Квадратные уравнения
Квадратным уравнением называют уравнение вида \(ax^ 2 + bx + c = 0\), где \(x\) — переменная, \(a\), \(b\), \(c\) — некоторые числа, причем \(a\neq0\).
Числа \(a\), \(b\), \(c\) называют коэффициентами квадратного уравнения. Число \(a\) — первый или старший коэффициент; \(b\) — второй коэффициент или коэффициент при \(x\); \(c\) — свободный елемент.
Квадратное уравнение называют сводным, если его старший коэффициент равен 1, тоесть \(x^ 2 + bx + c = 0\).
Если в квадратном уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\) хотя бы один из коэффициентов \(b\) и/или \(c\) равен нулю, то уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Виды неполных квадратных уравнений:
- Если \(b=0\), \(c=0\), имеем: \(ax^ 2=0, x=0\).
- Если \(b=0\), \(c\neq0\) , имеем: \(ax^ 2 +c = 0\),
если \( -\frac{c}{a}>0 \) , то \(x_{1}=\sqrt{-\frac{c}{a}}\) , \(x_{2}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}\);
если \( -\frac{c}{a}<0 \), то корней нет.
- Если \(b\neq0, c=0\) , имеем: \(ax^ 2+bx=0\),
то \(x_{1}=0\), \(x_{2}=-\frac{b}{a}\).
Выражение \(D=b^2-4ac\) называют дискриминантом квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
- Если \(D>0\) ,то квадратное уравнение имеет два корня: \(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\), \(x_{2}=\frac{ -b-\sqrt{D}}{2a}\).
- Если \(D=0\), то квадратное уравнение имеет один корень:\(x=-\frac{b}{2a}\).
- Если \(D<0\), то квадратное уравнение корней нет: \(x\notin R\).
Решить квадратное уравнение значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Рассмотрим примеры
1. Решите уравнение:
a) \(1,8x^2=0\);
b) \(-x^2-9=0\);
c) \(\frac{1}{2}x^2+8x=0\).
Решение:
a) \(1,8x^2=0\);
\(x^2=0\);
\(x=0\).
b) \(-x^2-9=0\);
\(x^2+9=0\);
\(x^2=-9\), корней нет.
c) \(\frac{1}{2}x^2+8x=0\);
\(x(\frac{1}{2}x+8)=0\);
\(x_1=0\), \(x_2=-16\).
2. Решите уравнение:
a) \(x^2+7x-8=0\);
b) \(2x^2-x-3=0\);
c) \(x^2+4x+7=0\);
d) \(16x^2-8x+1=0\).
Решение:
a) \(x^2+7x-8=0\);
\(D=7^2-4\cdot1\cdot(-8)=81\), \(D>0\);
\(x_{1}=\frac{-7+\sqrt{81}}{2\cdot1}=1\), \(x_{2}=\frac{-7-\sqrt{81}}{2\cdot1}=-8\).
b) \(2x^2-x-3=0\);
\(D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25\), \(D>0\);
\(x_{1}=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{3}{2}=1,5\), \(x_{2}=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\cdot2}=-1\)
c) \(x^2+4x+7=0\);
\(D=4^2-4\cdot1\cdot7=-12\), \(D<0\);
\(x\notin R\), корней нет.
d) \(16x^2-8x+1=0\);
\(D=(-8)^2-4\cdot16\cdot1=0\), \(D=0\);
\(x=-\frac{-8}{2\cdot16}=\frac{1}{4}=0,25\).
3. При каком значении \(m\) имеет только один корень уравнения: \(x^2+2mx+m=0\)?
Решение:
Если \(D=0\), то квадратное уравнение имеет один корень.
\((2m)^2-4\cdot1\cdot{m}=0\);
\(4m^2-4m=0\);
\(m=0\), или \(m=1\).
