Параллелограмм: свойства и признаки
Параллелограмм — первая фигура восьмого класса, на которой ученик сталкивается с разницей между свойством и признаком. Формулировки похожи, слова почти те же, а логическое направление противоположное — именно здесь теряется большинство баллов на контрольной. В Tutor-Math мы намеренно разводим эти два блока на разные листы: когда они смешаны в одном конспекте, ученик начинает «доказывать» то, что ему дали в условии. Разберём определение, все свойства, все три признака, формулы площади и тождество параллелограмма — с примерами, посчитанными до конца.
Определение параллелограмма
Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В определении ровно одно условие — параллельность двух пар сторон. Ни о равенстве сторон, ни о равенстве углов, ни о диагоналях там не сказано ничего. Всё остальное — следствия, которые нужно доказывать.
Договоримся об обозначениях: параллелограмм \(ABCD\), стороны \(AB = CD = a\) и \(BC = AD = b\), диагонали \(AC = d_1\) и \(BD = d_2\), точка их пересечения — \(O\). Острый угол при вершине \(A\) обозначим \(\alpha\), тупой при вершине \(B\) — \(\beta\).
Параллелограмм — не экзотика, а базовая фигура целого семейства. Прямоугольник, ромб и квадрат — частные случаи параллелограмма с дополнительными условиями, о них есть отдельная статья про прямоугольник, ромб и квадрат. А вот трапеция параллелограммом не является: у неё параллельна лишь одна пара сторон.
Свойства параллелограмма
Свойство — это то, что вытекает из определения. Мы уже знаем, что фигура является параллелограммом, и делаем из этого выводы.
Свойство 1. У параллелограмма противоположные стороны равны: \(AB = CD\), \(BC = AD\).
Свойство 2. У параллелограмма противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\).
Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: \(AO = OC\), \(BO = OD\).
Свойство 4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\): \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
Первые два свойства доказывают одинаково — через диагональ. Проведём \(AC\). Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle BCA = \angle CAD\) как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей \(AC\). Аналогично \(AB \parallel CD\) даёт \(\angle BAC = \angle ACD\). Сторона \(AC\) общая, поэтому треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла). Из равенства треугольников сразу следует \(AB = CD\), \(BC = AD\) и \(\angle B = \angle D\).
Третье свойство доказывают через треугольники \(AOB\) и \(COD\): \(AB = CD\) по только что доказанному свойству 1, а углы \(\angle OAB = \angle OCD\) и \(\angle OBA = \angle ODC\) — накрест лежащие при параллельных сторонах. Треугольники равны, следовательно \(AO = OC\) и \(BO = OD\).
Четвёртое свойство не требует треугольников вообще: \(\angle A\) и \(\angle B\) — внутренние односторонние при параллельных \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\), а такие углы в сумме дают \(180^\circ\). Практическое следствие: достаточно знать один угол параллелограмма, чтобы найти все четыре.
Свойство или признак — в чём разница
Это место стоит прочитать дважды. Разница не в содержании предложения, а в том, что является условием, а что выводом.
- Свойство: дано, что фигура — параллелограмм; требуется доказать, что стороны равны. Направление: параллелограмм → равенство.
- Признак: дано, что стороны равны; требуется доказать, что фигура — параллелограмм. Направление: равенство → параллелограмм.
Простое правило для контрольной: посмотрите, где в задаче стоит слово «параллелограмм». Если оно в условии — работают свойства. Если его нужно получить в выводе — нужен признак. Формулировка признака всегда начинается со слов «если в четырёхугольнике…», и слово четырёхугольник здесь не случайно: оно подчёркивает, что о параллельности мы пока ничего не знаем.
Три признака параллелограмма
Признак 1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Признак 2. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Признак 3. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Обратите внимание на признак 2: там нужны оба условия для одной пары сторон — и равенство, и параллельность. Если взять только равенство двух противоположных сторон, фигура параллелограммом быть не обязана: можно построить равнобокую трапецию, у которой боковые стороны равны, но не параллельны. Это самая распространённая логическая ловушка темы.
Доказывают признаки в обратном к свойствам порядке. Например, признак 1: в четырёхугольнике \(ABCD\) с \(AB = CD\) и \(BC = AD\) проведём \(AC\). Треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам (\(AC\) — общая). Значит \(\angle BCA = \angle CAD\), а это накрест лежащие углы при прямых \(BC\), \(AD\) и секущей \(AC\) — поэтому \(BC \parallel AD\). Точно так же из другой пары равных углов получаем \(AB \parallel CD\). Обе пары параллельны — по определению это параллелограмм.
Периметр и площадь
Периметр считают очевидно, так как противоположные стороны равны:
\[P = 2(a + b)\]
Формул площади две, и выбор между ними зависит от того, что дано в условии.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне:
\[S = a h_a\]
Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними:
\[S = ab\sin\alpha\]
Первая формула выводится перекраиванием: отрежьте от параллелограмма прямоугольный треугольник у одной стороны и приставьте его к противоположной — получится прямоугольник со сторонами \(a\) и \(h_a\). Вторая формула получается из первой подстановкой \(h_a = b\sin\alpha\), так как высота является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой \(b\).
