Паралелограм: властивості та ознаки
Паралелограм — перша фігура восьмого класу, на якій учень стикається з різницею між властивістю і ознакою. Формулювання схожі, слова майже ті самі, а логічний напрямок протилежний — і саме тут втрачається більшість балів на контрольній. У Tutor-Math ми навмисно розводимо ці два блоки на різні аркуші, бо коли вони змішані в одному конспекті, учень починає «доводити» те, що йому дали в умові. Розберімо означення, всі властивості, всі три ознаки, формули площі й тотожність паралелограма — з прикладами, порахованими до кінця.
Означення паралелограма
Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
В означенні є рівно одна умова — паралельність двох пар сторін. Ні про рівність сторін, ні про рівність кутів, ні про діагоналі там не сказано нічого. Усе інше — наслідки, які треба доводити.
Домовимося про позначення: паралелограм \(ABCD\), сторони \(AB = CD = a\) і \(BC = AD = b\), діагоналі \(AC = d_1\) та \(BD = d_2\), точка їх перетину — \(O\). Гострий кут при вершині \(A\) позначимо \(\alpha\), тупий при вершині \(B\) — \(\beta\).
Паралелограм — це не екзотика, а базова фігура цілого сімейства. Прямокутник, ромб і квадрат — часткові випадки паралелограма з додатковими умовами, і про них є окрема стаття про прямокутник, ромб і квадрат. А ось трапеція паралелограмом не є: у неї паралельна лише одна пара сторін.
Властивості паралелограма
Властивість — це те, що випливає з означення. Ми вже знаємо, що фігура є паралелограмом, і робимо з цього висновки.
Властивість 1. У паралелограма протилежні сторони рівні: \(AB = CD\), \(BC = AD\).
Властивість 2. У паралелограма протилежні кути рівні: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\).
Властивість 3. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл: \(AO = OC\), \(BO = OD\).
Властивість 4. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює \(180^\circ\): \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
Перші дві властивості доводять однаково — через діагональ. Проведемо \(AC\). Оскільки \(BC \parallel AD\), то \(\angle BCA = \angle CAD\) як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній \(AC\). Аналогічно \(AB \parallel CD\) дає \(\angle BAC = \angle ACD\). Сторона \(AC\) спільна, тож трикутники \(ABC\) і \(CDA\) рівні за другою ознакою рівності трикутників (сторона і два прилеглі кути). З рівності трикутників одразу маємо \(AB = CD\), \(BC = AD\) і \(\angle B = \angle D\).
Третю властивість доводять через трикутники \(AOB\) і \(COD\): \(AB = CD\) за щойно доведеною властивістю 1, а кути \(\angle OAB = \angle OCD\) і \(\angle OBA = \angle ODC\) — різносторонні при паралельних сторонах. Трикутники рівні, отже \(AO = OC\) і \(BO = OD\).
Четверта властивість не потребує трикутників узагалі: \(\angle A\) і \(\angle B\) — внутрішні односторонні при паралельних \(AD\) і \(BC\) та січній \(AB\), а такі кути в сумі дають \(180^\circ\). Практичний наслідок: достатньо знати один кут паралелограма, щоб знайти всі чотири.
Властивість чи ознака — у чому різниця
Це місце варто прочитати двічі. Різниця не в змісті речення, а в тому, що є умовою, а що висновком.
- Властивість: дано, що фігура — паралелограм; треба довести, що сторони рівні. Напрямок: паралелограм → рівність.
- Ознака: дано, що сторони рівні; треба довести, що фігура — паралелограм. Напрямок: рівність → паралелограм.
Просте правило для контрольної: подивіться, де в задачі стоїть слово «паралелограм». Якщо воно в умові — працюють властивості. Якщо його треба отримати у висновку — потрібна ознака. Формулювання ознаки завжди починається зі слів «якщо в чотирикутнику…», і слово чотирикутник тут не випадкове: воно підкреслює, що про паралельність ми ще нічого не знаємо.
Три ознаки паралелограма
Ознака 1. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.
Ознака 2. Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні й паралельні, то цей чотирикутник — паралелограм.
