Трапеция: виды, свойства, площадь
Трапеция — первая фигура в геометрии 8 класса, у которой стороны ведут себя по-разному: две параллельные, две нет. Из-за этой несимметричности ученики путаются, что куда подставлять, и вместо формулы площади трапеции тянут формулу прямоугольника. На самом деле вся тема держится на трёх вещах: средняя линия, высота и умение увидеть в трапеции прямоугольный треугольник. На занятиях в Tutor-Math мы отрабатываем именно третий навык — он превращает большинство задач на трапецию в задачи, которые школьник уже умеет решать.
Определение и элементы трапеции
Определение. Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называют основаниями трапеции (большее и меньшее), непараллельные — боковыми сторонами. Обозначим основания \(a\) и \(b\), боковые стороны \(c\) и \(d\).
Высота трапеции \(h\) — это перпендикуляр, проведённый от одного основания к прямой, содержащей второе основание. Высота равна расстоянию между основаниями.
Слова «не параллельны» в определении принципиальны: если обе пары сторон параллельны, это уже параллелограмм, а не трапеция. Поэтому параллелограмм, ромб и квадрат трапециями не являются.
Ещё одно свойство, вытекающее прямо из параллельности оснований: сумма углов при каждой боковой стороне равна \(180^\circ\).
\[ \angle A + \angle D = 180^\circ, \qquad \angle B + \angle C = 180^\circ \]Это внутренние односторонние углы при параллельных основаниях. Свойство выручает каждый раз, когда в задаче дан только один угол.
Виды трапеций
Кроме произвольной, различают два особых вида со своими наборами свойств.
Равнобокая (равнобедренная) трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны: \(c = d\).
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Равнобокая трапеция симметрична относительно прямой через середины оснований. Прямоугольная — нет: у неё одна боковая сторона стоит вертикально и одновременно является высотой.
Свойства равнобокой трапеции
Это главный вид в задачах, свойств у него четыре.
- Углы при каждом основании равны: \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\).
- Диагонали равны: \(AC = BD\).
- Высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания два равных отрезка длиной \(\dfrac{a-b}{2}\) каждый, а средняя часть равна \(b\).
- Вокруг равнобокой трапеции всегда можно описать окружность. И наоборот: если вокруг трапеции описана окружность, она равнобокая.
Последний пункт стоит пояснить. Окружность описывается вокруг четырёхугольника только тогда, когда суммы противоположных углов равны \(180^\circ\). В трапеции это сводится к условию \(\angle C = \angle D\), то есть к равнобокости. Поэтому «вписанная в окружность трапеция» и «равнобокая трапеция» — одно и то же.
Третье свойство — рабочая лошадка всех вычислений. Опустим из вершин меньшего основания две высоты: большее основание разобьётся на части \(\dfrac{a-b}{2}\), \(b\) и \(\dfrac{a-b}{2}\). Образуются два равных прямоугольных треугольника с катетами \(h\) и \(\dfrac{a-b}{2}\) и гипотенузой \(c\). Дальше работает теорема Пифагора:
\[ h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} \]Прямоугольная трапеция
Здесь проще: боковая сторона \(c\), перпендикулярная основаниям, сама и есть высота, \(h = c\). Два угла прямые, остальные два в сумме дают \(180^\circ\).
Чтобы найти наклонную боковую сторону \(d\), опускают одну высоту из вершины меньшего основания. Образуется прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и \(a - b\), где \(d\) — гипотенуза:
\[ d = \sqrt{h^2 + (a-b)^2} \]Обратите внимание на разницу: в равнобокой трапеции в треугольник идёт половина разности оснований, в прямоугольной — вся разность, потому что высота только одна. Это самый частый источник ошибок в теме.
Средняя линия трапеции
Определение. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \(m = \dfrac{a+b}{2}\).
Формулу читают в обе стороны: известны основания — находим \(m\); известны \(m\) и одно основание — находим второе: \(a = 2m - b\). Подробнее — в статье о средней линии.
\[ m = \frac{a+b}{2} \qquad \Longleftrightarrow \qquad a + b = 2m \]Площадь трапеции
Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h \]
Поскольку \(\dfrac{a+b}{2} = m\), формулу удобнее помнить короче:
\[ S = m \cdot h \]То есть площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Это формула площади прямоугольника со сторонами \(m\) и \(h\): трапецию можно «перекроить» именно в такой прямоугольник. Сравнение с формулами площадей других четырёхугольников есть в статье о прямоугольнике, ромбе и квадрате.
