Теорема косинусів

Теорема косинусів

9 клас – насичений новими знаннями час. Щоб не заплутатися в теорії з геометрії, рекомендуємо записатися на уроки в Tutor-Math. У цій статті ви знайдете найважливіше про теорему косинусів.

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.

\[a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc \cos\alpha\]

Зауважимо, що теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів для прямокутного трикутника, тому її інколи називають узагальненою теоремою Піфагора.

Отже, у довільному трикутнику \(АВС\) виконуються рівності:

 

\(c^ 2 =a^ 2+ b^ 2-2abcosC\);

\(b^ 2 =a^ 2+ c^ 2-2accosB\);

\(a^ 2 =b^ 2+ c^ 2-2bccosA\).

Порада: щоб швидше розібратися у складній темі, запишіться на онлайн заняття з математики для дітей та підлітків.

За допомогою теореми косинусів можна, наприклад, знайти невідому сторону трикутника, якщо відомо дві його інші сторони й один з кутів.

Наприклад косинус кута \(С\) можна знайти за формулою, виразивши \(cosС\) з формули теореми косинусів:

\(cosC=\frac{a^ 2+ b^ 2-c^ 2}{2ab}\).

Отже, теорема косинусів допомагає розв'язувати трикутники.

Теорема косинусів є зручною і для визначення виду трикутника. Щоб установити гострокутним, прямокутним або тупокутним є трикутник досить знайти знак косинуса його найбільшого кута. З формули косинуса кута зрозумло, що знак косинуса кута залежить від знака чисельника дробу, оскільки знаменник завжди додатний. Тому знак виразу \(a^ 2+ b^ 2-c^ 2\) дозволяє визначити знак косинуса кута трикутника, а отже, і вид цього кута (гострий, прямий чи тупий).

Якщо \(c\) - найбільша сторона трикутника і

\(a^ 2+ b^ 2-c^ 2>0\), то кут \(C\) - гострий, а трикутник - гострокутний;

\(a^ 2+ b^ 2-c^ 2=0\), то кут \(C\)  - прямий, а трикутник - прямокутний;

\(a^ 2+ b^ 2-c^ 2< 0\), то кут \(C\)  - тупий, а трикутник - тупокутний.

Також, за допомогою теореми косинусів можна довести формулу медіани трикутника:

 

\(m_{a}= \frac{1}{2}\sqrt{2b^ 2+ 2c^ 2-a^ 2}\).

Розв`яжемо декілька типових задач з цієї теми.

 

Задача 1. Знайдіть невідому сторону трикутника \(АВС\), якщо \(AB=5\) см, \(BC=8\) см, \( \angle B= 60^{\circ}\).

Дано: \(\triangle ABC\) , \(AB=5\) см, \(BC=8\) см, \( \angle B= 60^{\circ}\).

Знайти: \(AC \).

Розв`язання:

За теоремою косинусів:

\(AC^ 2=AB^ 2+BC^ 2-2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB\).

Підставляємо дані з умови в формулу і отримуємо:

\(AC^ 2=5^ 2+8^ 2-2\cdot 5\cdot 8\cdot cos 60^{\circ}=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=49\),

\(AC=7\) см.

Відповідь: \(AC=7\) см.

Задача 2. Доведіть, що трикутник зі сторонами \(8\) см, \(15\) см і \(17\) см є прямокутним.

Дано: \(\triangle ABC\), \(AB=8\) см, \(BC=15\) см і \(AC=17\) см.

Довести: \(\triangle ABC\) - прямокутний.

Доведення:

\(AC\) - найбільша сторона \(\triangle ABC\). Порівняємо з \(0\) значення виразу \(AB^ 2+BC^ 2-AC^ 2\). Підставляємо дані з умови \(8^ 2+15^ 2-17^ 2=64+225-289=0\), отже \( \angle A\) - прямий, а \(\triangle ABC\) - прямокутний.

Задача 3. Дві сторони трикутника дорівнюють \(7\) см і \(8\) см, а кут проти меншої з них \(60^{\circ}\). Знайдіть третю сторону трикутника.

Дано: \(\triangle ABC\), \(AB=7\) см, \(AC=8\) см, \( \angle C=60^{\circ}\).

Знайти: \(BC\).

Розв`язання:

Нехай, сторона \(\triangle ABC\) \(BC=x\), тоді за теоремою косинусів маємо: \(AB^ 2=BC^ 2+AC^ 2-2\cdot BC\cdot AC\cdot cosC\).

Підставимо значення з умови задачі, отримаємо \(7^ 2=x^ 2+8^ 2-2\cdot 8\cdot x\cdot \frac{1}{2}\);

\(49=x^ 2+64-8x\);

\(x^ 2-8x+15=0\)

Розв`язуємо квадратне рівняння. Як розв`язувати квадратні рівняння описано в цій статті.

\(D=64-60\), \(\sqrt{D}=2\)

\(x_1=5, x_2=3\)

\(BC=5\) см, або \(3\) см.

Відповідь: \(3\) см або \(5\) см.

Задача 4. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює \(8\) см, а кут при основі - \(45^{\circ}\). Знайдіть бічну сторону трикутника.

Дано: \(\triangle ABC\), \(AB=BC\), \(AC=8\) см, \( \angle A=45^{\circ}\).

Знайти: \(AB\).

Розв`язання:

Оскільки \(\triangle ABC\) - рівнобедрений, \(AB=BC\), \( \angle A= \angle C=45^{\circ}\). Знайдемо \( \angle B\). За теоремою про суму кітів в трикутнику \( \angle B=180^{\circ}-\angle A- \angle C=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}\). Нехай \(AB=BC=x\).

За теоремою косинусів:

\(AC^ 2=AB^ 2+BC^ 2-2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB\);

\(64=x^ 2+x^ 2\);

\(2x^ 2=64\);

\(x^ 2=32\);

\(x=4\sqrt{2}\).

\(AB=BC=4\sqrt{2}\) см.

Відповідь: \(4\sqrt{2}\) см.

Задача 5. Знайдіть косинус найбільшого кута трикутника, сторони якого дорівнюють \(5\) см, \(6\) см і \(9\) см.

Дано: \(AB=9\) см, \(BC=6\) см, \(AC=5\) см.

Знайти: \(cos\angle B\).

Розв`язання:

Найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони. За теоремою косинусів: \(cos\angle B=\frac{BC^ 2+ AC^ 2-AB^ 2}{2BC\cdot AC}=\frac{6^ 2+ 5^ 2-9^ 2}{2\cdot 6\cdot 5}=\frac{-20}{12\cdot 5}=-\frac{1}{3}\).

Відповідь: \(cos\angle B=-\frac{1}{3}\).

Залишилися запитання? Чекаємо на наших уроках і ми з радістю дамо відповіді на всі запитання з обраного предмету.

Потрібен репетитор?

Потрібен репетитор?

Не зволікай, обирай його прямо зараз!

Отримай можливість скористатись усіма перевагами передової освіти. Запишіться зараз і ми підберемо для тебе зручний графік та комфортну програму занять.

Поспішай! Кількість місць обмежена