Подібність трикутників

Подібність трикутників: ознаки та застосування

Подібність — це тема, після якої геометрія 8 класу перестає бути набором окремих фактів і починає працювати як інструмент. Саме подібність дозволяє виміряти висоту дерева за його тінню, знайти відстань через річку та вивести більшість формул, які потім знадобляться в 9–11 класах. На заняттях у Tutor-Math ми окремо зупиняємось на двох речах, що дають найбільше помилок: чим подібність відрізняється від рівності та чому площі відносяться не як \(k\), а як \(k^2\).

Означення подібності та коефіцієнт подібності

Означення. Два трикутники називають подібними, якщо їхні відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.

Записують це так: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Порядок букв у записі не декоративний — він фіксує відповідність вершин: \(A \leftrightarrow A_1\), \(B \leftrightarrow B_1\), \(C \leftrightarrow C_1\). Отже, умова подібності означає одночасно

\[ \angle A = \angle A_1, \quad \angle B = \angle B_1, \quad \angle C = \angle C_1 \] \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \]

Означення. Число \(k\) — спільне значення відношень відповідних сторін — називають коефіцієнтом подібності.

Коефіцієнт показує, у скільки разів перший трикутник більший за другий. Якщо \(k > 1\), перший більший; якщо \(k < 1\) — менший; при \(k = 1\) трикутники просто рівні. Зверніть увагу: \(k\) залежить від того, який трикутник записали першим. Для \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC\) коефіцієнт буде \(\dfrac{1}{k}\). Оскільки вся тема тримається на рівності відношень, варто впевнено володіти пропорціями — без них подібність перетворюється на вгадування.

Рівність і подібність — у чому різниця

Це перше місце, де плутаються. Рівні трикутники — це трикутники, які повністю збігаються при накладанні: однакові кути і однакові сторони. Подібні — це трикутники однакової форми, але, можливо, різного розміру: кути ті самі, а сторони збільшені або зменшені в одне й те саме число разів.

• Рівність — це подібність із коефіцієнтом \(k = 1\). Тобто рівність є окремим випадком подібності, а не навпаки.
• В ознаках рівності завжди фігурують рівні сторони. В ознаках подібності сторін-рівнянь немає — є лише відношення сторін.
• Дві пари рівних кутів достатньо для подібності, але ніколи не достатньо для рівності: трикутники з кутами \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) можуть бути будь-якого розміру.

Перша ознака: за двома кутами

Перша ознака подібності. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Це найчастіше вживана ознака, і причина проста: сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ\), тому з рівності двох пар кутів автоматично випливає рівність третьої пари. Перевіряти третій кут не потрібно.

Практично цю ознаку застосовують там, де є паралельні прямі (рівні відповідні або внутрішні різносторонні кути), спільний кут двох трикутників або вертикальні кути. Саме тому в задачах на подібність першим кроком корисно шукати не сторони, а рівні кути.

Друга ознака: за двома сторонами і кутом між ними

Друга ознака подібності. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника, а кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

Ключове слово тут — «між ними». Кут має лежати саме між тими двома сторонами, які ви взяли у відношення. Якщо рівні кути лежать навпроти пропорційних сторін, ознака не працює — це та сама пастка, що й у другій ознаці рівності трикутників.

Третя ознака: за трьома сторонами

Третя ознака подібності. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Тут про кути взагалі не йдеться — достатньо перевірити три відношення. Важливо порівнювати сторони в правильному порядку: найменшу з найменшою, середню із середньою, найбільшу з найбільшою. Якщо хоча б одне з трьох відношень відрізняється від інших, трикутники не подібні.

Периметри і площі: головна пастка теми

Нехай \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) з коефіцієнтом \(k\). Тоді

\[ \frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k, \qquad \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \]

Правило. Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності, а відношення площ — квадрату коефіцієнта подібності.

