Цилиндр, конус, шар: все формулы
Три тела вращения — цилиндр, конус и шар — дают на НМТ больше всего «дешёвых» баллов в стереометрии: формул немного, чертёж простой, вычисления в одну-две строки. Проваливают эти задачи не из-за сложности, а из-за путаницы: берут высоту вместо образующей, подставляют диаметр вместо радиуса, забывают про множитель \(\frac{1}{3}\) у конуса. В Tutor-Math мы даём эту тему одним блоком именно потому, что все три тела строятся по общей идее вращения и имеют общую логику формул. Ниже — определения, элементы, развёртки, осевые сечения, площади и объёмы, шесть полностью посчитанных примеров и сводный справочник в конце.
Общая идея: что такое тело вращения
Телом вращения называют тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг прямой (оси) на полный оборот.
Цилиндр — это вращение прямоугольника вокруг его стороны. Конус — вращение прямоугольного треугольника вокруг катета. Шар — вращение полукруга вокруг диаметра. Отсюда сразу следует главное свойство всех трёх тел: любое сечение плоскостью, перпендикулярной оси, — это круг. А сечение плоскостью, которая содержит ось (осевое сечение), возвращает нам ту же плоскую фигуру, только удвоенную: прямоугольник, равнобедренный треугольник, круг.
Практический вывод: как только вы видите задачу на тело вращения, рисуйте осевое сечение. Трёхмерная задача мгновенно становится плоской, и дальше работают обычная теорема Пифагора и формулы площадей.
Цилиндр
Цилиндром называют тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Основания цилиндра — два равных круга в параллельных плоскостях; отрезок, соединяющий соответственные точки окружностей оснований, называют образующей.
Элементы: радиус основания \(R\), высота \(h\). У прямого кругового цилиндра (а в школе рассматривают только такой) образующая равна высоте: \(l = h\). Это та редкая ситуация, когда образующую и высоту действительно можно не различать — но только здесь, в конусе так уже не будет.
Развёртка боковой поверхности — прямоугольник. Одна его сторона — это высота \(h\), а другая — длина окружности основания \(2\pi R\) (см. окружность и круг). Отсюда и формула, её не нужно учить наизусть — это просто площадь прямоугольника:
\[S_{бок} = 2\pi R h, \qquad S_{полн} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R (R + h).\]
Объём цилиндра строится так же, как объём призмы: площадь основания на высоту.
\[V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h.\]
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(2R\) и \(h\), его площадь равна \(2Rh\). Если в условии написано «осевое сечение — квадрат», это означает равенство \(h = 2R\), и одна эта фраза уже даёт связь между двумя неизвестными.
Конус
Конусом называют тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Основание — круг радиуса \(R\), вершина — точка на оси, а образующая \(l\) — отрезок от вершины до точки окружности основания.
Здесь высота \(h\) и образующая \(l\) — разные отрезки, и именно на их путанице строится половина ошибок. Они связаны теоремой Пифагора в осевом сечении:
\[l = \sqrt{R^2 + h^2}, \qquad h = \sqrt{l^2 - R^2}, \qquad R = \sqrt{l^2 - h^2}.\]
Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор радиуса \(l\), длина дуги которого равна длине окружности основания \(2\pi R\). Отсюда угол развёртки:
\[\varphi = 360^\circ \cdot \frac{R}{l}.\]
Площадь этого сектора и есть боковая поверхность:
\[S_{бок} = \pi R l, \qquad S_{полн} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (R + l).\]
Объём — ровно треть от цилиндра с теми же основанием и высотой, точно как у пирамиды по сравнению с призмой:
\[V = \frac{1}{3} \pi R^2 h.\]
Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием \(2R\) и боковыми сторонами \(l\); его высота — это высота конуса \(h\), а площадь равна \(Rh\). Если сказано «осевое сечение — равносторонний треугольник», то \(l = 2R\), а тогда \(h = R\sqrt{3}\).
Шар и сфера
Сфера — множество точек пространства, удалённых от центра на заданное расстояние \(R\). Шар — сфера вместе с внутренней областью, то есть множество точек на расстоянии не большем, чем \(R\).