Главное предостережение: в формуле \(S = ah_a\) высота должна быть проведена именно к той стороне, которую вы взяли множителем. У параллелограмма две разные высоты, и умножать высоту на «не свою» сторону — типичная ошибка. Зато оба произведения дают один результат: \(a h_a = b h_b\).
Ещё одна полезная деталь: диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому площадь каждого из них равна \(S/2\). Если нужно считать эти половинки отдельно, пригодятся формулы площади треугольника. А две диагонали вместе делят параллелограмм на четыре треугольника равной площади \(S/4\).
Тождество параллелограмма
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
\[d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\]
Поскольку сторон четыре и они попарно равны, правая часть — это \(a^2 + b^2 + a^2 + b^2\), то есть действительно сумма квадратов всех сторон. Формула выводится из теоремы косинусов, применённой дважды: для одной диагонали берут угол \(\alpha\), для второй — смежный угол \(180^\circ - \alpha\), у которого косинус противоположен по знаку. Слагаемые с косинусом взаимно уничтожаются, остаётся чистая сумма квадратов.
Практическая ценность тождества: оно связывает стороны и диагонали без единого угла. Если в задаче известны три из четырёх величин \(a, b, d_1, d_2\), четвёртую находят за один шаг.
Пример 1. Стороны по периметру
Периметр параллелограмма равен 48 см, а одна сторона на 6 см больше другой. Найти стороны.
Пусть меньшая сторона \(b\), тогда большая \(a = b + 6\). Подставляем в формулу периметра:
\[2\big((b+6) + b\big) = 48\]
Делим на 2: \(2b + 6 = 24\), отсюда \(2b = 18\) и \(b = 9\). Тогда \(a = 9 + 6 = 15\).
Проверка: \(2(15 + 9) = 2 \cdot 24 = 48\) см — совпадает с условием, и разность \(15 - 9 = 6\) см тоже.
Ответ: 9 см и 15 см.
Пример 2. Углы параллелограмма
Один угол параллелограмма на \(40^\circ\) больше соседнего. Найти все углы.
Соседние углы в сумме дают \(180^\circ\) (свойство 4). Пусть меньший угол \(x\), больший \(x + 40^\circ\):
\[x + (x + 40^\circ) = 180^\circ\]
Отсюда \(2x = 140^\circ\), \(x = 70^\circ\), а больший угол \(70^\circ + 40^\circ = 110^\circ\). По свойству 2 противоположные углы равны, поэтому углы идут по кругу так: \(70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ\).
Проверка: сумма всех углов четырёхугольника \(70 + 110 + 70 + 110 = 360^\circ\) — верно.
Ответ: \(70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ\).
Пример 3. Площадь и высота
Стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см, угол между ними \(30^\circ\). Найти площадь, обе высоты и периметр.
Площадь удобно искать по второй формуле, так как даны две стороны и угол между ними:
\[S = 8 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ = 96 \cdot 0{,}5 = 48\ \text{см}^2\]
Теперь высоты. Из формулы \(S = a h_a\) высота к стороне 12 см равна \(h = \dfrac{48}{12} = 4\) см, а высота к стороне 8 см — \(h = \dfrac{48}{8} = 6\) см. Обратите внимание: высоты разные, и каждая «своя» для своей стороны.
Проверка первой высоты напрямую: \(h = 8 \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot 0{,}5 = 4\) см — совпадает.
Периметр: \(P = 2(8 + 12) = 40\) см.
Ответ: \(S = 48\) см², высоты 4 см и 6 см, \(P = 40\) см.
Пример 4. Задача на доказательство
В параллелограмме \(ABCD\) на диагонали \(AC\) от её концов отложили равные отрезки \(AM = CN = k\), причём \(k < \tfrac{1}{2}AC\). Доказать, что \(BMDN\) — параллелограмм.
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(ABCD\). По свойству 3 имеем \(AO = OC\) и \(BO = OD\).
Условие \(k < \tfrac{1}{2}AC = AO\) означает, что точка \(M\) лежит внутри отрезка \(AO\), а точка \(N\) — внутри отрезка \(CO\), то есть они по разные стороны от \(O\). Тогда
\[OM = AO - AM = AO - k, \qquad ON = CO - CN = CO - k\]
Так как \(AO = CO\), то \(OM = ON\). Значит, в четырёхугольнике \(BMDN\) диагонали \(MN\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам: \(OM = ON\) и \(OB = OD\).
По признаку 3 четырёхугольник \(BMDN\) — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Обратите внимание на логику: свойство 3 мы применили к данному параллелограмму \(ABCD\), а признак 3 — чтобы получить новый параллелограмм \(BMDN\). Это ровно та разница, о которой шла речь выше.
Ответ: доказано по признаку о диагоналях, делящихся пополам.
Пример 5. Вторая диагональ через тождество
Стороны параллелограмма равны 5 см и 7 см, одна диагональ — 8 см. Найти вторую диагональ.