Чому так? Периметр — це сума сторін, і кожна з них множиться на \(k\):

\[ P_{ABC} = AB + BC + AC = k\,A_1B_1 + k\,B_1C_1 + k\,A_1C_1 = k \cdot P_{A_1B_1C_1} \]

Площа ж рахується як добуток двох лінійних величин — сторони й висоти. Висоти подібних трикутників (як і медіани, і бісектриси) теж відносяться як \(k\), тому в добутку \(k\) з'являється двічі:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot k\,B_1C_1 \cdot k\,h_1 = k^2 \cdot S_{A_1B_1C_1} \]

Це найчастіша помилка всієї теми: учень збільшує сторони втричі й пише, що площа зросла втричі. Насправді вона зросла в \(9\) разів. Якщо формули площі ще не автоматичні, є сенс перечитати площу трикутника — там видно, чому саме два лінійні множники дають квадрат.

Зворотний бік правила теж працює: якщо відомо відношення площ, коефіцієнт подібності знаходять як \(k = \sqrt{S_1 : S_2}\).

Теорема Фалеса і пропорційні відрізки

Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі, які перетинають дві прямі, відтинають на одній із них рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій.

Узагальнення цієї теореми на нерівні відрізки й дає інструмент для подібності:

Теорема про пропорційні відрізки. Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на них пропорційні відрізки.

Найважливіший наслідок для трикутника формулюють так: пряма, паралельна одній зі сторін трикутника, відтинає від нього трикутник, подібний даному. Якщо в \(\triangle ABC\) точка \(M\) лежить на \(AB\), точка \(N\) — на \(AC\) і \(MN \parallel BC\), то \(\triangle AMN \sim \triangle ABC\), а отже

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]

Зверніть увагу на різницю між цими двома ланцюжками: у першому знаменники — цілі сторони трикутника, у другому — відрізки-частини. Змішувати їх не можна, і саме на цьому губиться найбільше балів.

Приклад 1. Подібність за двома кутами

У трикутниках \(ABC\) і \(DEF\): \(\angle A = \angle D = 58^\circ\), \(\angle B = \angle E = 74^\circ\). Відомо, що \(AB = 12\) см, \(BC = 15\) см, \(AC = 9\) см, \(DE = 18\) см. Знайти \(EF\), \(DF\) і периметр \(\triangle DEF\).

• За першою ознакою \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) (два кути).
• Коефіцієнт від \(ABC\) до \(DEF\): \(k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\).
• \(EF = BC \cdot k = 15 \cdot 1{,}5 = 22{,}5\) см.
• \(DF = AC \cdot k = 9 \cdot 1{,}5 = 13{,}5\) см.
• Периметр: \(P_{ABC} = 12 + 15 + 9 = 36\) см, тому \(P_{DEF} = 36 \cdot 1{,}5 = 54\) см.
• Перевірка прямим додаванням: \(18 + 22{,}5 + 13{,}5 = 54\) см. Збігається.

Відповідь: \(EF = 22{,}5\) см, \(DF = 13{,}5\) см, \(P_{DEF} = 54\) см.

Приклад 2. Подібність за трьома сторонами

Сторони першого трикутника дорівнюють 4, 6 і 8 см, другого — 6, 9 і 12 см. Чи подібні ці трикутники? А трикутники зі сторонами 3, 4, 5 і 6, 8, 11?

• Впорядковуємо сторони за зростанням і ділимо відповідні: \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\), \(\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}\), \(\dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}\).
• Усі три відношення однакові, отже за третьою ознакою трикутники подібні з \(k = 1{,}5\).
• Контроль через периметри: \(4 + 6 + 8 = 18\), \(6 + 9 + 12 = 27\), і \(\dfrac{27}{18} = \dfrac{3}{2}\) — той самий коефіцієнт.
• Друга пара: \(\dfrac{6}{3} = 2\), \(\dfrac{8}{4} = 2\), але \(\dfrac{11}{5} = 2{,}2\). Третє відношення інше — трикутники не подібні.

Відповідь: перша пара подібна, \(k = 1{,}5\); друга пара не подібна.

Приклад 3. Від площ до периметра

Площі подібних трикутників дорівнюють 12 см² і 27 см². Периметр меншого з них — 20 см. Знайти периметр більшого.

