Подобие треугольников

Подобие треугольников: признаки и применение

Подобие — это тема, после которой геометрия 8 класса перестаёт быть набором отдельных фактов и начинает работать как инструмент. Именно подобие позволяет измерить высоту дерева по его тени, найти расстояние через реку и вывести большинство формул, которые понадобятся в 9–11 классах. На занятиях в Tutor-Math мы отдельно останавливаемся на двух вещах, дающих больше всего ошибок: чем подобие отличается от равенства и почему площади относятся не как \(k\), а как \(k^2\).

Определение подобия и коэффициент подобия

Определение. Два треугольника называют подобными, если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны.

Записывают это так: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Порядок букв в записи не декоративный — он фиксирует соответствие вершин: \(A \leftrightarrow A_1\), \(B \leftrightarrow B_1\), \(C \leftrightarrow C_1\). Значит, условие подобия означает одновременно

\[ \angle A = \angle A_1, \quad \angle B = \angle B_1, \quad \angle C = \angle C_1 \] \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \]

Определение. Число \(k\) — общее значение отношений соответственных сторон — называют коэффициентом подобия.

Коэффициент показывает, во сколько раз первый треугольник больше второго. Если \(k > 1\), первый больше; если \(k < 1\) — меньше; при \(k = 1\) треугольники просто равны. Обратите внимание: \(k\) зависит от того, какой треугольник записан первым. Для \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC\) коэффициент будет \(\dfrac{1}{k}\). Поскольку вся тема держится на равенстве отношений, стоит уверенно владеть пропорциями — без них подобие превращается в угадывание.

Равенство и подобие — в чём разница

Это первое место, где путаются. Равные треугольники — это треугольники, которые полностью совпадают при наложении: одинаковые углы и одинаковые стороны. Подобные — это треугольники одинаковой формы, но, возможно, разного размера: углы те же, а стороны увеличены или уменьшены в одно и то же число раз.

• Равенство — это подобие с коэффициентом \(k = 1\). То есть равенство является частным случаем подобия, а не наоборот.
• В признаках равенства всегда фигурируют равные стороны. В признаках подобия равенств сторон нет — есть только отношения сторон.
• Двух пар равных углов достаточно для подобия, но никогда не достаточно для равенства: треугольники с углами \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) могут быть любого размера.

Первый признак: по двум углам

Первый признак подобия. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Это самый употребительный признак, и причина проста: сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому из равенства двух пар углов автоматически следует равенство третьей пары. Проверять третий угол не нужно.

Практически этот признак применяют там, где есть параллельные прямые (равные соответственные или накрест лежащие углы), общий угол двух треугольников или вертикальные углы. Именно поэтому в задачах на подобие первым шагом полезно искать не стороны, а равные углы.

Второй признак: по двум сторонам и углу между ними

Второй признак подобия. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Ключевое слово здесь — «между ними». Угол должен лежать именно между теми двумя сторонами, которые вы взяли в отношение. Если равные углы лежат напротив пропорциональных сторон, признак не работает — это та же ловушка, что и во втором признаке равенства треугольников.

Третий признак: по трём сторонам

Третий признак подобия. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Здесь об углах вообще речи нет — достаточно проверить три отношения. Важно сравнивать стороны в правильном порядке: наименьшую с наименьшей, среднюю со средней, наибольшую с наибольшей. Если хотя бы одно из трёх отношений отличается от остальных, треугольники не подобны.

Периметры и площади: главная ловушка темы

Пусть \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) с коэффициентом \(k\). Тогда

\[ \frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k, \qquad \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \]

Правило. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, а отношение площадей — квадрату коэффициента подобия.

Почему так? Периметр — это сумма сторон, и каждая из них умножается на \(k\):

\[ P_{ABC} = AB + BC + AC = k\,A_1B_1 + k\,B_1C_1 + k\,A_1C_1 = k \cdot P_{A_1B_1C_1} \]

Площадь же считается как произведение двух линейных величин — стороны и высоты. Высоты подобных треугольников (как и медианы, и биссектрисы) тоже относятся как \(k\), поэтому в произведении \(k\) появляется дважды:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot k\,B_1C_1 \cdot k\,h_1 = k^2 \cdot S_{A_1B_1C_1} \]

Это самая частая ошибка всей темы: ученик увеличивает стороны втрое и пишет, что площадь выросла втрое. На самом деле она выросла в \(9\) раз. Если формулы площади ещё не автоматические, есть смысл перечитать площадь треугольника — там видно, почему именно два линейных множителя дают квадрат.

Обратная сторона правила тоже работает: если известно отношение площадей, коэффициент подобия находят как \(k = \sqrt{S_1 : S_2}\).

Теорема Фалеса и пропорциональные отрезки

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие две прямые, отсекают на одной из них равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой.

Обобщение этой теоремы на неравные отрезки и даёт инструмент для подобия:

Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.