Есть и вторая формула — через диагонали и угол между ними. Она работает для любого выпуклого четырёхугольника, в том числе и для трапеции:
\[ S = \frac{1}{2} \, d_1 d_2 \sin \varphi \]где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали, \(\varphi\) — угол между ними. Для равнобокой трапеции \(d_1 = d_2 = d\), и формула упрощается до \(S = \dfrac{1}{2} d^2 \sin \varphi\).
Окружность, вписанная в трапецию
Условие. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон: \(a + b = c + d\).
Из этого условия следуют два удобных вывода. Во-первых, для равнобокой трапеции с вписанной окружностью \(c = d = \dfrac{a+b}{2} = m\): боковая сторона равна средней линии. Во-вторых, диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции, то есть \(r = \dfrac{h}{2}\), — окружность касается обоих оснований.
Не путайте два условия: вписать окружность можно при \(a+b=c+d\), а описать — только вокруг равнобокой трапеции.
Пример 1. Средняя линия в обе стороны
а) Основания трапеции равны 14 см и 8 см. Найти среднюю линию.
- \(m = \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{14+8}{2} = \dfrac{22}{2} = 11\) см.
б) Средняя линия равна 9 см, большее основание — 12 см. Найти меньшее основание.
- Из формулы \(a + b = 2m\) имеем \(12 + b = 18\), откуда \(b = 6\) см.
- Проверка: \(\dfrac{12+6}{2} = 9\) — совпадает с условием.
Ответ: а) 11 см; б) 6 см.
Пример 2. Площадь по основаниям и высоте
а) Основания трапеции 12 см и 8 см, высота 5 см. Найти площадь.
- \(m = \dfrac{12+8}{2} = 10\) см.
- \(S = m \cdot h = 10 \cdot 5 = 50\) см².
б) Площадь трапеции 90 см², основания 13 см и 7 см. Найти высоту.
- \(m = \dfrac{13+7}{2} = 10\) см.
- Из \(S = m \cdot h\): \(h = \dfrac{S}{m} = \dfrac{90}{10} = 9\) см.
- Проверка: \(10 \cdot 9 = 90\) см² — совпадает.
Ответ: а) 50 см²; б) 9 см.
Пример 3. Высота равнобокой трапеции через теорему Пифагора
В равнобокой трапеции основания равны 20 см и 8 см, боковая сторона — 10 см. Найти высоту, площадь и периметр.
- Опускаем две высоты из вершин меньшего основания. Каждая отсекает отрезок \(\dfrac{a-b}{2} = \dfrac{20-8}{2} = 6\) см.
- В прямоугольном треугольнике катет 6 см, гипотенуза 10 см. По теореме Пифагора: \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8\) см.
- Средняя линия: \(m = \dfrac{20+8}{2} = 14\) см. Площадь: \(S = 14 \cdot 8 = 112\) см².
- Периметр: \(P = 20 + 8 + 10 + 10 = 48\) см.
Ответ: \(h = 8\) см, \(S = 112\) см², \(P = 48\) см.
Пример 4. Прямоугольная трапеция
В прямоугольной трапеции основания 15 см и 9 см, меньшая боковая сторона (она же высота) равна 8 см. Найти наклонную боковую сторону, площадь и периметр.
- Опускаем высоту из вершины меньшего основания на большее. Горизонтальный катет равен всей разности оснований: \(a - b = 15 - 9 = 6\) см.
- Наклонная сторона — гипотенуза: \(d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10\) см.
- \(m = \dfrac{15+9}{2} = 12\) см, поэтому \(S = 12 \cdot 8 = 96\) см².
- \(P = 15 + 9 + 8 + 10 = 42\) см.
Ответ: \(d = 10\) см, \(S = 96\) см², \(P = 42\) см.
Пример 5. Трапеция с вписанной окружностью
В равнобокую трапецию с основаниями 18 см и 8 см вписана окружность. Найти боковую сторону, радиус окружности и площадь трапеции.
