Стереометрія: аксіоми та взаємне розміщення прямих і площин
Стереометрія починається з неприємного відкриття: майже все, що працювало в планіметрії, тут працює не зовсім. Дві прямі без спільних точок на площині обов'язково паралельні — у просторі вже ні. У Tutor-Math ми на першому ж занятті з десятикласником беремо куб і перевіряємо на його ребрах кожне означення — так абстракція перестає бути абстракцією за півгодини.
Малюнків тут немає, тому домовимося одразу: усі конфігурації описуємо через куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), де \(ABCD\) — нижня грань, \(A_1B_1C_1D_1\) — верхня, вершина \(A_1\) стоїть точно над \(A\), \(B_1\) над \(B\) і так далі, а ребра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) — вертикальні.
Аксіоми стереометрії
Аксіома 1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж лише одна.
Аксіома 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то і вся пряма належить цій площині.
Аксіома 3. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
Аксіома 1 пояснює, чому табуретка на трьох ніжках не хитається, а на чотирьох хитається: три точки задають площину однозначно, четверта вже може в неї не влучити.
Аксіома 2 — головний робочий інструмент: довели, що дві точки лежать у площині, — уся пряма через них лежить у ній. Саме так будують перерізи многогранників. Аксіома 3 забороняє площинам «торкатися» в одній точці: дві різні площини або не мають спільних точок узагалі, або мають цілу спільну пряму.
Наслідки з аксіом
Наслідок 1. Через пряму і точку поза нею проходить площина, і до того ж лише одна.
Наслідок 2. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площина, і до того ж лише одна.
Наслідок 3. Через дві паралельні прямі проходить площина, і до того ж лише одна.
Зверніть увагу на те, чого в списку немає: через дві довільні прямі площина проходить не завжди. Це перша тріщина в планіметричній інтуїції.
Дві прямі у просторі: мимобіжні — головна новина теми
Для двох прямих у просторі можливі рівно три випадки:
- Перетинаються — одна спільна точка, лежать в одній площині (ребра \(AB\) і \(AD\)).
- Паралельні — лежать в одній площині і не мають спільних точок (ребра \(AB\) і \(A_1B_1\)).
- Мимобіжні — не лежать в одній площині, а тому й спільних точок не мають (ребра \(AB\) і \(CC_1\)).
Означення. Дві прямі називають мимобіжними, якщо не існує площини, що містить їх обидві.
Ось де інтуїція підводить найсильніше. У планіметрії «немає спільних точок» дорівнює «паралельні» — бо всі прямі й так лежать в одній площині. У просторі ця рівність ламається: дві прямі без спільних точок можуть бути НЕ паралельними. Тому слова «лежать в одній площині» в означенні паралельності — не формальність, і викидати їх не можна.
Ребра \(AB\) і \(CC_1\) куба спільних точок не мають: \(AB\) лежить у нижній грані, а \(CC_1\) торкається її лише в точці \(C\), яка \(AB\) не належить. Паралельними їх теж не назвеш — \(CC_1\) виходить угору з площини нижньої грані, і жодна площина не містить обидва ребра. Вони мимобіжні.
Ознака мимобіжності. Якщо одна пряма лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, то прямі мимобіжні.
Кут між мимобіжними прямими означають через паралельне перенесення: через довільну точку проводять прямі, паралельні даним, і вимірюють кут між ними; величина не залежить від вибору точки. На практиці переносять лише одну пряму — так, щоб вона перетнула другу. Наприклад, \(AB\) і \(CC_1\) мимобіжні, але кут між ними прямий, бо \(CC_1 \parallel BB_1\), а \(BB_1 \perp AB\). Мимобіжні прямі цілком можуть бути перпендикулярними — вони просто не перетинаються.
Пряма і площина
Тут випадків теж три: пряма лежить у площині; перетинає її в одній точці; паралельна їй, тобто спільних точок немає (\(a \parallel \alpha\)).
Ознака паралельності прямої та площини. Якщо пряма, що не лежить у площині, паралельна деякій прямій, яка лежить у цій площині, то вона паралельна і всій площині.
Достатньо знайти в площині одну паралельну пряму. У кубі \(B_1D_1 \parallel BD\), а \(BD\) лежить у площині \(ABC\), отже \(B_1D_1 \parallel ABC\).
Дві площини. Ознака паралельності площин
Для двох площин випадків лише два — аксіома 3 не залишає інших: вони або перетинаються по прямій, або паралельні.
Ознака паралельності площин. Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, паралельні відповідно двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.
Властивість. Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, лінії перетину паралельні.
Слова «що перетинаються» критичні: двох паралельних прямих не досить. У кубі площини \(ABB_1\) і \(BCC_1\) перетинаються по \(BB_1\), хоча в кожній є пряма, паралельна вертикальному ребру. Наведена властивість — фундамент для призми: її основи лежать у паралельних площинах, тому бічні ребра паралельні й рівні.
Перпендикулярність прямої та площини
Означення. Пряму називають перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої цієї площини.
