Квадратні рівняння
Квадратним рівнянням називають рівняння вигляду \(ax^ 2 + bx + c = 0\), де \(x\) — змінна, \(a\), \(b\), \(c\) — деякі числа, причому \(a\neq0\) .
Числа \(a\), \(b\), \(c\) називають коефіцієнтами квадратного рівняння. Число \(a\) — перший або старший коефіцієнт; \(b\) — другий коефіцієнт або коефіцієнт при \(x\); \(c\) — вільний член.
Квадратне рівняння називають зведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює 1, тобто \(x^ 2 + bx + c = 0\).
Якщо у квадратному рівнянні \(ax^ 2 + bx + c = 0\) хоча б один з коефіцієнтів \(b\) та/або \(c\) дорівнює нулю, то рівняння називають неповним квадратним рівнянням.
Види неповних квадратних рівнянь:
- Якщо \(b=0\), \(c=0\), маємо: \(ax^ 2=0, x=0\).
- Якщо \(b=0\), \(c\neq0\) , маємо: \(ax^ 2 +c = 0\),
то якщо \( -\frac{c}{a}>0 \) , то \(x_{1}=\sqrt{-\frac{c}{a}}\) , \(x_{2}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}\);
якщо \( -\frac{c}{a}<0 \), то коренів немає.
- Якщо \(b\neq0, c=0\) , маємо: \(ax^ 2+bx=0\),
то \(x_{1}=0\), \(x_{2}=-\frac{b}{a}\).
Вираз \(D=b^ 2-4ac\) називають дискримінантом квадратного рівняння \(ax^2+bx+c=0\).
- Якщо \(D>0\) ,то квадратне рівняння має два корені: \(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\), \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
- Якщо \(D=0\), то квадратне рівняння має один корінь:\(x=-\frac{b}{2a}\).
- Якщо \(D<0\), то квадратне рівняння коренів немає: \(x\notin R\).
Розв’язати квадратне рівняння — означає знайти всі його корені або встановити, що коренів немає.
Розглянемо приклади
1. Розв’яжіть рівняння:
a) \(1,8x^2=0\);
b) \(-x^2-9=0\);
c) \(\frac{1}{2}x^2+8x=0\).
Розв’язання:
a) \(1,8x^2=0\);
\(x^2=0\);
\(x=0\).
b) \(-x^2-9=0\);
\(x^2+9=0\);
\(x^2=-9\), коренів немає.
c) \(\frac{1}{2}x^2+8x=0\);
\(x(\frac{1}{2}x+8)=0\);
\(x_1=0\), \(x_2=-16\).
2. Розв’яжіть рівняння:
a) \(x^2+7x-8=0\);
b) \(2x^2-x-3=0\);
c) \(x^2+4x+7=0\);
d) \(16x^2-8x+1=0\).
Розв’язання:
a) \(x^2+7x-8=0\);
\(D=7^2-4\cdot1\cdot(-8)=81\), \(D>0\);
\(x_{1}=\frac{-7+\sqrt{81}}{2\cdot1}=1\), \(x_{2}=\frac{-7-\sqrt{81}}{2\cdot1}=-8\).
b) \(2x^2-x-3=0\);
\(D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25\), \(D>0\);
\(x_{1}=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{3}{2}=1,5\), \(x_{2}=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\cdot2}=-1\)
c) \(x^2+4x+7=0\);
\(D=4^2-4\cdot1\cdot7=-12\), \(D<0\);
\(x\notin R\), коренів немає.
d) \(16x^2-8x+1=0\);
\(D=(-8)^2-4\cdot16\cdot1=0\), \(D=0\);
\(x=-\frac{-8}{2\cdot16}=\frac{1}{4}=0,25\).
3. При якому значенні \(m\) має лише один корінь рівняння: \(x^2+2mx+m=0\)?
Розв’язання:
Якщо \(D=0\), то квадратне рівняння має один корінь.
\((2m)^2-4\cdot1\cdot{m}=0\);
\(4m^2-4m=0\);
\(m=0\), або \(m=1\).
