Признаки делимости
Когда вам приходит в голову хорошая идея, действуйте немедленно.
Билл Гейтс
На \(2\) делятся только числа, кратные числу \(2\), то есть числа: \(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\), ... Запись чисел, кратных числу \(2\), заканчивается одной из цифр: \(0 , 2, 4, 6, 8\). Эти цифры называют четными цифрами. Их можно задать формулой: \(2n\), где \(n\) — некоторое натуральное число.
Остальные цифры, то есть \(1, 3, 5, 7, 9\), называют нечетными цифрами. Их также можно задать формулой: \(2n - 1\), где \(n\) - некоторое натуральное число. Итак, имеем признак делимости на \(2\):
На \(2\) делятся только те числа, последняя цифра которых является парной.
Например, запись числа \(538\) заканчивается цифрой \(8\), которая является четной, поэтому число \(538\) делится на \(2\). Действительно, \(538 : 2 = 269\). А вот запись числа \(537\) заканчивается нечетной цифрой \(7\), поэтому данное число не делится на \(2\).
Натуральные числа, которые делятся на \(2\), называют четными числами, все остальные натуральные числа нечетными. Например, числа \(86, 104, 510, 78, 1112\) парные, а \(87, 113, 2001, 405, 9999\) нечетные.
На \(3\) делятся только те числа, сумма цифр которых делится на \(3\).
Задача. Выяснить, делится ли на \(3\) число: 1) \(2571\); 2) \(14021\).
Решение.
1) Сумма цифр числа \(2571\) равна \(2 + 5 + 7 + 1 = 15\), сумма цифр делится на \(3\), поэтому число \(2571\) делится на \(3\);
2) Поскольку сумма цифр числа \(14021\), равная \(1 + 4 + 0 + 2 + 1 = 8\), не делится на \(3\), то ичисло \(14021\) не делится на \(3\).
На \(5\) делятся только те числа, последняя цифра которых \(0\) или \(5\).
Например, число \(85\) делится на \(5\), а число \(86\) — не делится.
На \(9\) делятся только те числа, сумма цифр которых делится на \(9\).
Например, число \(1476\) делится на \(9\), поскольку \(1 + 4 + 7 + 6 = 18\), а число \(18\) делится на \(9\). Число \(1239\) не делится на \(9\), поскольку \(1 + 2 + 3 + 9 = 15\), а число \(15\) на \(9\).
На \(10\) делятся только те числа, последней цифрой которых является \(0\).
Например, число \(1000\) делится на \(10\), а число \(1001\) — не делится.
Тема делимости чисел входит в перечень тем к подготовке ВНО по математике.
