Пропорція та основна властивість пропорції

Пропорція та основна властивість пропорції

Пропорція — одна з тих тем 6 класу, після якої математика раптом стає корисною в побуті. Рецепт на іншу кількість порцій, масштаб на карті, перерахунок ціни за кілограм, розведення концентрату — усе це та сама пропорція. Проблема майже завжди однакова: учень пам'ятає «навхрест», але не розуміє, коли множити навхрест можна, а коли задача взагалі не про пряму залежність. На заняттях у Tutor-Math ми спершу вчимо розпізнавати тип залежності, і лише потім рахувати — бо правильна арифметика в неправильній схемі дає неправильну відповідь.

Відношення двох чисел

Почнемо з цеглинки, з якої складається пропорція.

Означення. Відношенням двох чисел \(a\) і \(b\) (де \(b \neq 0\)) називають їх частку \(a : b\), або \(\dfrac{a}{b}\). Відношення показує, у скільки разів перше число більше за друге.

Запис \(15 : 25\) читають «п'ятнадцять до двадцяти п'яти» або «відношення п'ятнадцяти до двадцяти п'яти». Відношення — це звичайний дріб, тому його можна скорочувати за тими самими правилами:

\[ 15 : 25 = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \]

Три речі, які варто зафіксувати одразу. По-перше, відношення — величина безрозмірна: якщо ділимо метри на метри, одиниці скорочуються, залишається чисте число. По-друге, порядок важливий: \(15 : 25\) і \(25 : 15\) — різні відношення. По-третє, перед складанням відношення обидві величини треба привести до однакових одиниць: відношення 40 см до 2 м дорівнює не \(40 : 2\), а \(40 : 200 = 1 : 5\). Якщо скорочення дробів ще викликає сумніви, є сенс повернутися до звичайних дробів — без упевненого скорочення тема пропорцій буде даватися важко.

Що таке пропорція

Означення. Пропорція — це рівність двох відношень: \(a : b = c : d\), або \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\).

Читають так: «\(a\) відноситься до \(b\), як \(c\) відноситься до \(d\)». Наприклад, \(4 : 6 = 6 : 9\) — правильна пропорція, бо обидва відношення дорівнюють \(\frac{2}{3}\).

У пропорції \(a : b = c : d\) числа мають власні назви:

• \(a\) і \(d\) — крайні члени (стоять з країв запису);
• \(b\) і \(c\) — середні члени (стоять усередині).

У пропорції \(4 : 6 = 6 : 9\) крайні члени — 4 і 9, середні — 6 і 6. Назви легко запам'ятати саме за рядковим записом через двокрапку: погляньте на позиції чисел зліва направо.

Основна властивість пропорції

Основна властивість пропорції. У правильній пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Longleftrightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c \]

Перевіримо на нашому прикладі \(4 : 6 = 6 : 9\): крайні дають \(4 \cdot 9 = 36\), середні дають \(6 \cdot 6 = 36\). Рівність виконується — пропорція правильна.

Ця властивість працює у два боки. Якщо пропорція правильна, добутки рівні. І навпаки: якщо для чотирьох чисел добутки рівні, з них можна скласти пропорцію. Саме тому основна властивість — не декоративне правило, а робочий інструмент: вона перетворює рівність дробів на звичайне лінійне рівняння без дробів. Якщо в пропорції трапляються мішані числа або дроби різного вигляду, спершу зведіть їх до одного формату — про це докладніше в статті про перетворення дробів.

Як знайти невідомий член пропорції

Алгоритм короткий і не має винятків:

• перемножити навхрест — записати рівність добутків;
• виразити невідоме: поділити добуток двох відомих членів на третій відомий;
• підставити результат назад і перевірити рівність добутків.

У словесній формі це звучить так: невідомий крайній член дорівнює добутку середніх, поділеному на відомий крайній; невідомий середній дорівнює добутку крайніх, поділеному на відомий середній. Формулу заучувати не обов'язково — достатньо щоразу чесно перемножити навхрест.

Пряма і обернена пропорційність

Це те місце, де більшість помилок. Дві величини можуть бути пов'язані двома принципово різними способами.