Ознака. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих площини, які перетинаються, то вона перпендикулярна до всієї площини.
І тут ключове — «що перетинаються»: олівець можна нахилити так, що він залишиться перпендикулярним до двох паралельних ліній на столі, але до столу перпендикулярним не буде.
Далі — базова конструкція теми. Нехай \(SA \perp \alpha\), точка \(A\) — основа перпендикуляра, \(M\) — довільна точка площини. Відрізок \(SM\) називають похилою, \(AM\) — її проєкцією. Тоді \(SA \perp AM\) і за теоремою Піфагора \(SM^2 = SA^2 + AM^2\): більшій проєкції відповідає більша похила.
Теорема про три перпендикуляри
ТТП. Пряма, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до її проєкції, перпендикулярна і до самої похилої. Правильне й обернене твердження.
Три перпендикуляри — це \(SA\), проєкція \(AM\) і пряма в площині. Теорема переносить перпендикулярність «з підлоги на похилу», і на ній тримається половина задач про піраміду: відстань від вершини до сторони основи, побудова лінійного кута, перпендикулярність у перерізі.
Кут між прямою і площиною. Двогранний кут
Означення. Кутом між похилою прямою і площиною називають кут між цією прямою та її проєкцією на площину. Для перпендикулярної прямої кут дорівнює \(90^\circ\), для паралельної — \(0^\circ\).
Цей кут завжди в межах від \(0^\circ\) до \(90^\circ\) і є найменшим серед кутів між прямою та прямими площини. Спроєктували — дістали прямокутний трикутник, далі звичайна тригонометрія: \(\sin\varphi\) — це «перпендикуляр до похилої», \(\tan\varphi\) — «перпендикуляр до проєкції».
Означення. Двогранний кут — фігура з двох півплощин зі спільним ребром. Його лінійний кут будують так: із однієї точки ребра в кожній півплощині проводять промінь, перпендикулярний до ребра.
Ознака перпендикулярності площин. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то площини перпендикулярні.
Величина лінійного кута не залежить від вибору точки ребра. Кутом між площинами називають менший із двох суміжних двогранних, тобто величину від \(0^\circ\) до \(90^\circ\).
Приклад 1. Скільки ребер куба мимобіжні з ребром AB
Усього ребер 12. Паралельні до \(AB\): \(A_1B_1\), \(DC\), \(D_1C_1\) — три. Перетинають \(AB\): \(AD\), \(AA_1\), \(BC\), \(BB_1\) — чотири. Саме ребро \(AB\) — одне. Лишається \(12 - 1 - 3 - 4 = 4\) ребра: \(CC_1\), \(DD_1\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\).
Перевірка: \(A_1D_1\) лежить у верхній грані, \(AB\) — у нижній, спільної площини немає; \(DD_1\) перетинає площину нижньої грані в точці \(D\), яка \(AB\) не належить.
Відповідь: \(CC_1,\ DD_1,\ A_1D_1,\ B_1C_1\) — чотири ребра.
Приклад 2. Кут між мимобіжними прямими
Ребро куба дорівнює 6. Знайти кут між прямими \(AB\) і \(CD_1\).
Прямі мимобіжні: \(CD_1\) перетинає площину нижньої грані в точці \(C\), що не лежить на \(AB\). Оскільки \(AB \parallel DC\), шуканий кут дорівнює куту між \(DC\) і \(CD_1\), а вони перетинаються в точці \(C\). У трикутнику \(DCD_1\) кут при \(D\) прямий (\(DD_1\) перпендикулярне до нижньої грані), \(DC = DD_1 = 6\), тому трикутник рівнобедрений прямокутний і \(\angle DCD_1 = 45^\circ\).
Контроль координатами: \(A(0;0;0)\), \(B(6;0;0)\), \(C(6;6;0)\), \(D_1(0;6;6)\), напрямні вектори \(\vec{AB}(6;0;0)\) і \(\vec{CD_1}(-6;0;6)\) з довжинами 6 і \(6\sqrt{2}\), тож \[\cos\varphi = \frac{|{-36}|}{6 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.\] Координати в просторі працюють так само, як і на площині — див. координати на площині.
Відповідь: \(45^\circ\).
Приклад 3. Теорема про три перпендикуляри
\(ABCD\) — прямокутник, \(AB = 9\), \(AD = 5\), \(SA \perp ABC\), \(SA = 12\). Знайти відстані від \(S\) до прямих \(BC\) і \(CD\).
Проєкція похилої \(SB\) на основу — це \(AB\), а \(BC \perp AB\), тому за ТТП \(BC \perp SB\), і \(SB\) — шукана відстань: \[SB = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15.\] Так само \(CD \perp AD\), отже \(CD \perp SD\) і \[SD = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.\]
Відповідь: 15 і 13.
Приклад 4. Кут між діагоналлю куба і площиною основи
Знайти кут між діагоналлю \(AC_1\) куба з ребром \(a\) і площиною \(ABC\).