- Условие вписанной окружности: \(a + b = c + d\). Так как трапеция равнобокая, \(c = d\), поэтому \(2c = 18 + 8 = 26\), откуда \(c = 13\) см.
- Половина разности оснований: \(\dfrac{18-8}{2} = 5\) см. Высота: \(h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) см.
- Радиус вписанной окружности: \(r = \dfrac{h}{2} = 6\) см.
- Площадь: \(m = \dfrac{18+8}{2} = 13\) см, значит \(S = 13 \cdot 12 = 156\) см².
Проверка другим способом — через полупериметр и радиус вписанной окружности: \(p = \dfrac{18+8+13+13}{2} = 26\) см, тогда \(S = p \cdot r = 26 \cdot 6 = 156\) см². Оба способа дали одинаковый результат.
Ответ: \(c = 13\) см, \(r = 6\) см, \(S = 156\) см².
Пример 6. Площадь через диагонали и угол между ними
Диагонали равнобокой трапеции равны 12 см каждая, угол между ними \(30^\circ\). Найти площадь.
- \(S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ\).
- \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), поэтому \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 144 \cdot \dfrac{1}{2} = 36\) см².
Ответ: 36 см².
Типичные ошибки
- Перемножают основания вместо того, чтобы брать полусумму. Записывают \(S = a \cdot b\) или \(S = \dfrac{a \cdot b}{2}\). Правильно — \(S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h\): основания складываются, а не умножаются.
- Забывают разделить на 2. Пишут \(S = (a+b) \cdot h\) и получают вдвое больше. Страховка: сначала посчитайте \(m\), затем \(S = m \cdot h\).
- Путают половину разности оснований со всей разностью. В равнобокой трапеции в прямоугольный треугольник идёт \(\dfrac{a-b}{2}\), в прямоугольной — вся разность \(a-b\). Ошибка здесь сразу ломает высоту.
- Считают боковую сторону высотой в произвольной трапеции. Это верно только для прямоугольной трапеции, и лишь для той стороны, что перпендикулярна основаниям.
- Путают условия вписанной и описанной окружности. Вписать окружность можно при условии \(a+b=c+d\); описать окружность — только вокруг равнобокой трапеции. Это разные критерии, и они не взаимозаменяемы.
Вывод
Трапеция выглядит сложнее прямоугольника, но сводится к знакомым фигурам: две высоты из вершин меньшего основания — и получаем прямоугольник плюс один-два прямоугольных треугольника, где работает теорема Пифагора. Формулу площади держите в голове как \(S = m \cdot h\), а среднюю линию считайте первым шагом в любой задаче.
Если ребёнок путает виды трапеций или не видит, куда вписать прямоугольный треугольник, пробел здесь узкий и закрывается быстро. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: преподаватель проверит базу по четырёхугольникам и закроет конкретное слабое место, а не весь раздел подряд.
Частые вопросы
Является ли параллелограмм частным случаем трапеции?
По школьному определению — нет. В трапеции параллельна ровно одна пара противоположных сторон. Параллелограмм, ромб, прямоугольник и квадрат имеют две такие пары, поэтому к трапециям не относятся. Более широкое «инклюзивное» определение, по которому параллелограмм считают трапецией, в школьном курсе не используется.
Как найти высоту равнобокой трапеции, если известны основания и боковая сторона?
Опустите высоты из вершин меньшего основания на большее. Каждая отсекает отрезок длиной \(\dfrac{a-b}{2}\). Образуется прямоугольный треугольник с катетом \(\dfrac{a-b}{2}\) и гипотенузой \(c\), а высота находится по теореме Пифагора: \(h = \sqrt{c^2 - \left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2}\).
Когда в трапецию можно вписать окружность?
Тогда и только тогда, когда \(a+b=c+d\). Для равнобокой трапеции это означает, что боковая сторона равна средней линии. Радиус окружности равен половине высоты, потому что окружность касается обоих оснований.
Почему диагонали равнобокой трапеции равны?
Рассмотрите два треугольника, образованные большим основанием, боковой стороной и диагональю. Большее основание у них общее, боковые стороны равны по условию, углы при большем основании равны. Треугольники равны по первому признаку, следовательно, равны и диагонали.