Ознака 3. Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.
Зверніть увагу на ознаку 2: там потрібні обидві умови для однієї пари сторін — і рівність, і паралельність. Якщо взяти лише рівність двох протилежних сторін, фігура паралелограмом бути не зобов'язана: можна побудувати рівнобічну трапецію, у якої бічні сторони рівні, але не паралельні. Це найпоширеніша логічна пастка теми.
Доводять ознаки в зворотному до властивостей порядку. Наприклад, ознаку 1: у чотирикутнику \(ABCD\) з \(AB = CD\) і \(BC = AD\) проведемо \(AC\). Трикутники \(ABC\) і \(CDA\) рівні за трьома сторонами (\(AC\) — спільна). Отже \(\angle BCA = \angle CAD\), а це різносторонні кути при прямих \(BC\), \(AD\) і січній \(AC\) — тому \(BC \parallel AD\). Так само з іншої пари рівних кутів дістаємо \(AB \parallel CD\). Обидві пари паралельні — за означенням це паралелограм.
Периметр і площа
Периметр рахують очевидно, бо протилежні сторони рівні:
\[P = 2(a + b)\]
Формул площі дві, і вибір між ними залежить від того, що дано в умові.
Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
\[S = a h_a\]
Площа паралелограма дорівнює добутку двох сусідніх сторін на синус кута між ними:
\[S = ab\sin\alpha\]
Перша формула виводиться перекроюванням: відріжте від паралелограма прямокутний трикутник біля однієї сторони й приставте його до протилежної — вийде прямокутник зі сторонами \(a\) і \(h_a\). Друга формула отримується з першої підстановкою \(h_a = b\sin\alpha\), бо висота є катетом прямокутного трикутника з гіпотенузою \(b\).
Головне застереження: у формулі \(S = ah_a\) висота має бути проведена саме до тієї сторони, яку ви взяли множником. У паралелограма дві різні висоти, і множити висоту на «не свою» сторону — типова помилка. Зате обидва добутки дають один результат: \(a h_a = b h_b\).
Ще одна корисна деталь: діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники, тому площа кожного з них дорівнює \(S/2\). Якщо потрібно рахувати ці половинки окремо, стануть у пригоді формули площі трикутника. А дві діагоналі разом ділять паралелограм на чотири трикутники рівної площі \(S/4\).
Тотожність паралелограма
Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін:
\[d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\]
Оскільки сторін чотири і вони попарно рівні, права частина — це \(a^2 + b^2 + a^2 + b^2\), тобто справді сума квадратів усіх сторін. Формула виводиться з теореми косинусів, застосованої двічі: для однієї діагоналі беруть кут \(\alpha\), для другої — суміжний кут \(180^\circ - \alpha\), у якого косинус протилежний за знаком. Доданки з косинусом взаємно знищуються, залишається чиста сума квадратів.
Практична цінність тотожності: вона пов'язує сторони й діагоналі без жодного кута. Якщо в задачі відомі три з чотирьох величин \(a, b, d_1, d_2\), четверту знаходять за один крок.
Приклад 1. Сторони за периметром
Периметр паралелограма дорівнює 48 см, а одна сторона на 6 см більша за іншу. Знайти сторони.
Нехай менша сторона \(b\), тоді більша \(a = b + 6\). Підставляємо в формулу периметра:
\[2\big((b+6) + b\big) = 48\]
Ділимо на 2: \(2b + 6 = 24\), звідси \(2b = 18\) і \(b = 9\). Тоді \(a = 9 + 6 = 15\).
Перевірка: \(2(15 + 9) = 2 \cdot 24 = 48\) см — збігається з умовою, і різниця \(15 - 9 = 6\) см теж.
Відповідь: 9 см і 15 см.
Приклад 2. Кути паралелограма
Один кут паралелограма на \(40^\circ\) більший за сусідній. Знайти всі кути.
Сусідні кути в сумі дають \(180^\circ\) (властивість 4). Нехай менший кут \(x\), більший \(x + 40^\circ\):
\[x + (x + 40^\circ) = 180^\circ\]
Звідси \(2x = 140^\circ\), \(x = 70^\circ\), а більший кут \(70^\circ + 40^\circ = 110^\circ\). За властивістю 2 протилежні кути рівні, тому кути йдуть по колу так: \(70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ\).
