Звичайні дроби: від базових понять до складних операцій

Дріб (звичайний дріб, простий дріб) — у математиці це представлення чисел або математичних величин у вигляді результату операції ділення. Це передусім число, яке належить до множини раціональних чисел $\mathbb{Q}$ .

Найчастіше дріб подається у формі $\frac{a}{b}$ , де ділене $a$ називають чисельником, а дільник $b$ — знаменником дробу. Також рівнозначно застосовують форму $a:b$ або $a/b$ . Головне правило: знаменник дробу не може дорівнювати нулю ( $b \neq 0$ ).

Історично саме через дроби були побудовані раціональні числа, де чисельник та знаменник — це цілі числа.

Практичне застосування

Дроби застосовують для позначення частин деяких об’єктів. Наприклад:

$\frac{2}{3}$ (читається «дві третини») мешканців міста;
$\frac{1}{5}$ (читається «одна п’ята») кімнати.

🍰 На прикладі торта: Уявіть торт, розрізаний на чотири рівні частини. Якщо четверта частина відсутня, то залишилося три чверті, тобто $\frac{3}{4}$ торта.

Види дробів

Раціональні дроби;
Десяткові дроби;
Правильні та неправильні дроби;
Мішані дроби (числа);
Взаємно обернені дроби;
Ланцюгові дроби.

Правильні та неправильні дроби

Якщо чисельник менший від знаменника, то такий дріб називається правильним:

\frac{3}{5}

Якщо чисельник більший від знаменника або дорівнює йому, то такий дріб називається неправильним:

\frac{7}{2} \quad \text{або} \quad \frac{2}{2}

Неправильні дроби прийнято подавати у вигляді мішаних чисел:

\frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}

Як перетворити неправильний дріб на мішане число? Потрібно чисельник поділити на знаменник. Наприклад, для дробу $\frac{7}{2}$ :

Виконуємо ділення націло: $7 : 2 = 3$ (остача $1$ ).
Отримана неповна частка ( $3$ ) буде цілою частиною мішаного числа.
Остача ( $1$ ) буде чисельником дробової частини.

Взаємообернені дроби

Два дроби називаються взаємно оберненими, якщо чисельник першого дробу дорівнює знаменнику другого й навпаки:

\frac{a}{b} \quad \text{і} \quad \frac{b}{a}

Дріб, обернений до цілого числа $a$ , має чисельником одиницю, а знаменником — саме це число:

a \quad \text{і} \quad \frac{1}{a}

Примітка. Число $1$ обернене саме до себе.

Операції над дробами

Скорочення (спрощення)

Спрощення дробу — це заміна дробу рівним йому шляхом ділення чисельника і знаменника на їхній спільний дільник (найкраще — на найбільший спільний дільник, НСД).

Математично це ґрунтується на основній властивості дробу: якщо чисельник і знаменник поділити або помножити на одне й те саме відмінне від нуля число, значення дробу не зміниться:

\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}; \quad \frac{a : c}{b : c} = \frac{a}{b}

Нескоротний дріб. Дріб називають нескоротним, якщо його чисельник і знаменник є взаємно простими числами (їхній НСД дорівнює $1$ ). Будь-який дріб стає нескоротним, якщо поділити його чисельник і знаменник на їхній НСД.

Додавання

Сумою двох дробів з однаковим знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник залишається тим самим.

Щоб додати дроби з різними знаменниками, їх слід спершу звести до спільного знаменника (НСК знаменників). Для цього використовують додатковий множник:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{b \cdot d} = \frac{ad + cb}{bd}

Віднімання

За аналогією з додаванням, виконується й віднімання:

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{b \cdot d} = \frac{ad - cb}{bd}

Множення

Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Цікаві властивості множення:

Якщо помножити дріб на його знаменник, отримаємо його чисельник: $\frac{a}{b} \cdot b = a$ .
Добуток двох взаємно обернених дробів завжди дорівнює одиниці: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$ .

Множення дробу на натуральне число:

\frac{3}{7} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 2}{7} = \frac{6}{7}

\frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{4}{2} = 2

Множення мішаних чисел:

Для множення потрібно перетворити мішані дроби на неправильні, перемножити їх та (за потреби) скоротити.

Два мішані числа:

$2 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{2}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{6} = 4 \frac{1}{6}$
Мішане та ціле число:

$4 \frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{13}{3} \cdot 6 = \frac{13 \cdot 6}{3} = 26$
Мішаний і звичайний дріб:

$2 \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{15 \cdot 3}{7 \cdot 5} = \frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7}$

Ділення

Часткою двох дробів є дріб, утворений множенням першого дробу на дріб, обернений до другого:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Ділення дробу на натуральне число:

\frac{3}{7} : 2 = \frac{3}{7 \cdot 2} = \frac{3}{14}

Ділення натурального числа на дріб:

2 : \frac{7}{2} = 2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7}

2 : \frac{4}{5} = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}

Ділення звичайних дробів:

\frac{3}{7} : \frac{4}{5} = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{28}

\frac{6}{7} : \frac{4}{7} = \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{42}{28} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

Ділення мішаних чисел:

1 \frac{1}{2} : 2 \frac{2}{3} = \frac{3}{2} : \frac{8}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{16}

2 \frac{1}{7} : \frac{3}{5} = \frac{15}{7} : \frac{3}{5} = \frac{15}{7} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{7} = 3 \frac{4}{7}

Порівняння дробів

Якщо знаменники рівні, більшим є той дріб, у якого більший чисельник:

$\frac{2}{7} < \frac{4}{7}$
Якщо чисельники рівні, більшим є той дріб, у якого знаменник менший:

$\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$
Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, їх спочатку зводять до спільного знаменника.

Наприклад, що більше: $\frac{4}{7}$ чи $\frac{2}{3}$ ?

$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$

Оскільки $12 < 14$ , робимо висновок:

$\frac{4}{7} < \frac{2}{3}$

Звичайні дроби: види, властивості та правила виконання математичних дій