Квадратична функція
Означення
Функцію, яку можна задати формулою виду \(y=ax^{2}+bx+c\), де \(x\)- незалежна змінна, \(a, b, c\) — деякі числа, причому \(a\neq0\), називають квадратичною.
Загальне уявлення про графік квадратичної функції дають координати вершини параболи та напрям її віток. Це уявлення буде тим повнішим, чим більше точок, які належать графіку, ми знатимемо. Тому можна будувати графік квадратичної функції, не використовуючи паралельних перенесень, за такою схемою:
\(1\)) знайти абсцису вершини параболи за формулою \(x_{0}=-\frac{b}{2a}\);
\(2\)) знайти ординату вершини параболи за формулою:
\(y_{0}=\frac{4ac-b^{2}}{4a}=-\frac{D}{4a}\),
де \(D\) — дискримінант квадратного тричлена \(ax^{2}+bx+c\);
Формулу \(y_{0}=\frac{4ac-b^{2}}{4a}=-\frac{D}{4a}\) запам’ятовувати необов’язково. Достатньо обчислити значення функції \(y=ax^{2}+bx+c\) у точці з абсцисою \(x_{0}=-\frac{b}{2a}\)
\(3\)) визначити напрям віток параболи;
Коефіцієнт \(a\) квадратного тричлена \(ax^{2}+bx+c\) визначає напрямок віток параболи: при \(а>0\) вітки напрямлені вгору, при \(a<0\) — униз;
\(4\)) знайти координати ще кількох точок, які належать шуканому графіку, зокрема координати точок перетину параболи з віссю абсцис (якщо дана функція має нулі).
З віссю \(Ox\): \(y=0\), то \(ax^2+bx+c=0\), розвʼязуємо квадратне рівняння та знаходимо ще дві точки графіка;
З віссю \(Oy\): \(x=0\), то \(y=c\).
\((0;c)\) — координати точки перетину параболи з віссю ординат;
позначити ці точки на координатній площині;
\(5\)) провести через усі позначені точки плавну неперервну лінію.
Розглянемо приклад
Побудуйте графік функції \(y=-x^2+2x+3\).
Розвʼязання:
Знайдемо абсцису вершини параболи, оскільки \(a=-1, b=2, c=3\), то \(x_{0}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1\).
Знайдемо ординату вершини параболи \(y_{0}=-1\cdot1^2+2\cdot1+3=4\).
\((1;4)\) — вершина параболи.
Вітки напрямлені вниз, оскільки \(a=-1\),тобто \(a<0\).
Знайдемо перетин графіка з віссю Ox: оскільки y=0, то отримаємо рівняння \(-x^2+2x+3=0\), як розвʼязувати квадратні рівняння читайте тут. Отже x1=-1, \(x_{2}=3\). Отримали точки \((-1;0)\) і \((3;0)\).
Знайдемо перетин графіка з віссю \(Oy\): оскільки \(x=0\), то \(y=-1\cdot0^2+2\cdot0+3=3\). Отримали точку \((0;3)\).
проводимо через усі знайдені точки плавну неперервну лінію.
Якщо уважно подивитися на гріфік можна помітити вісь симетрії \(x=1\).
