Стереометрия: аксиомы и взаимное расположение прямых и плоскостей
Стереометрия начинается с неприятного открытия: почти всё, что работало в планиметрии, здесь работает не совсем. Две прямые без общих точек на плоскости обязательно параллельны — в пространстве уже нет. В Tutor-Math мы на первом же занятии с десятиклассником берём куб и проверяем на его рёбрах каждое определение — так абстракция перестаёт быть абстракцией за полчаса.
Рисунков здесь нет, поэтому договоримся сразу: все конфигурации описываем через куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), где \(ABCD\) — нижняя грань, \(A_1B_1C_1D_1\) — верхняя, вершина \(A_1\) стоит точно над \(A\), \(B_1\) над \(B\) и так далее, а рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) — вертикальные.
Аксиомы стереометрии
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Аксиома 1 объясняет, почему табуретка на трёх ножках не шатается, а на четырёх шатается: три точки задают плоскость однозначно, четвёртая уже может в неё не попасть.
Аксиома 2 — главный рабочий инструмент: доказали, что две точки лежат в плоскости, — вся прямая через них лежит в ней. Именно так строят сечения многогранников. Аксиома 3 запрещает плоскостям «касаться» в одной точке: две различные плоскости либо не имеют общих точек вообще, либо имеют целую общую прямую.
Следствия из аксиом
Следствие 1. Через прямую и точку вне её проходит плоскость, и притом только одна.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Обратите внимание на то, чего в списке нет: через две произвольные прямые плоскость проходит не всегда. Это первая трещина в планиметрической интуиции.
Две прямые в пространстве: скрещивающиеся — главная новость темы
Для двух прямых в пространстве возможны ровно три случая:
- Пересекаются — одна общая точка, лежат в одной плоскости (рёбра \(AB\) и \(AD\)).
- Параллельны — лежат в одной плоскости и не имеют общих точек (рёбра \(AB\) и \(A_1B_1\)).
- Скрещиваются — не лежат в одной плоскости, а потому и общих точек не имеют (рёбра \(AB\) и \(CC_1\)).
Определение. Две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей их обе.
Вот где интуиция подводит сильнее всего. В планиметрии «нет общих точек» равносильно «параллельны» — ведь все прямые и так лежат в одной плоскости. В пространстве это равенство ломается: две прямые без общих точек могут быть НЕ параллельными. Поэтому слова «лежат в одной плоскости» в определении параллельности — не формальность, и выбрасывать их нельзя.
У рёбер \(AB\) и \(CC_1\) куба общих точек нет: \(AB\) лежит в нижней грани, а \(CC_1\) касается её лишь в точке \(C\), которая \(AB\) не принадлежит. Параллельными их тоже не назовёшь — \(CC_1\) уходит вверх из плоскости нижней грани, и никакая плоскость не содержит оба ребра. Они скрещиваются.
Признак скрещивающихся прямых. Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются.
Угол между скрещивающимися прямыми определяют через параллельный перенос: через произвольную точку проводят прямые, параллельные данным, и измеряют угол между ними; величина не зависит от выбора точки. На практике переносят только одну прямую — так, чтобы она пересекла вторую. Например, \(AB\) и \(CC_1\) скрещиваются, но угол между ними прямой, ведь \(CC_1 \parallel BB_1\), а \(BB_1 \perp AB\). Скрещивающиеся прямые вполне могут быть перпендикулярными — они просто не пересекаются.
Прямая и плоскость
Здесь случаев тоже три: прямая лежит в плоскости; пересекает её в одной точке; параллельна ей, то есть общих точек нет (\(a \parallel \alpha\)).
Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и всей плоскости.
Достаточно найти в плоскости одну параллельную прямую. В кубе \(B_1D_1 \parallel BD\), а \(BD\) лежит в плоскости \(ABC\), значит \(B_1D_1 \parallel ABC\).
Две плоскости. Признак параллельности плоскостей
Для двух плоскостей случаев всего два — аксиома 3 не оставляет других: они либо пересекаются по прямой, либо параллельны.
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Свойство. Если две параллельные плоскости пересечь третьей, линии пересечения параллельны.
Слово «пересекающиеся» критично: двух параллельных прямых недостаточно. В кубе плоскости \(ABB_1\) и \(BCC_1\) пересекаются по \(BB_1\), хотя в каждой есть прямая, параллельная вертикальному ребру. Приведённое свойство — фундамент для призмы: её основания лежат в параллельных плоскостях, поэтому боковые рёбра параллельны и равны.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение. Прямую называют перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.
Признак. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
И здесь ключевое — «пересекающимся»: карандаш можно наклонить так, что он останется перпендикулярным двум параллельным линиям на столе, но перпендикулярным столу не будет.