Оскільки \(CC_1 \perp ABC\), проєкцією \(AC_1\) є діагональ квадрата \(AC = a\sqrt{2}\), а шуканий кут — це \(\angle C_1AC\): \[\tan\varphi = \frac{CC_1}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707.\]
Перевірка іншим шляхом: діагональ куба \(AC_1 = a\sqrt{3}\), тож \(\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\) — той самий кут. Ребро скоротилося, і це логічно: усі куби подібні.
Відповідь: \(\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 35^\circ 16'\).
Приклад 5. Лінійний кут двогранного кута
\(ABCD\) — квадрат зі стороною 4, \(SA \perp ABC\), \(SA = 4\sqrt{3}\). Знайти двогранний кут при ребрі \(BC\) між площинами \(SBC\) і \(ABC\).
Проєкція похилої \(SB\) — це \(AB\), а \(AB \perp BC\), тому за ТТП \(SB \perp BC\). Обидва промені \(BA\) і \(BS\) виходять із точки \(B\) і перпендикулярні до ребра \(BC\), отже \(\angle SBA\) — лінійний кут. У трикутнику \(SAB\): \[\tan(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}.\]
Перевірка: тоді \(SB = \dfrac{4}{\cos 60^\circ} = 8\), і справді \(SB^2 = 64 = 48 + 16 = SA^2 + AB^2\).
Відповідь: \(60^\circ\).
Приклад 6. Паралельні площини
Паралельні площини \(\alpha\) і \(\beta\) перетнуто двома променями зі спільним початком \(S\); \(\alpha\) лежить між \(S\) і \(\beta\). Промені перетинають \(\alpha\) в точках \(A\), \(B\), а \(\beta\) — у точках \(A_1\), \(B_1\). Відомо: \(SA = 6\), \(AA_1 = 4\), \(A_1B_1 = 15\). Знайти \(AB\).
Площина \(SAB\) перетинає обидві паралельні площини, тому \(AB \parallel A_1B_1\). Трикутники \(SAB\) і \(SA_1B_1\) подібні за двома кутами з коефіцієнтом \(k = \dfrac{SA}{SA_1} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\), звідки \(AB = 0{,}6 \cdot 15 = 9\). Перевірка: \(\dfrac{9}{15} = 0{,}6\) — збігається.
Відповідь: \(AB = 9\).
Типові помилки
- «Не перетинаються — значить паралельні». Головна помилка теми: у просторі це вірно лише тоді, коли прямі лежать в одній площині. Інакше вони мимобіжні.
- Викидають слова «що перетинаються» в ознаках паралельності площин і перпендикулярності прямої та площини — для паралельних прямих обидві ознаки хибні.
- Вважають, що дві площини можуть мати рівно одну спільну точку. Аксіома 3 це забороняє.
- Будують лінійний кут «на око». Обидва промені мають виходити з однієї точки ребра і бути перпендикулярними до нього.
- Плутають похилу з проєкцією: у \(\tan\varphi\) в знаменнику проєкція, у \(\sin\varphi\) — сама похила.
- «Мимобіжні не бувають перпендикулярними». Бувають: кут між ними означений через паралельне перенесення.
- Проводять площину через дві довільні прямі. Через мимобіжні це неможливо.
Висновок
Уся тема тримається на трьох аксіомах і чіткому розрізненні випадків: три для двох прямих, три для прямої та площини, два для двох площин. Якщо ви впевнено називаєте мимобіжні ребра куба, будуєте лінійний кут через ТТП і не забуваєте слова «що перетинаються» — призма, піраміда й тіла обертання підуть значно легше.
Якщо простір поки не «складається в голові», найшвидший спосіб — розібрати десяток конфігурацій із викладачем на реальній моделі куба. Запишіться на пробне заняття: за одну зустріч видно, де саме планіметрична звичка заважає бачити простір.
Чим мимобіжні прямі відрізняються від паралельних?
І ті, і ті не мають спільних точок. Але паралельні лежать в одній площині, а через мимобіжні жодної площини провести не можна. У планіметрії мимобіжних не буває взагалі — тому звичка «немає спільних точок, отже паралельні» тут не працює.
Чи можуть мимобіжні прямі бути перпендикулярними?
Так. Кут між мимобіжними означають як кут між прямими, паралельними даним і проведеними через одну точку. Якщо він дорівнює \(90^\circ\), прямі перпендикулярні — як ребра \(AB\) і \(CC_1\) куба.
Скільки прямих, перпендикулярних до даної, можна провести через точку?
На площині — рівно одну. У просторі — нескінченно багато: усі вони утворюють площину, перпендикулярну до даної прямої в цій точці. А площина, перпендикулярна до прямої і проведена через дану точку, лише одна.
Як довести, що пряма паралельна площині?
Знайти в площині хоча б одну пряму, паралельну даній, і перевірити, що сама пряма в цій площині не лежить. Таку паралельну зазвичай дає середня лінія трикутника або протилежне ребро куба.