Разница та же, что между окружностью и кругом: сфера — поверхность, шар — тело. Поэтому говорят «площадь сферы» и «объём шара», а не наоборот.
\[S = 4\pi R^2, \qquad V = \frac{4}{3} \pi R^3.\]
Развёртки у шара нет — сферу невозможно развернуть на плоскость без искажений (именно поэтому не существует идеально точной плоской карты мира). Осевое сечение шара — большой круг радиуса \(R\), его площадь \(\pi R^2\), то есть ровно четверть площади сферы.
Сечение шара плоскостью на расстоянии \(d\) от центра — круг радиуса
\[r = \sqrt{R^2 - d^2}, \qquad d < R.\]
Например, для \(R = 13\) и \(d = 5\) получаем \(r = \sqrt{169 - 25} = 12\), а площадь сечения равна \(144\pi\).
Пример 1. Цилиндр по радиусу и высоте
Радиус основания цилиндра \(R = 5\) см, высота \(h = 12\) см. Найти боковую и полную поверхности и объём.
Боковая поверхность: \(S_{бок} = 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 120\pi\) см². Полная: \(S_{полн} = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 12) = 170\pi\) см². Проверка другим путём: \(2\pi R^2 + S_{бок} = 50\pi + 120\pi = 170\pi\) — совпадает. Объём: \(V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 300\pi \approx 942{,}5\) см³.
Ответ: \(120\pi\) см², \(170\pi\) см², \(300\pi\) см³.
Пример 2. Конус: сначала образующая
Радиус конуса \(R = 6\), высота \(h = 8\). Найти образующую, полную поверхность и объём.
Образующая: \(l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\). Боковая поверхность: \(S_{бок} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\). Полная: \(S_{полн} = \pi \cdot 6 \cdot (6 + 10) = 96\pi\). Объём: \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi\).
Числовое совпадение \(S_{полн}\) и \(V\) здесь случайно — это разные величины с разными единицами, и никакого правила из него не следует.
Ответ: \(l = 10\), \(S_{полн} = 96\pi\), \(V = 96\pi\).
Пример 3. Задача на развёртку
Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса 12 с углом \(120^\circ\). Найти радиус основания, высоту и объём конуса.
Радиус сектора — это образующая: \(l = 12\). Из формулы угла развёртки \(120 = 360 \cdot \frac{R}{12}\), откуда \(R = 12 \cdot \frac{120}{360} = 4\). Высота: \(h = \sqrt{12^2 - 4^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\).
Проверка: площадь сектора равна \(\frac{120}{360} \cdot \pi \cdot 12^2 = 48\pi\), и по формуле \(S_{бок} = \pi \cdot 4 \cdot 12 = 48\pi\) — совпадает.
Объём: \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 8\sqrt{2} = \frac{128\sqrt{2}}{3}\pi \approx 189{,}6\).
Ответ: \(R = 4\), \(h = 8\sqrt{2}\), \(V = \frac{128\sqrt{2}\,\pi}{3}\).
Пример 4. Осевое сечение — квадрат
Осевое сечение цилиндра — квадрат площадью 36 см². Найти объём и полную поверхность цилиндра.
Сторона квадрата \(a = \sqrt{36} = 6\) см. Осевое сечение имеет стороны \(2R\) и \(h\), значит \(2R = h = 6\), откуда \(R = 3\), \(h = 6\).
Объём: \(V = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi\) см³. Полная поверхность: \(S_{полн} = 2\pi \cdot 3 \cdot (3 + 6) = 54\pi\) см².
Ответ: \(V = 54\pi\) см³, \(S_{полн} = 54\pi\) см².
Переплавление и переливание: объём сохраняется
Целый класс задач строится на одном предложении: когда тело переплавляют или жидкость переливают, объём не меняется. Форма другая, вещество то же. Поэтому решение всегда состоит из трёх шагов: посчитать объём первого тела, приравнять его к объёму второго, решить уравнение относительно неизвестной.
Площади поверхностей при этом не сохраняются — и именно на этом ловят невнимательных. Приравнивать можно только объёмы.
Пример 5. Переплавление
Свинцовый шар радиуса 6 см переплавили в сплошной цилиндр с радиусом основания 4 см. Найти высоту цилиндра.
