Теорема Пифагора
Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, устанавливающую зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.
Теорема Пифагора — одна из основных теорем евклидовой геометрии, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что ее доказал греческий математик Пифагор, в честь которого ее названо.
Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, которая определяет соотношение между сторонами произвольного треугольника.
Сформулируем и докажем теорему
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство
Пусть \(\triangleАВС\) произвольный прямоугольный треугольник, у которого \(\angle C=90^{\circ}\) (рис.1). Докажем, что \(AB^ 2=AC^ 2+BC^ 2\)
Проведем высоту \(CD\).
По теории о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем: \(АС^ 2 = АВ \cdot AD\), \(BC^ 2= AB \cdot BD\)
Добавим почленно эти два равенства. Будем иметь: \(AC^2 + BC^2 = AB \cdot AD + AB \cdot BD = AB \cdot (AD + BD) = AB \cdot AB = AB^2\).
Следовательно, \(АВ^2 = AC^2 + ВС^2\).
Далее представлено доказательство, основанное на теореме существования площади фигуры:
Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника так, как это изображено на рисунке.
Четырехугольник со сторонами \(c\) является квадратом, поскольку сумма двух острых углов \(90^{\circ}\), а развернутый угол — \(180^{\circ}\).
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной \(a+b\), а с другой— сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.
Площадь прямоугольного треугольника \(S=\frac{ab}{2}\), площадь квадрата \(S=a^2\).
\((a+b)^{2}=4\cdot\frac{ab}{2}+c^{2}\);
\((a^2+2ab+b^2)=2ab+c^2\);
\(c^2 =a^2+ b^2\).
Известно более \(150\) доказательств теоремы Пифагора.
Не менее важной, чем теорема Пифагора, является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.
Теорема ( обратная теорема к теореме Пифагора). Если в треугольнике \(ABC\) имеет место равенство \(AB^2=AC^2+BC^2\), то угол \(C\) этого треугольника — прямой.
Доказательство. Пусть в треугольнике \(АВС\): \(АВ^2 = AC^2 + ВС^2\).
Докажем, что \(\angle C=90^{\circ}\) (рис.3).
Рассмотрим \(\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\), у которого \(\angle С_{1}=90^{\circ}\), \(А_{1}С_{1}=АС\), \(В_{1}С_{1}=ВС\). Тогда по теории Пифагора \(A_{1}B_{1}^2=A_{1}C_{1}^2+B_{1}C_{1} ^2\), а следовательно, \(A_{1}B_{1}^2=AC^2+BC^2\).
Но по условию \(АС^2+ВС^2=АВ^2\), поэтому \(А_{1}В_{1}^2=АВ^2\), т.е. \(А_{1}В_{1}=АВ\).
Итак, \(\triangle АВС=\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\) (по трем сторонам), откуда \(\angle С=\angle C_{1}=90^{\circ}\).
Пифагоровые тройки (Числа Пифагора)
Пифагоровые тройки — это три натуральных числа, выполняемых равенством \(c^2 =a^2+ b^2\).
Другими словами, тройки Пифагора — это стороны прямоугольного треугольника. Некоторые наиболее известные примеры: \((3, 4, 5)\) и \((5, 12, 13)\).
Примитивными пифагоровыми числами называют такие \(a\), \(b\) и \(c\), которые являются взаимно простыми (наибольший общий делитель \(a\), \(b\) и \(c\) равен 1 ).
Ниже приведен перечень примитивных Пифагоровых чисел меньше \(50\):
\((3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41)\).
Лучше всего запоминаются следующие Пифагоровые числа (меньше \(100\)):
\((3, 4, 5), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), (15, 20, 25),\)
\((18, 24, 30), (21, 28, 35), (24, 32, 40), (27, 36, 45),\)
\((30, 40, 50), (33, 44, 55), (36, 48, 60), (39, 52, 65),\)
\((42, 56, 70), (45, 60, 75), (48, 64, 80), (51, 68, 85),\)
\((54, 72, 90), (57, 76, 95), (60, 80, 100)\).
Эти тройки образуются умножением первой тройки чисел \((3, 4, 5)\) на числа \(2, 3, 4, 5\) и т.д.
Прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам \((3, 4\) и \(5)\), называют египетскими треугольниками. Треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками — пифагоровыми треугольниками.
Связь теоремы Пифагора и теорема косинусов
Теорема Пифагора — это отдельный случай общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике \(a^{2}+b^{2}-2ab \cos\alpha=c^{2}\), где \( \angle \alpha\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).
Если \(\angle\alpha=90^{\circ}\), то \(cos\alpha=0\) и формула упрощается к обычной теореме Пифагора \(a^2+ b^2=c^2\).
Люди также спрашивали:
Что утверждает теорема Пифагора?
Как записывается теорема Пифагора?
Как по теореме Пифагора найти?
Как найти стороне прямоугольного треугольника?
Когда используется теорема Пифагора?
Что утверждает теорема Пифагора?
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Рис. \(4\), который наглядно воплощает эту формулировку, стал своеобразным символом геометрии и среди гимназистов позапрошлого века получил название «Пифагоровы штаны».
Как записывается теорема Пифагора?
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов \(c^2 =a^2+ b^2\).
Как по теореме Пифагора найти?
По теореме Пифагора, имея любые две стороны прямоугольного треугольника, можно найти его третью сторону \(a, b, c\). Чтобы найти неизвестный катет, надо из квадрата гипотенузы вычесть квадрат известного катета. Чтобы найти гипотенузу, нужно найти сумму квадратов катетов. Это прямая формулировка теоремы Пифагора. Для нахождения неизвестной стороны, при двух данных, можно пользоваться схемой ниже.
Как найти стороны прямоугольного треугольника?
По теории Пифагора можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, если известны две другие стороны. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Отсюда можно найти другие стороны прямоугольного треугольника. Катеты являются одновременно высотами прямоугольного треугольника.
Когда используется теорема Пифагора?
Как мы знаем, Теорема Пифагора является одной из самых известных теорем в геометрии и имеет более \(150\) доказательств. Ее используют во многих областях: технике, навигации и в частности в строительстве каркасов крыш в зданиях.