• Відношення площ дорівнює \(k^2\): \(k^2 = \dfrac{27}{12} = \dfrac{9}{4}\).
• Звідси \(k = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\).
• Периметри відносяться як \(k\), тому \(P = 20 \cdot 1{,}5 = 30\) см.
• Перевірка у зворотний бік: якщо \(k = 1{,}5\), то площа має зрости в \(k^2 = 2{,}25\) раза: \(12 \cdot 2{,}25 = 27\) см². Умова виконується.

Відповідь: 30 см.

Приклад 4. Пряма, паралельна стороні

У трикутнику \(ABC\) точка \(M\) лежить на стороні \(AB\), точка \(N\) — на стороні \(AC\), причому \(MN \parallel BC\). Відомо: \(AM = 6\) см, \(MB = 4\) см, \(AN = 9\) см, \(MN = 12\) см. Знайти \(NC\) і \(BC\).

• За теоремою про пропорційні відрізки: \(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}\), тобто \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{NC}\).
• Навхрест: \(6 \cdot NC = 4 \cdot 9 = 36\), звідси \(NC = 6\) см.
• Тепер \(AB = AM + MB = 6 + 4 = 10\) см. З подібності \(\triangle AMN \sim \triangle ABC\) маємо \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), тобто \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{12}{BC}\).
• Навхрест: \(6 \cdot BC = 120\), отже \(BC = 20\) см.
• Перевірка: \(AC = AN + NC = 9 + 6 = 15\), і \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}\) — те саме, що \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\).

Відповідь: \(NC = 6\) см, \(BC = 20\) см.

Приклад 5. Висота дерева за тінню

Вертикальна жердина заввишки 1,8 м відкидає тінь 1,2 м. У той самий момент дерево відкидає тінь 8,4 м. Яка висота дерева?

Сонячні промені в межах одного двору вважають паралельними, тому кут падіння променя однаковий і для жердини, і для дерева. Обидва об'єкти вертикальні, отже маємо два прямокутні трикутники з рівними гострими кутами — вони подібні за першою ознакою.

• Складаємо пропорцію «висота до тіні»: \(\dfrac{h}{8{,}4} = \dfrac{1{,}8}{1{,}2}\).
• \(\dfrac{1{,}8}{1{,}2} = 1{,}5\), тому \(h = 8{,}4 \cdot 1{,}5 = 12{,}6\) м.
• Перевірка через коефіцієнт: тінь дерева більша за тінь жердини у \(8{,}4 : 1{,}2 = 7\) разів, отже і висота більша в 7 разів: \(1{,}8 \cdot 7 = 12{,}6\) м.

Відповідь: 12,6 м.

Приклад 6. Подібність за двома сторонами і кутом між ними

У трикутнику \(ABC\): \(AB = 8\), \(AC = 12\), \(\angle A = 60^\circ\), \(BC = 4\sqrt{7}\). У трикутнику \(A_1B_1C_1\): \(A_1B_1 = 6\), \(A_1C_1 = 9\), \(\angle A_1 = 60^\circ\). Довести подібність і знайти \(B_1C_1\).

• Перевіряємо відношення сторін, що утворюють даний кут: \(\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) і \(\dfrac{A_1C_1}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\).
• Відношення рівні, кути між цими сторонами рівні (\(60^\circ\)). За другою ознакою \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC\) з коефіцієнтом \(k = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).
• Тоді \(B_1C_1 = BC \cdot k = 4\sqrt{7} \cdot \dfrac{3}{4} = 3\sqrt{7} \approx 7{,}94\).
• Перевірка периметрів: \(P_{ABC} = 8 + 12 + 4\sqrt{7} = 20 + 4\sqrt{7}\), \(P_{A_1B_1C_1} = 6 + 9 + 3\sqrt{7} = 15 + 3\sqrt{7}\). Відношення: \(\dfrac{15 + 3\sqrt{7}}{20 + 4\sqrt{7}} = \dfrac{3(5 + \sqrt{7})}{4(5 + \sqrt{7})} = \dfrac{3}{4}\). Збігається з \(k\).

