Теорема Піфагора
Розглянемо одну з найважливіших теорем геометрії, яка встановлює залежність між катетами та гіпотенузою прямокутного трикутника.
Теорема Піфагора — одна із засадничих теорем евклідової геометрії, яка встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що її довів грецький математик Піфагор, на чию честь її й названо.
Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, яка визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.
Сформулюємо та доведемо теорему
Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Доведення
Нехай \(\triangleАВС\) довільний прямокутний трикутник, у якого \(\angle C=90^{\circ}\) (мал. 1). Доведемо, що \(AB^ 2=AC^ 2+BC^ 2\)
Проведемо висоту \(CD\).
За теоремою про середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику маємо: \(АС^ 2 = АВ \cdot AD\), \(BC^ 2= AB \cdot BD\)
Додамо почленно ці дві рівності. Матимемо: \(AC^2 + BC^2 = AB \cdot AD + AB \cdot BD = AB \cdot (AD + BD) = AB \cdot AB = AB^2\).
Отже, \(АВ^2 = AC^2 + ВС^2\).
Далі представлено доведення, засноване на теоремі існування площі фігури:
Розташуємо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на рисунку (мал.2).
Чотирикутник зі сторонами \(c\) є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів в прямокутному трикутнику дорівнює \(90^{\circ}\), а розгорнутий кут — \(180^{\circ}\).
Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною \(a+b\), а з іншої — сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і внутрішнього квадрата.
Площа прямокутного трикутника \(S=\frac{ab}{2}\), площа квадрата \(S=a^2\).
\((a+b)^{2}=4\cdot\frac{ab}{2}+c^{2}\);
\((a^2+2ab+b^2)=2ab+c^2\);
\(c^2 =a^2+ b^2\).
Відомо понад 150 доведень теореми Піфагора.
Не менш важливою, ніж теорема Піфагора, є обернена теорема. Цю теорему можна розглядати як ознаку прямокутного трикутника.
Теорема ( обернена теорема до теореми Піфагора). Якщо в трикутнику \(ABC\) має місце рівність \(AB^2=AC^2+BC^2\), то кут \(C\) цього трикутника — прямий.
Доведення. Нехай у трикутнику \(АВС\): \(АВ^2 = AC^2 + ВС^2\).
Доведемо, що \(\angle C=90^{\circ}\) (мал. 3).
Розглянемо \(\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\), у якого \(\angle С_{1}=90^{\circ}\), \(А_{1}С_{1}=АС\), \(В_{1}С_{1}=ВС\). Тоді за теоремою Піфагора \(A_{1}B_{1}^2=A_{1}C_{1}^2+B_{1}C_{1}^2\), а отже, \(A_{1}B_{1}^2=AC^2+BC^2\).
Але за умовою \(АС^2+ВС^2=АВ^2\), тому \(А_{1}В_{1}^2=АВ^2\), тобто \(А_{1}В_{1}=АВ\).
Отже, \(\triangle АВС=\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\) (за трьома сторонами), звідки \(\angle С=\angle C_{1}=90^{\circ}\).
Піфагорові трійки (Числа Піфагора)
Піфагорові трійки — це три натуральні числа \(a b c\) такі, що виконується рівність \(c^2 =a^2+ b^2\).
Іншими словами, Піфагорові трійки — це сторони прямокутного трикутника. Деякі найвідоміші приклади: \((3, 4, 5)\) та \((5, 12, 13)\).
Примітивними Піфагоровими числами називають такі \(a\), \(b\) і \(c\), які є взаємно простими (найбільший спільний дільник \(a\), \(b\) і \(c\) дорівнює \(1\)).
Нижче наведено перелік примітивних Піфагорових чисел менших від \(50\):
\((3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41)\).
Найкраще запам’ятовуються такі Піфагорові числа (менші від \(100\)):
\((3, 4, 5), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), (15, 20, 25),\)
\((18, 24, 30), (21, 28, 35), (24, 32, 40), (27, 36, 45),\)
\((30, 40, 50), (33, 44, 55), (36, 48, 60), (39, 52, 65),\)
\((42, 56, 70), (45, 60, 75), (48, 64, 80), (51, 68, 85),\)
\((54, 72, 90), (57, 76, 95), (60, 80, 100)\).
Ці трійки утворюються множенням першої трійки чисел \((3, 4, 5)\) на числа \(2, 3, 4, 5\) тощо.
Прямокутні трикутники зі сторонами, пропорційними числам \(3, 4\) і \(5\), називають єгипетськими трикутниками. Трикутники, довжини сторін яких є піфагоровими трійками — піфагоровими трикутниками.
Звʼязок теореми Піфагора і теорема косинусів
Теорема Піфагора — це окремий випадок загальної теореми косинусів, яка пов’язує довжини сторін в довільному трикутнику \(a^{2}+b^{2}-2ab \cos\alpha=c^{2}\), де \( \angle \alpha\) — кут між сторонами \(a\) і \(b\).
Якщо \(\angle\alpha=90^{\circ}\), то \( cos\alpha=0\) і формула спрощується до звичайної теореми Піфагора \(a^2+ b^2=c^2\).
Люди також запитували:
Що стверджує теорема Піфагора?
Як записується теорема Піфагора?
Як за теоремою Піфагора знайти?
Як знайти сторонии прямокутного трикутника?
Коли використовується теорема Піфагора?
Що стверджеє теорема Піфагора?
У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.
Мал. \(4\), який наочно втілює це формулювання, став своєрідним символом геометрії і серед гімназистів позаминулого століття отримав назву «Піфагорові штани».
Як записується теорема Піфагора?
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів \(c^2 =a^2+ b^2\).
Як за теоремою Піфагора знайти?
За теоремою Піфагора, маючи будь-які дві сторони прямокутного трикутника можна знайти його третю сторону \(a, b, c\). Щоб знайти невідомий катет, треба від квадрату гіпотенузи відняти квадрат відомого катету. Щоб знайти гіпотенузу, потрібно знайти суму квадратів катетів. Це пряме формулювання теореми Піфагора. Для знаходження не відомої сторони, при даних двох, можна користуватися схемою нижче.
Як знайти сторони прямокутного трикутника?
За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника. Катети є водночас висотами прямокутного трикутника.
Коли використовується теорема Піфагора?
Як ми знаємо, Теорема Піфагора є одною із найвідоміших теорем у геометрії, і має більш як \(150\) доведень. Її використовують у багатьох сферах: техніці, навігації та зокрема у будівництві каркасів дахів у будівлях.