Перевірка: сума всіх кутів чотирикутника \(70 + 110 + 70 + 110 = 360^\circ\) — правильно.
Відповідь: \(70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ\).
Приклад 3. Площа і висота
Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 12 см, кут між ними \(30^\circ\). Знайти площу, обидві висоти й периметр.
Площу зручно шукати за другою формулою, бо дано дві сторони й кут між ними:
\[S = 8 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ = 96 \cdot 0{,}5 = 48\ \text{см}^2\]
Тепер висоти. З формули \(S = a h_a\) висота до сторони 12 см дорівнює \(h = \dfrac{48}{12} = 4\) см, а висота до сторони 8 см — \(h = \dfrac{48}{8} = 6\) см. Зверніть увагу: висоти різні, і кожна «своя» для своєї сторони.
Перевірка першої висоти напряму: \(h = 8 \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot 0{,}5 = 4\) см — збігається.
Периметр: \(P = 2(8 + 12) = 40\) см.
Відповідь: \(S = 48\) см², висоти 4 см і 6 см, \(P = 40\) см.
Приклад 4. Задача на доведення
У паралелограмі \(ABCD\) на діагоналі \(AC\) від її кінців відклали рівні відрізки \(AM = CN = k\), причому \(k < \tfrac{1}{2}AC\). Довести, що \(BMDN\) — паралелограм.
Нехай \(O\) — точка перетину діагоналей \(ABCD\). За властивістю 3 маємо \(AO = OC\) і \(BO = OD\).
Умова \(k < \tfrac{1}{2}AC = AO\) означає, що точка \(M\) лежить усередині відрізка \(AO\), а точка \(N\) — усередині відрізка \(CO\), тобто вони по різні боки від \(O\). Тоді
\[OM = AO - AM = AO - k, \qquad ON = CO - CN = CO - k\]
Оскільки \(AO = CO\), то \(OM = ON\). Отже, у чотирикутнику \(BMDN\) діагоналі \(MN\) і \(BD\) перетинаються в точці \(O\) і діляться нею навпіл: \(OM = ON\) і \(OB = OD\).
За ознакою 3 чотирикутник \(BMDN\) — паралелограм. Що й треба було довести.
Зверніть увагу на логіку: властивість 3 ми застосували до даного паралелограма \(ABCD\), а ознаку 3 — щоб отримати новий паралелограм \(BMDN\). Це рівно та різниця, про яку йшлося вище.
Відповідь: доведено за ознакою про діагоналі, що діляться навпіл.
Приклад 5. Друга діагональ через тотожність
Сторони паралелограма дорівнюють 5 см і 7 см, одна діагональ — 8 см. Знайти другу діагональ.
Застосовуємо тотожність паралелограма \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\):
\[8^2 + d_2^2 = 2(5^2 + 7^2)\]
\[64 + d_2^2 = 2(25 + 49) = 2 \cdot 74 = 148\]
\[d_2^2 = 148 - 64 = 84, \qquad d_2 = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \approx 9{,}17\ \text{см}\]
Перевірка: \(64 + 84 = 148 = 2(25 + 49)\) — тотожність виконується. Обидві діагоналі також проходять перевірку на реальність фігури: кожна має бути менша за \(a + b = 12\) і більша за \(|a - b| = 2\), а \(8\) і \(9{,}17\) цим умовам задовольняють.
Відповідь: \(2\sqrt{21} \approx 9{,}17\) см.
Приклад 6. Бісектриса кута паралелограма
У паралелограмі \(ABCD\) сторона \(AB = 6\) см, \(BC = 10\) см. Бісектриса кута \(A\) перетинає сторону \(BC\) у точці \(K\). Знайти \(BK\) і \(KC\).
Позначимо \(\angle BAK = \angle KAD\) (це бісектриса). Оскільки \(BC \parallel AD\), кути \(\angle KAD\) і \(\angle AKB\) різносторонні при січній \(AK\), тому \(\angle AKB = \angle KAD\).