Дальше — базовая конструкция темы. Пусть \(SA \perp \alpha\), точка \(A\) — основание перпендикуляра, \(M\) — произвольная точка плоскости. Отрезок \(SM\) называют наклонной, \(AM\) — её проекцией. Тогда \(SA \perp AM\) и по теореме Пифагора \(SM^2 = SA^2 + AM^2\): большей проекции соответствует большая наклонная.
Теорема о трёх перпендикулярах
ТТП. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение.
Три перпендикуляра — это \(SA\), проекция \(AM\) и прямая в плоскости. Теорема переносит перпендикулярность «с пола на наклонную», и на ней держится половина задач про пирамиду: расстояние от вершины до стороны основания, построение линейного угла, перпендикулярность в сечении.
Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол
Определение. Углом между наклонной прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Для перпендикулярной прямой угол равен \(90^\circ\), для параллельной — \(0^\circ\).
Этот угол всегда в пределах от \(0^\circ\) до \(90^\circ\) и является наименьшим среди углов между прямой и прямыми плоскости. Спроецировали — получили прямоугольный треугольник, дальше обычная тригонометрия: \(\sin\varphi\) — это «перпендикуляр к наклонной», \(\tan\varphi\) — «перпендикуляр к проекции».
Определение. Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общим ребром. Его линейный угол строят так: из одной точки ребра в каждой полуплоскости проводят луч, перпендикулярный ребру.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
Величина линейного угла не зависит от выбора точки ребра. Углом между плоскостями называют меньший из двух смежных двугранных, то есть величину от \(0^\circ\) до \(90^\circ\).
Пример 1. Сколько рёбер куба скрещиваются с ребром AB
Всего рёбер 12. Параллельны \(AB\): \(A_1B_1\), \(DC\), \(D_1C_1\) — три. Пересекают \(AB\): \(AD\), \(AA_1\), \(BC\), \(BB_1\) — четыре. Само ребро \(AB\) — одно. Остаётся \(12 - 1 - 3 - 4 = 4\) ребра: \(CC_1\), \(DD_1\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\).
Проверка: \(A_1D_1\) лежит в верхней грани, \(AB\) — в нижней, общей плоскости нет; \(DD_1\) пересекает плоскость нижней грани в точке \(D\), не принадлежащей \(AB\).
Ответ: \(CC_1,\ DD_1,\ A_1D_1,\ B_1C_1\) — четыре ребра.
Пример 2. Угол между скрещивающимися прямыми
Ребро куба равно 6. Найти угол между прямыми \(AB\) и \(CD_1\).
Прямые скрещиваются: \(CD_1\) пересекает плоскость нижней грани в точке \(C\), не лежащей на \(AB\). Так как \(AB \parallel DC\), искомый угол равен углу между \(DC\) и \(CD_1\), а они пересекаются в точке \(C\). В треугольнике \(DCD_1\) угол при \(D\) прямой (\(DD_1\) перпендикулярно нижней грани), \(DC = DD_1 = 6\), поэтому треугольник равнобедренный прямоугольный и \(\angle DCD_1 = 45^\circ\).
Контроль координатами: \(A(0;0;0)\), \(B(6;0;0)\), \(C(6;6;0)\), \(D_1(0;6;6)\), направляющие векторы \(\vec{AB}(6;0;0)\) и \(\vec{CD_1}(-6;0;6)\) с длинами 6 и \(6\sqrt{2}\), поэтому \[\cos\varphi = \frac{|{-36}|}{6 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.\] Координаты в пространстве работают так же, как и на плоскости — см. координаты на плоскости.
Ответ: \(45^\circ\).
Пример 3. Теорема о трёх перпендикулярах
\(ABCD\) — прямоугольник, \(AB = 9\), \(AD = 5\), \(SA \perp ABC\), \(SA = 12\). Найти расстояния от \(S\) до прямых \(BC\) и \(CD\).
Проекция наклонной \(SB\) на основание — это \(AB\), а \(BC \perp AB\), поэтому по ТТП \(BC \perp SB\), и \(SB\) — искомое расстояние: \[SB = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15.\] Точно так же \(CD \perp AD\), значит \(CD \perp SD\) и \[SD = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.\]
Ответ: 15 и 13.
Пример 4. Угол между диагональю куба и плоскостью основания
Найти угол между диагональю \(AC_1\) куба с ребром \(a\) и плоскостью \(ABC\).