Пряма пропорційність: при збільшенні однієї величини в кілька разів друга збільшується в стільки ж разів. Їхнє відношення стале: \(\dfrac{y}{x} = k\).

Обернена пропорційність: при збільшенні однієї величини в кілька разів друга в стільки ж разів зменшується. Сталим є їхній добуток: \(x \cdot y = k\).

Як розпізнати тип у задачі — питайте себе: «якщо перша величина подвоїться, друга стане більшою чи меншою?»

• Пряма: кількість товару і його вартість; кількість тканини й ціна; час руху і пройдений шлях при сталій швидкості; маса й об'єм однієї речовини.
• Обернена: швидкість і час на фіксовану відстань; кількість робітників і час виконання роботи; кількість коробок і місткість однієї коробки для фіксованої партії товару.

Практична різниця в записі така. Для прямої пропорційності пропорцію складають «в один бік»:

\[ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \]

Для оберненої — праву частину перевертають:

\[ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1} \]

Саме цей переворот учні й пропускають. Тому корисна звичка: перш ніж рахувати, прикиньте відповідь на око. Якщо робітників стало більше, днів має стати менше — і якщо обчислення дало більше, шукайте помилку в схемі, а не в арифметиці.

Масштаб

Означення. Масштаб — це відношення довжини відрізка на карті (кресленні, плані) до довжини відповідного відрізка на місцевості.

Запис \(1 : 2\,500\,000\) означає: один сантиметр на карті відповідає 2 500 000 сантиметрів насправді. Це чиста пропорція, просто з великими числами. Правила роботи з масштабом:

• щоб отримати реальну відстань — множимо відстань на карті на знаменник масштабу;
• щоб отримати відстань на карті — ділимо реальну на знаменник;
• обидві величини мають бути в однакових одиницях, тому зазвичай усе переводять у сантиметри, а відповідь — назад у метри або кілометри.

Корисні переходи, які варто тримати в голові: \(1\ \text{м} = 100\ \text{см}\), \(1\ \text{км} = 100\,000\ \text{см}\). Оскільки в задачах на масштаб постійно виникають десяткові дроби, впевненість у діях із ними обов'язкова — тут допоможуть десяткові дроби.

Приклад 1. Невідомий член пропорції

Розв'язати рівняння \(\dfrac{x}{12} = \dfrac{15}{9}\).

• Перемножуємо навхрест: \(x \cdot 9 = 12 \cdot 15\), тобто \(9x = 180\).
• Ділимо: \(x = 180 : 9 = 20\).
• Перевірка: \(20 \cdot 9 = 180\) і \(12 \cdot 15 = 180\). Рівність виконується.

Відповідь: \(x = 20\).

Приклад 2. Пряма пропорційність

За 4,5 м тканини заплатили 315 грн. Скільки коштуватимуть 7 м тієї самої тканини?

Більше тканини — більша вартість, залежність пряма. Складаємо пропорцію «метри до метрів, гривні до гривень»:

\[ \frac{4{,}5}{7} = \frac{315}{x} \]

• Навхрест: \(4{,}5 \cdot x = 7 \cdot 315 = 2205\).
• \(x = 2205 : 4{,}5 = 490\).
• Перевірка через ціну одиниці: \(315 : 4{,}5 = 70\) грн за метр, тоді \(70 \cdot 7 = 490\) грн.

Відповідь: 490 грн.

Приклад 3. Обернена пропорційність

Бригада з 6 робітників виконує замовлення за 15 днів. За скільки днів виконають те саме замовлення 9 робітників, якщо працюють з тією ж продуктивністю?

Робітників більше — днів менше, залежність обернена. Отже, праву частину перевертаємо:

\[ \frac{6}{9} = \frac{x}{15} \]

• Навхрест: \(9x = 6 \cdot 15 = 90\), звідси \(x = 90 : 9 = 10\).
• Перевірка через сталий добуток: \(6 \cdot 15 = 90\) людино-днів і \(9 \cdot 10 = 90\) людино-днів — обсяг роботи той самий.

Відповідь: 10 днів.

Приклад 4. Масштаб карти

На карті масштабу \(1 : 2\,500\,000\) відстань між двома містами дорівнює 4,8 см. Яка реальна відстань між ними?