Отже \(\angle BAK = \angle AKB\), і трикутник \(ABK\) рівнобедрений з основою \(AK\). Звідси \(BK = AB = 6\) см.
Тоді \(KC = BC - BK = 10 - 6 = 4\) см.
Це загальний факт, який варто запам'ятати: бісектриса кута паралелограма відтинає від нього рівнобедрений трикутник. Окремий випадок: якщо \(AB \geq BC\), бісектриса перетне не сторону \(BC\), а її продовження, і задача виглядатиме інакше — тут \(6 < 10\), тож точка \(K\) справді лежить на стороні.
Відповідь: \(BK = 6\) см, \(KC = 4\) см.
Типові помилки
- Плутають властивість з ознакою. У задачі «довести, що \(ABCD\) — паралелограм» учень пише «протилежні сторони рівні, бо це паралелограм» — і доводить те, що вже припустив. Замкнене коло. Якщо паралелограм треба отримати у висновку, працюють тільки ознаки.
- Вважають, що рівності двох протилежних сторін достатньо. Ознака 2 вимагає ще й паралельності цієї пари. Без неї контрприкладом є рівнобічна трапеція.
- Множать сторону на «чужу» висоту. У формулі \(S = ah_a\) висота проведена саме до сторони \(a\). У прикладі 3 сторона 12 см і висота 6 см дали б 72 см² замість правильних 48 см².
- Складають протилежні кути замість сусідніх. \(180^\circ\) дають кути при одній стороні. Протилежні кути рівні, і їхня сума \(180^\circ\) лише у прямокутнику.
- Думають, що діагоналі паралелограма рівні. Рівні вони тільки у прямокутника й квадрата. У загальному паралелограмі діагоналі різні — як у прикладі 5: 8 см і \(2\sqrt{21}\) см.
- Плутають «діляться навпіл» з «перпендикулярні». Навпіл діляться завжди, а перпендикулярні — лише в ромба і квадрата.
- У тотожності паралелограма забувають двійку. Праворуч стоїть \(2(a^2+b^2)\), бо сторін чотири, а не дві.
Висновок
Паралелограм тримається на одному означенні, чотирьох властивостях і трьох ознаках. Властивості відповідають на питання «що з цього випливає», ознаки — на питання «як це довести». Якщо тримати ці два списки окремо й перед кожною задачею питати себе, де саме стоїть слово «паралелограм» — в умові чи у висновку, — тема перестає бути плутаною за один вечір.
Якщо доведення все одно «не збираються», а на контрольній замість ознаки виходить переказ властивості — розберіть тему з викладачем на пробному занятті Tutor-Math. Заняття індивідуальне: педагог одразу побачить, у якому місці ламається логіка міркування, і закриє прогалину до того, як почнуться ромб, трапеція і подібність.
Скільки всього ознак паралелограма?
У шкільному курсі три основні: попарна рівність протилежних сторін; рівність і паралельність однієї пари протилежних сторін; діагоналі, що діляться точкою перетину навпіл. У деяких підручниках додають четверту — попарна рівність протилежних кутів. Для розв'язання задач достатньо трьох.
Чи є трапеція паралелограмом?
Ні. У трапеції паралельна лише одна пара сторін, а означення паралелограма вимагає двох пар. Якщо в трапеції бічні сторони раптом виявляться паралельними, вона перестане бути трапецією і стане паралелограмом.
Як швидко знайти площу, якщо висота невідома?
Скористайтеся формулою \(S = ab\sin\alpha\) — вона потребує лише двох сусідніх сторін і кута між ними. Якщо ж відомі діагоналі й кут між ними, площа дорівнює половині добутку діагоналей на синус цього кута.
Чому діагоналі паралелограма не рівні між собою?
Бо одна діагональ «лежить проти» гострого кута, а друга — проти тупого. За теоремою косинусів більшому куту відповідає довша сторона трикутника, тому діагональ проти тупого кута завжди довша. Рівними вони стають лише тоді, коли всі кути прямі, тобто у прямокутнику.
