ЛОГАРИФМ ЧИСЛА. ОСНОВНА ЛОГАРИФМІЧНА ТОТОЖНІСТЬ. ДЕСЯТКОВИЙ ЛОГАРИФМ. НАТУРАЛЬНИЙ ЛОГАРИФМ
Розглянемо, як розв’язувати показникові рівняння:
\(3^{x}=81\) (1)
Запишемо задане рівняння так: \(3^x=3^4\), звідки \(x=4\)
У рівнянні (1) невідомим є показник степеня.
Для розв’язування рівняння використано спосіб, де ліву та праву частини рівняння потрібно представити у вигляді степеня з однаковою основою \(3\).
Розглянемо рівняння \(2^x = 8\) (2). Розмірковуючи так само, знаходимо корінь рівняння: \(x=3\). Спробуємо розв’язати рівняння \(2^x = 6\). Геометричну ілюстрацію представлено на рисунку.
Зрозуміло, що рівняння має один корінь, але, на відміну від попередніх випадків, де корені рівняння було не важко знайти (до того ж їх можна знайти й не користуючись графіками), із розв’язуванням рівняння \(2^x = 6\) у нас виникають певні труднощі: за графіком ми не можемо визначити значення кореня, а можемо лише встановити, що цей корінь знаходиться на проміжку від \(2\) до \(3\).
Аналогічно можна розглядати й рівняння \(3^x = 5\), і рівняння \(10^x = 0,3\), і рівняння \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=4\), і взагалі будь-яке рівняння виду \(a^x = b\), де \(a\) і \(b\) — додатні числа, \(a ≠ 1\). Єдиний корінь рівняння \(a^x = b\) записують так: \(x=\log_{a}{b}\) (читають: «логарифм числа \(b\) з основою \(a\)»).
Логарифмом додатного числа \(b\) з основою \(a\), де \(a > 0\), \(a ≠ 1\), є показник степеня \(x\), до якого потрібно піднести число \(a\), щоб отримати число \(b\).
Широко використовують десяткові логарифми — логарифми з основою 10. Десятковий логарифм числа \(b\) позначають \(\lg{b}\) (без зазначення основи).
Особливе позначення та назву мають не тільки десяткові логарифми, а й логарифми, основою яких є число \(e\): \(\ln{b}\) .
Такі логарифми називають натуральними.
Натуральним логарифмом числа називають логарифм цього числа з основою \(e\), де \(e\) — ірраціональне число, яке приблизно дорівнює \(2,7\). Записують \(\ln{b}\)
ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ
При здійсненні перетворень виразів, які містять логарифми, виконанні обчислень та розв’язування рівнянь часто застосовують різні властивості логарифмів. Розглянемо основні з них.
Нехай \(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, k\) — будь-яке число (\(k ≠ 0)\). Тоді істинними є формули:
\(\log_{a}{bc}=\log_{a}{b}+\log_{a}{c}\) (1)
\(\log_{a}{\frac{b}{c}}=\log_{a}{b}-\log_{a}{c}\) (2)
\(\log_{a}{b^{k}}=k\log_{a}{b}\)
\(\log_{a^{k}}{b}=\frac{1}{k}\log_{a}{b}\) (3)
За основною логарифмічною тотожністю
\(a^{\log_{a}{b}}=b\) (4)
\(a^{\log_{a}{c}}=c\) (5)
1) Перемноживши рівності (4) і (5), отримаємо \(a^{\log_{a}{b}+\log_{a}{c}}=bc\), звідки за означенням логарифма \(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}\). Формулу (1) доведено.
\(\log_{a}{(bc)}=\log_{a}{b}+\log_{a}{c}\)
Наслідок 1. Якщо числа \(b\) і \(c\) одного знака, то має місце рівність
\(\log_{a}{(bc)}=\log_{a}{|b|}+\log_{a}{|c|}\)
2) Поділивши рівності (4) і (5), отримаємо \(a^{\log_{a}{b}-\log_{a}{c}}=\frac{b}{c}\), звідки за означенням логарифма випливає формула (2).
\(\log_{a}{\frac{b}{c}}=\log_{a}{b}-\log_{a}{c}\)
3) Якщо піднести основну логарифмічну тотожність \(a^{\log_{a}{b}}=b\) до степеня з показником \(k\), отримаємо \(a^{k\log_{a}{b}}=b^{k}\), звідки за означенням логарифма випливає формула (3).
\(\log_{a}{b^{k}}=klog_{a}{b}\)
Наслідок 2. При будь-якому цілому \(k\) і \(b ≠ 0\) має місце рівність
\(\log_{a}{b^{2k}}=2klog_{a}{|b|}\).
На практиці застосовують також властивості: \(\log_{a}{1}=0, \log_{a}{a} =1\).
-16.jpeg)
Основні властивості логарифмів широко використовують при перетворенні виразів, які містять логарифми. Окремим видом таких перетворень є логарифмування виразів.
Дію знаходження логарифма числа називають логарифмуванням. Дію знаходження числа за його логарифмом називають потенціюванням.
Прологарифмувати одночлен означає виразити його логарифм через логарифми додатних чисел (позначених цифрами та буквами), які входять до їх складу.
Застосовуючи теореми про логаримф добутку, частки, степеня та кореня, можна прологарифмувати будь-який вираз, що є одночленом.