Важнейшее следствие для треугольника формулируют так: прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. Если в \(\triangle ABC\) точка \(M\) лежит на \(AB\), точка \(N\) — на \(AC\) и \(MN \parallel BC\), то \(\triangle AMN \sim \triangle ABC\), а значит

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]

Обратите внимание на разницу между этими двумя цепочками: в первой знаменатели — целые стороны треугольника, во второй — отрезки-части. Смешивать их нельзя, и именно на этом теряется больше всего баллов.

Пример 1. Подобие по двум углам

В треугольниках \(ABC\) и \(DEF\): \(\angle A = \angle D = 58^\circ\), \(\angle B = \angle E = 74^\circ\). Известно, что \(AB = 12\) см, \(BC = 15\) см, \(AC = 9\) см, \(DE = 18\) см. Найти \(EF\), \(DF\) и периметр \(\triangle DEF\).

• По первому признаку \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) (два угла).
• Коэффициент от \(ABC\) к \(DEF\): \(k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\).
• \(EF = BC \cdot k = 15 \cdot 1{,}5 = 22{,}5\) см.
• \(DF = AC \cdot k = 9 \cdot 1{,}5 = 13{,}5\) см.
• Периметр: \(P_{ABC} = 12 + 15 + 9 = 36\) см, поэтому \(P_{DEF} = 36 \cdot 1{,}5 = 54\) см.
• Проверка прямым сложением: \(18 + 22{,}5 + 13{,}5 = 54\) см. Совпадает.

Ответ: \(EF = 22{,}5\) см, \(DF = 13{,}5\) см, \(P_{DEF} = 54\) см.

Пример 2. Подобие по трём сторонам

Стороны первого треугольника равны 4, 6 и 8 см, второго — 6, 9 и 12 см. Подобны ли эти треугольники? А треугольники со сторонами 3, 4, 5 и 6, 8, 11?

• Упорядочиваем стороны по возрастанию и делим соответственные: \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\), \(\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}\), \(\dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}\).
• Все три отношения одинаковы, значит по третьему признаку треугольники подобны с \(k = 1{,}5\).
• Контроль через периметры: \(4 + 6 + 8 = 18\), \(6 + 9 + 12 = 27\), и \(\dfrac{27}{18} = \dfrac{3}{2}\) — тот же коэффициент.
• Вторая пара: \(\dfrac{6}{3} = 2\), \(\dfrac{8}{4} = 2\), но \(\dfrac{11}{5} = 2{,}2\). Третье отношение другое — треугольники не подобны.

Ответ: первая пара подобна, \(k = 1{,}5\); вторая пара не подобна.

Пример 3. От площадей к периметру

Площади подобных треугольников равны 12 см² и 27 см². Периметр меньшего из них — 20 см. Найти периметр большего.

• Отношение площадей равно \(k^2\): \(k^2 = \dfrac{27}{12} = \dfrac{9}{4}\).
• Отсюда \(k = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\).
• Периметры относятся как \(k\), поэтому \(P = 20 \cdot 1{,}5 = 30\) см.
• Проверка в обратную сторону: если \(k = 1{,}5\), то площадь должна вырасти в \(k^2 = 2{,}25\) раза: \(12 \cdot 2{,}25 = 27\) см². Условие выполняется.

Ответ: 30 см.

Пример 4. Прямая, параллельная стороне

В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на стороне \(AB\), точка \(N\) — на стороне \(AC\), причём \(MN \parallel BC\). Известно: \(AM = 6\) см, \(MB = 4\) см, \(AN = 9\) см, \(MN = 12\) см. Найти \(NC\) и \(BC\).

• По теореме о пропорциональных отрезках: \(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}\), то есть \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{NC}\).
• Накрест: \(6 \cdot NC = 4 \cdot 9 = 36\), отсюда \(NC = 6\) см.
• Теперь \(AB = AM + MB = 6 + 4 = 10\) см. Из подобия \(\triangle AMN \sim \triangle ABC\) имеем \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), то есть \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{12}{BC}\).
• Накрест: \(6 \cdot BC = 120\), значит \(BC = 20\) см.
• Проверка: \(AC = AN + NC = 9 + 6 = 15\), и \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}\) — то же самое, что \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\).

Ответ: \(NC = 6\) см, \(BC = 20\) см.

Пример 5. Высота дерева по тени

Вертикальный шест высотой 1,8 м отбрасывает тень 1,2 м. В тот же момент дерево отбрасывает тень 8,4 м. Какова высота дерева?

Солнечные лучи в пределах одного двора считают параллельными, поэтому угол падения луча одинаков и для шеста, и для дерева. Оба объекта вертикальны, значит имеем два прямоугольных треугольника с равными острыми углами — они подобны по первому признаку.

• Составляем пропорцию «высота к тени»: \(\dfrac{h}{8{,}4} = \dfrac{1{,}8}{1{,}2}\).
• \(\dfrac{1{,}8}{1{,}2} = 1{,}5\), поэтому \(h = 8{,}4 \cdot 1{,}5 = 12{,}6\) м.
• Проверка через коэффициент: тень дерева больше тени шеста в \(8{,}4 : 1{,}2 = 7\) раз, значит и высота больше в 7 раз: \(1{,}8 \cdot 7 = 12{,}6\) м.

Ответ: 12,6 м.