Применяем тождество параллелограмма \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\):
\[8^2 + d_2^2 = 2(5^2 + 7^2)\]
\[64 + d_2^2 = 2(25 + 49) = 2 \cdot 74 = 148\]
\[d_2^2 = 148 - 64 = 84, \qquad d_2 = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \approx 9{,}17\ \text{см}\]
Проверка: \(64 + 84 = 148 = 2(25 + 49)\) — тождество выполняется. Обе диагонали также проходят проверку на реальность фигуры: каждая должна быть меньше \(a + b = 12\) и больше \(|a - b| = 2\), а \(8\) и \(9{,}17\) этим условиям удовлетворяют.
Ответ: \(2\sqrt{21} \approx 9{,}17\) см.
Пример 6. Биссектриса угла параллелограмма
В параллелограмме \(ABCD\) сторона \(AB = 6\) см, \(BC = 10\) см. Биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Найти \(BK\) и \(KC\).
Обозначим \(\angle BAK = \angle KAD\) (это биссектриса). Поскольку \(BC \parallel AD\), углы \(\angle KAD\) и \(\angle AKB\) накрест лежащие при секущей \(AK\), поэтому \(\angle AKB = \angle KAD\).
Следовательно \(\angle BAK = \angle AKB\), и треугольник \(ABK\) равнобедренный с основанием \(AK\). Отсюда \(BK = AB = 6\) см.
Тогда \(KC = BC - BK = 10 - 6 = 4\) см.
Это общий факт, который стоит запомнить: биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Частный случай: если \(AB \geq BC\), биссектриса пересечёт не сторону \(BC\), а её продолжение, и задача будет выглядеть иначе — здесь \(6 < 10\), поэтому точка \(K\) действительно лежит на стороне.
Ответ: \(BK = 6\) см, \(KC = 4\) см.
Типичные ошибки
- Путают свойство с признаком. В задаче «доказать, что \(ABCD\) — параллелограмм» ученик пишет «противоположные стороны равны, потому что это параллелограмм» — и доказывает то, что уже предположил. Замкнутый круг. Если параллелограмм нужно получить в выводе, работают только признаки.
- Считают, что равенства двух противоположных сторон достаточно. Признак 2 требует ещё и параллельности этой пары. Без неё контрпримером служит равнобокая трапеция.
- Умножают сторону на «чужую» высоту. В формуле \(S = ah_a\) высота проведена именно к стороне \(a\). В примере 3 сторона 12 см и высота 6 см дали бы 72 см² вместо правильных 48 см².
- Складывают противоположные углы вместо соседних. \(180^\circ\) дают углы при одной стороне. Противоположные углы равны, и их сумма \(180^\circ\) только в прямоугольнике.
- Думают, что диагонали параллелограмма равны. Равны они только у прямоугольника и квадрата. В общем параллелограмме диагонали разные — как в примере 5: 8 см и \(2\sqrt{21}\) см.
- Путают «делятся пополам» с «перпендикулярны». Пополам делятся всегда, а перпендикулярны — только у ромба и квадрата.
- В тождестве параллелограмма забывают двойку. Справа стоит \(2(a^2+b^2)\), потому что сторон четыре, а не две.
Вывод
Параллелограмм держится на одном определении, четырёх свойствах и трёх признаках. Свойства отвечают на вопрос «что из этого вытекает», признаки — на вопрос «как это доказать». Если держать эти два списка отдельно и перед каждой задачей спрашивать себя, где именно стоит слово «параллелограмм» — в условии или в выводе, — тема перестаёт быть путаной за один вечер.
Если доказательства всё равно «не собираются», а на контрольной вместо признака получается пересказ свойства — разберите тему с преподавателем на пробном занятии Tutor-Math. Занятие индивидуальное: педагог сразу увидит, в каком месте ломается логика рассуждения, и закроет пробел до того, как начнутся ромб, трапеция и подобие.
Сколько всего признаков параллелограмма?
В школьном курсе три основных: попарное равенство противоположных сторон; равенство и параллельность одной пары противоположных сторон; диагонали, делящиеся точкой пересечения пополам. В некоторых учебниках добавляют четвёртый — попарное равенство противоположных углов. Для решения задач достаточно трёх.
Является ли трапеция параллелограммом?
Нет. В трапеции параллельна лишь одна пара сторон, а определение параллелограмма требует двух пар. Если в трапеции боковые стороны вдруг окажутся параллельными, она перестанет быть трапецией и станет параллелограммом.
Как быстро найти площадь, если высота неизвестна?
Воспользуйтесь формулой \(S = ab\sin\alpha\) — она требует лишь двух соседних сторон и угла между ними. Если же известны диагонали и угол между ними, площадь равна половине произведения диагоналей на синус этого угла.
Почему диагонали параллелограмма не равны между собой?
Потому что одна диагональ «лежит против» острого угла, а вторая — против тупого. По теореме косинусов большему углу соответствует бо́льшая сторона треугольника, поэтому диагональ против тупого угла всегда длиннее. Равными они становятся лишь тогда, когда все углы прямые, то есть в прямоугольнике.
