Властивість бісектриси трикутника

Властивість бісектриси трикутника

Сьогодні розберемо тему з геометрії 8 класу: "Властивість бісектриси трикутника".

Важливо для засвоєння даної теми:

— зрозуміти формулювання теореми;

— володіти пропорціями ( 6 клас);

— правильно скласти пропорцію.

Виконавши умови вище, правильно розвʼязана задача з геометрії в тебе в зошиті!

Також доступні відео з теми «Властивість бісектриси трикутника» на YouTube каналі Tutor-Math у двох частинах.

Розбір теми разом з репетитором математики.

Почнемо з означення. Пригадаємо, що таке трикутник.

Означення. Трикутником називають геометричну фігуру, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які сполучають їх.

Та що таке бісектриса.

Означення. Відрізок, що є частиною бісектриси кута трикутника і сполучає вершину з точкою протилежної сторони, називають бісектрисою.

Перейдемо до формулювання теореми.

Теорема. Бісектриса трикутника ділить сторону, до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

Розглянемо типові задачі з підручника Істер 8 клас.

№ $563$. $ВР$ — бісектриса трикутника $АВС$ (мал. 1). $АР : PC = 1 : 2$, $AB = 4$ см. Знайдіть $BC$. 

Дано: $\triangle ABC$, $ВР$ — бісектриса, $АР : PC = 1 : 2$, $AB = 4$ см.

Знайти: $BC$.

Розвʼязання: за властивістю бісектриси $AB : BC=AP : PC$, оскільки $АР : PC = 1 : 2$, то $AB : BC = 1 : 2$. Підставимо $AB = 4$ см в знайдене відношення, отримаємо $4 : BC = 1 : 2$, звідси $BC = 8$ см.

Відповідь: $8$ см.

№ $570$. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця довжин яких $1$ см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві інші сторони дорівнюють $8$ см і $6$ см. 

Дано:$\triangle ABC$, $AL$ — бісектриса, $AB=8см$, $AC=6$см, $BL-LC=1$ см.

Знайти: $P_{\triangle ABC}$.

Розвʼязання: за властивістю бісектриси трикутника $AB : AC=BL : LC$. Нехай $LC=x$, тоді $BL=1+x$. Підставляємо в пропорцію відомі величини $8:6=x+1:x$.

Важливо, що більша сторона відноситься до більшої, менша до меншої.

За властивістю пропорції отримаємо рівняння:

$8x=6x+6$;

$8x-6x=6$;

$2x=6$;

$x=3 см$.

$LC=3см$, $BL=4 см$, вся сторона $BC=3+4=7$ см. Периметр трикутника: $P_{\triangle ABC} = AB+BC+AC=8+7+6=21$ см.

Відповідь: $21$ см.

№ $573$. У трикутнику, сторони якого дорівнюють $15$ см, $21$ см і $24$ см, проведено півколо, центр якого належить більшій стороні трикутника і яке дотикається до двох інших сторін. На які відрізки центр півкола ділить більшу сторону?

Дано: $\triangle ABC$ трикутник, $AB=15$ см, $AC=21$ см, $BC=24$ см, коло з центром в т.$O$, $M$ і $N$ - точки дотику.

Знайти: $BO$, $CO$.

Розвʼязання: проведемо відрізки $MO$, $AO$, $NO$. $OM\bot AB$, $ON\bot AC$ як радіуси проведені в точки дотику. $AO$ - спільна сторона для трикутників $\triangle OMA$ $\triangle ONA$, $OM = ON$ як радіуси, $AM = AN$ за властивістю відрізків дотичних. Тоді $\triangle OMA = \triangle ONA$. За трьома сторонами: $\triangle MAO = \triangle NAO$, $AO$ - бісектриса $\triangle ABC$. За властивістю бісектриси трикутника $AB : AC = BO : CO$ підставимо відомі значення і скоротимо на $3$ $BO : CO = 5 : 7$. Нехай $x$ - коефіцієнт пропорційності, тоді $BO = 5x$, $CO = 7x$. Складаємо рівняння:

$5x+7x=24$;

$12x=24$;

$x=24:12$;

$x=2$.

$BO = 5x = 5\cdot2 = 10$см,

$CO = 7x = 7\cdot2 = 14$см.

Відповідь: $10$см, $14$см.

Читайте статтю репетитора з математики: "Топ 5 теорем з геометрії для ДПА та ЗНО".