Пример 6. Подобие по двум сторонам и углу между ними

В треугольнике \(ABC\): \(AB = 8\), \(AC = 12\), \(\angle A = 60^\circ\), \(BC = 4\sqrt{7}\). В треугольнике \(A_1B_1C_1\): \(A_1B_1 = 6\), \(A_1C_1 = 9\), \(\angle A_1 = 60^\circ\). Доказать подобие и найти \(B_1C_1\).

• Проверяем отношения сторон, образующих данный угол: \(\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{A_1C_1}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\).
• Отношения равны, углы между этими сторонами равны (\(60^\circ\)). По второму признаку \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC\) с коэффициентом \(k = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).
• Тогда \(B_1C_1 = BC \cdot k = 4\sqrt{7} \cdot \dfrac{3}{4} = 3\sqrt{7} \approx 7{,}94\).
• Проверка периметров: \(P_{ABC} = 8 + 12 + 4\sqrt{7} = 20 + 4\sqrt{7}\), \(P_{A_1B_1C_1} = 6 + 9 + 3\sqrt{7} = 15 + 3\sqrt{7}\). Отношение: \(\dfrac{15 + 3\sqrt{7}}{20 + 4\sqrt{7}} = \dfrac{3(5 + \sqrt{7})}{4(5 + \sqrt{7})} = \dfrac{3}{4}\). Совпадает с \(k\).

Ответ: треугольники подобны, \(k = 0{,}75\), \(B_1C_1 = 3\sqrt{7}\).

Типичные ошибки

• Площади умножают на \(k\) вместо \(k^2\). Абсолютный лидер среди ошибок темы. Если стороны увеличили в 3 раза, площадь увеличивается в 9 раз, а не в 3. И наоборот: из отношения площадей коэффициент извлекают корнем.
• Периметры возводят в квадрат. Зеркальная ошибка после того, как ученик выучил правило о площадях. Периметр — сумма длин, это линейная величина, поэтому отношение равно просто \(k\).
• Нарушено соответствие вершин. Запись \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) означает \(AB \leftrightarrow DE\), а не любую удобную пару. Составленная «наугад» пропорция даёт неправильный ответ даже при безупречной арифметике.
• Во втором признаке берут угол не между данными сторонами. Равенство углов, лежащих напротив пропорциональных сторон, подобия не гарантирует.
• Путают \(\dfrac{AM}{AB}\) и \(\dfrac{AM}{MB}\). В первой дроби знаменатель — вся сторона, во второй — лишь её вторая часть. Перед составлением пропорции стоит прямо подписать, что является целым, а что частью.
• Из подобия делают вывод о равенстве. Подобные треугольники имеют равные углы, но их стороны равны только при \(k = 1\).
• Коэффициент берут «вверх ногами». \(k\) и \(\dfrac{1}{k}\) — разные числа. После вычисления прикиньте на глаз, действительно ли искомая сторона получилась больше (меньше), как и должно быть.

Вывод

Подобие треугольников держится на трёх признаках и одном правиле о величинах: углы равны, стороны относятся как \(k\), периметры — как \(k\), площади — как \(k^2\). Практически вся тема сводится к двум действиям: найти пару подобных треугольников (чаще всего через равные углы при параллельных прямых) и правильно составить пропорцию с учётом соответствия вершин. Эти же навыки дальше используются в тригонометрии, в задачах на площади и в большинстве геометрических задач ГИА — обзор ключевых фактов собран в материале о топ-5 теоремах по геометрии.

Если ребёнок знает признаки наизусть, но «не видит» подобные треугольники на чертеже — пробел обычно узкий и закрывается за несколько занятий. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: преподаватель разберёт с учеником именно тот шаг, на котором ломается решение, а не весь раздел заново.

Частые вопросы

Сколько признаков подобия треугольников надо знать?

Три: по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам. Чаще всего в задачах работает первый — равные углы легко найти при параллельных прямых, при общем угле двух треугольников или при вертикальных углах. Второй и третий нужны тогда, когда в условии даны только длины сторон.

Почему площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента?

Потому что площадь — произведение двух линейных величин, стороны и высоты. В подобных треугольниках в \(k\) раз больше не только сторона, но и проведённая к ней высота. Поэтому в произведении \(\frac{1}{2} a h\) множитель \(k\) появляется дважды, и площадь растёт в \(k^2\) раз. Периметр же складывается только из длин, поэтому там \(k\) остаётся в первой степени.

Чем подобие отличается от равенства треугольников?

Равные треугольники совпадают при наложении: у них одинаковы и углы, и стороны. Подобные имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером: углы равны, а стороны пропорциональны с коэффициентом \(k\). Равенство — это частный случай подобия при \(k = 1\).

Как с помощью подобия измерить высоту дерева?

Поставьте рядом вертикальный шест известной высоты и в солнечный день измерьте длины обеих теней. Лучи солнца параллельны, поэтому шест с тенью и дерево с тенью образуют подобные прямоугольные треугольники. Далее составьте пропорцию «высота к тени»: высота дерева равна высоте шеста, умноженной на отношение длин теней.