Відповідь: трикутники подібні, \(k = 0{,}75\), \(B_1C_1 = 3\sqrt{7}\).

Типові помилки

• Площі множать на \(k\) замість \(k^2\). Абсолютний лідер серед помилок теми. Якщо сторони збільшили в 3 рази, площа збільшується в 9 разів, а не в 3. І навпаки: з відношення площ коефіцієнт добувають коренем.
• Периметри підносять до квадрата. Дзеркальна помилка після того, як учень вивчив правило про площі. Периметр — сума довжин, це лінійна величина, тому відношення дорівнює просто \(k\).
• Порушено відповідність вершин. Запис \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) означає \(AB \leftrightarrow DE\), а не будь-яку зручну пару. Складена «навмання» пропорція дає неправильну відповідь навіть при бездоганній арифметиці.
• У другій ознаці беруть кут не між даними сторонами. Рівність кутів, що лежать навпроти пропорційних сторін, подібності не гарантує.
• Плутають \(\dfrac{AM}{AB}\) і \(\dfrac{AM}{MB}\). У першому дробі знаменник — уся сторона, у другому — лише її друга частина. Перед складанням пропорції варто прямо підписати, що є цілим, а що частиною.
• З подібності роблять висновок про рівність. Подібні трикутники мають рівні кути, але їхні сторони рівні лише при \(k = 1\).
• Коефіцієнт беруть «догори ногами». \(k\) і \(\dfrac{1}{k}\) — різні числа. Після обчислення перевірте на око, чи справді шукана сторона вийшла більшою (меншою), як і має бути.

Висновок

Подібність трикутників тримається на трьох ознаках і одному правилі про величини: кути рівні, сторони відносяться як \(k\), периметри — як \(k\), площі — як \(k^2\). Практично вся тема зводиться до двох дій: знайти пару подібних трикутників (найчастіше через рівні кути при паралельних прямих) і правильно скласти пропорцію з урахуванням відповідності вершин. Ці ж навички далі використовуються в тригонометрії, у задачах на площі й у більшості геометричних задач ДПА — огляд ключових фактів зібрано в матеріалі про топ-5 теорем з геометрії.

Якщо дитина знає ознаки напам'ять, але «не бачить» подібні трикутники на рисунку — прогалина зазвичай вузька й закривається за кілька занять. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: викладач розбере з учнем саме той крок, на якому ламається розв'язання, а не весь розділ заново.

Часті питання

Скільки ознак подібності трикутників треба знати?

Три: за двома кутами; за двома сторонами і кутом між ними; за трьома сторонами. Найчастіше в задачах працює перша — рівні кути легко знайти при паралельних прямих, при спільному куті двох трикутників або при вертикальних кутах. Друга й третя потрібні тоді, коли в умові дано лише довжини сторін.

Чому площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта?

Тому що площа — добуток двох лінійних величин, сторони й висоти. У подібних трикутниках у \(k\) разів більша не лише сторона, а й проведена до неї висота. Тому в добутку \(\frac{1}{2} a h\) множник \(k\) з'являється двічі, і площа зростає в \(k^2\) разів. Периметр же складається лише з довжин, тому там \(k\) залишається в першому степені.

Чим подібність відрізняється від рівності трикутників?

Рівні трикутники збігаються при накладанні: у них однакові й кути, і сторони. Подібні мають однакову форму, але можуть відрізнятися розміром: кути рівні, а сторони пропорційні з коефіцієнтом \(k\). Рівність — це окремий випадок подібності при \(k = 1\).

Як за допомогою подібності виміряти висоту дерева?

Поставте поруч вертикальну жердину відомої висоти й у сонячний день виміряйте довжини обох тіней. Промені сонця паралельні, тому жердина з тінню і дерево з тінню утворюють подібні прямокутні трикутники. Далі складіть пропорцію «висота до тіні»: висота дерева дорівнює висоті жердини, помноженій на відношення довжин тіней.