Так как \(CC_1 \perp ABC\), проекцией \(AC_1\) является диагональ квадрата \(AC = a\sqrt{2}\), а искомый угол — это \(\angle C_1AC\): \[\tan\varphi = \frac{CC_1}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707.\]
Проверка другим способом: диагональ куба \(AC_1 = a\sqrt{3}\), поэтому \(\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\) — тот же угол. Ребро сократилось, и это логично: все кубы подобны.
Ответ: \(\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 35^\circ 16'\).
Пример 5. Линейный угол двугранного угла
\(ABCD\) — квадрат со стороной 4, \(SA \perp ABC\), \(SA = 4\sqrt{3}\). Найти двугранный угол при ребре \(BC\) между плоскостями \(SBC\) и \(ABC\).
Проекция наклонной \(SB\) — это \(AB\), а \(AB \perp BC\), поэтому по ТТП \(SB \perp BC\). Оба луча \(BA\) и \(BS\) выходят из точки \(B\) и перпендикулярны ребру \(BC\), значит \(\angle SBA\) — линейный угол. В треугольнике \(SAB\): \[\tan(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}.\]
Проверка: тогда \(SB = \dfrac{4}{\cos 60^\circ} = 8\), и действительно \(SB^2 = 64 = 48 + 16 = SA^2 + AB^2\).
Ответ: \(60^\circ\).
Пример 6. Параллельные плоскости
Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены двумя лучами с общим началом \(S\); \(\alpha\) лежит между \(S\) и \(\beta\). Лучи пересекают \(\alpha\) в точках \(A\), \(B\), а \(\beta\) — в точках \(A_1\), \(B_1\). Известно: \(SA = 6\), \(AA_1 = 4\), \(A_1B_1 = 15\). Найти \(AB\).
Плоскость \(SAB\) пересекает обе параллельные плоскости, поэтому \(AB \parallel A_1B_1\). Треугольники \(SAB\) и \(SA_1B_1\) подобны по двум углам с коэффициентом \(k = \dfrac{SA}{SA_1} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\), откуда \(AB = 0{,}6 \cdot 15 = 9\). Проверка: \(\dfrac{9}{15} = 0{,}6\) — совпадает.
Ответ: \(AB = 9\).
Типичные ошибки
- «Не пересекаются — значит параллельны». Главная ошибка темы: в пространстве это верно только тогда, когда прямые лежат в одной плоскости. Иначе они скрещиваются.
- Выбрасывают слово «пересекающиеся» в признаках параллельности плоскостей и перпендикулярности прямой и плоскости — для параллельных прямых оба признака неверны.
- Считают, что две плоскости могут иметь ровно одну общую точку. Аксиома 3 это запрещает.
- Строят линейный угол «на глаз». Оба луча должны выходить из одной точки ребра и быть перпендикулярными ему.
- Путают наклонную с проекцией: в \(\tan\varphi\) в знаменателе проекция, в \(\sin\varphi\) — сама наклонная.
- «Скрещивающиеся не бывают перпендикулярными». Бывают: угол между ними определён через параллельный перенос.
- Проводят плоскость через две произвольные прямые. Через скрещивающиеся это невозможно.
Вывод
Вся тема держится на трёх аксиомах и чётком различении случаев: три для двух прямых, три для прямой и плоскости, два для двух плоскостей. Если вы уверенно называете скрещивающиеся рёбра куба, строите линейный угол через ТТП и не забываете слово «пересекающиеся» — призма, пирамида и тела вращения пойдут значительно легче.
Если пространство пока не «складывается в голове», самый быстрый способ — разобрать десяток конфигураций с преподавателем на реальной модели куба. Запишитесь на пробное занятие: за одну встречу видно, где именно планиметрическая привычка мешает видеть пространство.
Чем скрещивающиеся прямые отличаются от параллельных?
И те, и другие не имеют общих точек. Но параллельные лежат в одной плоскости, а через скрещивающиеся никакой плоскости провести нельзя. В планиметрии скрещивающихся не бывает вообще — поэтому привычка «нет общих точек, значит параллельны» здесь не работает.
Могут ли скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными?
Да. Угол между скрещивающимися определяют как угол между прямыми, параллельными данным и проведёнными через одну точку. Если он равен \(90^\circ\), прямые перпендикулярны — как рёбра \(AB\) и \(CC_1\) куба.
Сколько прямых, перпендикулярных данной, можно провести через точку?
На плоскости — ровно одну. В пространстве — бесконечно много: все они образуют плоскость, перпендикулярную данной прямой в этой точке. А плоскость, перпендикулярная прямой и проведённая через данную точку, только одна.
Как доказать, что прямая параллельна плоскости?
Найти в плоскости хотя бы одну прямую, параллельную данной, и проверить, что сама прямая в этой плоскости не лежит. Такую параллельную обычно даёт средняя линия треугольника или противоположное ребро куба.
