Теорема Піфагора
Теорема Піфагора — одна з основних теорем евклідової геометрії. Вона встановлює відношення між сторонами в прямокутному трикутнику.
Теорема (теорема Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Якщо в прямокутному трикутнику довжини катетів дорівнюють \(a\) і \(b\), а довжина гіпотенузи дорівнює \(c\), то теорему Піфагора можна виразити такою рівністю:
\(c^ 2 =a^ 2+ b^ 2\)
Теорема Піфагора дає змогу за двома сторонами прямокутного трикутника знайти його третю сторону:
\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\);
\(a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}\);
\(b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}\).
Теорема Піфагора — це частинний випадок теореми косинусів. Це пояснюється тим, що косинус \(90^{\circ}\) дорівнює нулю, тому подвоєний добуток зникає.
Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки
Теорема Фалеса — це властивість паралельних прямих, які перетинають дві прямі зі спільною точкою.
Теорема (теорема Фалеса). Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його сторони рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні.
Якщо \(A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}\), то \(B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}\)
Узагальнена теорема Фалеса. Паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі \(а\) і \(b\), відтинають на них пропорційні відрізки.
Теорема косинусів
Теорему Піфагора — легко запамʼятати, вона часто використовується в прямокутних трикутниках. Насправді, теорема Піфагора працює для будь якого трикутника, тільки називається вона теорема косинусів.
Теорема (теорема косинусів). Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc \cos\alpha\)
З формули одразу зрозуміло чому вона називається теоремою косинусів. Вона дуже схожа на квадрат різниці з врахуванням косинуса, тому її запамятати не складно. Якщо згадати що косинус \(90^{\circ}\) це 0, то ми побачимо вже знайому теорему Піфагора. Ми вже детально вивчали теорему косинусів та розглядали приклади.
Теорема синусів
Теорема синусів — це формула відношення сторони до синуса протилежного кута в трикутнику.
Теорема (теорема синусів). Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.
\(\frac{a}{ sin\alpha}=\frac{b}{ sin\beta}=\frac{c}{ sin\gamma}=2R\)
За теоремою синусів можна знайти радіус описаного кола за відомою стороною та протилежним кутом або невідому сторону чи кут. На ДПА чи ЗНО теорема синусів зустрічається не часто, але знати її потрібно.
Теорема Менелая
Її також називають теоремою про трикутник та пряму, і звучить вона так:
Теорема (теорема Менелая) На сторонах \(AB\) і \(BC\) трикутника \(ABC\) позначено відповідно точки \(C_{1}\) і \(A_{1}\) , а на продовженні сторони \(AС\) — точку \(B_{1}\). Для того щоб точки \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\) лежали на одній прямій, необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність:
\(\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=1\)