• Множимо на знаменник масштабу: \(4{,}8 \cdot 2\,500\,000 = 12\,000\,000\) см.
• Переводимо в кілометри: \(12\,000\,000 : 100\,000 = 120\) км.

Відповідь: 120 км.

Приклад 5. Обернена задача на масштаб

Реальна відстань між селами 45 км. Яким буде відрізок на карті масштабу \(1 : 500\,000\)?

• Переводимо в сантиметри: \(45\ \text{км} = 45 \cdot 100\,000 = 4\,500\,000\) см.
• Ділимо на знаменник масштабу: \(4\,500\,000 : 500\,000 = 9\) см.
• Перевірка у зворотний бік: \(9 \cdot 500\,000 = 4\,500\,000\) см \(= 45\) км.

Відповідь: 9 см.

Типові помилки

• Не перевернули відношення в оберненій пропорційності. Найдорожча помилка теми: схема прямої пропорційності підставлена в задачу про робітників або швидкість. Ліки — прикидка «більше чи менше?» до початку обчислень.
• Різні одиниці в одному відношенні. Хвилини з годинами, сантиметри з метрами, грами з кілограмами. Перед складанням пропорції зведіть усе до однакових одиниць.
• Переплутані величини в чисельнику й знаменнику. Зліва мають бути однорідні величини (метри до метрів), справа — теж однорідні (гривні до гривень). Змішування «метри до гривень» ламає пропорцію.
• Множення навхрест «по діагоналі навмання». Добуток крайніх дорівнює добутку середніх — саме крайніх із крайніми, а не будь-яких двох чисел.
• Забутий переклад одиниць у масштабі. Знаменник масштабу завжди в сантиметрах, тому кілометри треба перевести в сантиметри, а не в метри.
• Немає перевірки. Підстановка займає 10 секунд і ловить майже будь-яку арифметичну похибку. Це найдешевша страховка на контрольній. Особливо якщо в задачі є відсотки — там теж усе тримається на пропорції.

Висновок

Пропорція — це рівність двох відношень, а основна властивість перетворює її на просте рівняння: добуток крайніх дорівнює добутку середніх. Уся складність теми не в арифметиці, а в одному кроці перед нею — визначити, пряма залежність чи обернена. Якщо цей крок робиться свідомо, задачі на ціну, роботу, швидкість і масштаб перестають відрізнятися одна від одної: схема в них одна.

Якщо дитина плутає пряму й обернену пропорційність або механічно множить навхрест без розуміння, точкові пояснення дають результат швидко — прогалина тут зазвичай вузька. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: викладач визначить, де саме розірвався ланцюжок, і закриє його адресно, без перечитування всього розділу заново.

Часті питання

Чим відношення відрізняється від пропорції?

Відношення — це частка двох чисел, один об'єкт: \(15 : 25\). Пропорція — це рівність двох відношень, тобто вже чотири числа: \(15 : 25 = 3 : 5\). Коротко: відношення порівнює дві величини, пропорція стверджує, що два таких порівняння дають однаковий результат.

Як зрозуміти, пропорційність пряма чи обернена?

Подумки збільште першу величину вдвічі й перевірте, що станеться з другою. Стала вдвічі більшою — пропорційність пряма (товар і вартість, час і шлях). Стала вдвічі меншою — обернена (швидкість і час, кількість робітників і термін). У прямій стале відношення величин, в оберненій — їх добуток.

Чи можна множити навхрест у будь-якій пропорції?

Так, основна властивість виконується для будь-якої правильної пропорції, зокрема з десятковими й звичайними дробами. Єдина умова — жоден знаменник не дорівнює нулю. А от складати пропорцію треба за правильною схемою: для оберненої залежності друге відношення перевертається, і лише після цього множать навхрест.

Навіщо пропорції потрібні поза школою?

Це основний інструмент перерахунку. Масштаб карт і креслень, перерахунок рецепта на іншу кількість порцій, розведення концентрату, конвертація валют, розрахунок дози ліків за масою тіла, зміна кількості матеріалу для ремонту. Скрізь, де величини змінюються узгоджено, працює пропорція.