Объём шара: \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288\pi\) см³.
Объём цилиндра: \(\pi \cdot 4^2 \cdot h = 16\pi h\). Приравниваем: \(16\pi h = 288\pi\), откуда \(h = 18\) см.
Проверка подстановкой: \(\pi \cdot 16 \cdot 18 = 288\pi\) — равно объёму шара.
Ответ: 18 см.
Пример 6. Переливание
Цилиндрический сосуд с радиусом дна 10 см заполнен водой до уровня 9 см. Воду перелили в конический сосуд с радиусом основания 15 см, поставленный вершиной вниз, и вода заполнила его ровно до краёв. Какова высота конического сосуда?
Объём воды: \(V = \pi \cdot 10^2 \cdot 9 = 900\pi\) см³.
Объём конуса: \(\frac{1}{3} \pi \cdot 15^2 \cdot h = 75\pi h\). Уравнение: \(75\pi h = 900\pi\), откуда \(h = 12\) см.
Проверка подстановкой: \(\frac{1}{3} \pi \cdot 225 \cdot 12 = 900\pi\) — совпадает с объёмом воды.
Ответ: 12 см.
Ловушка масштабирования: вдвое больший радиус
Самая распространённая ложная интуиция звучит так: «радиус увеличили вдвое — значит, и площадь, и объём увеличились вдвое». Это неверно. Радиус входит в площадь в квадрате, а в объём — в кубе:
\[\frac{4\pi (2R)^2}{4\pi R^2} = 4, \qquad \frac{\frac{4}{3}\pi (2R)^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = 8.\]
Если все линейные размеры тела увеличить в \(k\) раз, площадь поверхности вырастет в \(k^2\) раз, а объём — в \(k^3\) раз.
Конкретные числа: шар радиуса 3 имеет площадь \(4\pi \cdot 9 = 36\pi\) и объём \(\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\); шар радиуса 6 — площадь \(4\pi \cdot 36 = 144\pi\) (вчетверо больше) и объём \(\frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi\) (в восемь раз больше).
Практическое следствие для задач на переплавление: из шара радиуса 6 получается \(288\pi : \frac{32\pi}{3} = 27\) шариков радиуса 2, потому что радиус уменьшился втрое, а объём — в \(3^3 = 27\) раз. То же правило работает и для цилиндра с конусом: удвойте \(R\) и \(h\) одновременно — объём вырастет в 8 раз.
Сводный справочник формул
- Цилиндр: \(S_{бок} = 2\pi R h\); \(S_{полн} = 2\pi R (R + h)\); \(V = \pi R^2 h\); осевое сечение — прямоугольник \(2R \times h\) площадью \(2Rh\).
- Конус: \(l = \sqrt{R^2 + h^2}\); \(S_{бок} = \pi R l\); \(S_{полн} = \pi R (R + l)\); \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\); угол развёртки \(\varphi = 360^\circ \cdot \frac{R}{l}\); осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием \(2R\), боковой стороной \(l\) и площадью \(Rh\).
- Шар: \(S = 4\pi R^2\); \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\); осевое сечение — большой круг площадью \(\pi R^2\); сечение на расстоянии \(d\) от центра — круг радиуса \(r = \sqrt{R^2 - d^2}\).
- Масштаб: линейные размеры в \(k\) раз \(\Rightarrow\) площадь в \(k^2\) раз, объём в \(k^3\) раз.
Типичные ошибки
- Образующую конуса путают с высотой. В формуле \(S_{бок} = \pi R l\) стоит именно \(l\), а в формуле \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 h\) — именно \(h\). Если дано одно, а нужно другое, сначала пройдите через \(l^2 = R^2 + h^2\).
- Забывают множитель \(\frac{1}{3}\) в объёме конуса. Результат сразу втрое больше правильного. Ориентир простой: конус всегда «легче» цилиндра той же высоты и основания.
- Подставляют диаметр вместо радиуса. В условии часто дают диаметр — разделите пополам ещё до подстановки, иначе объём шара ошибётся в 8 раз.
- Приравнивают площади при переплавлении. Сохраняется только объём. Площадь поверхности при изменении формы меняется, и уравнение через неё не имеет смысла.
- «Вдвое больший радиус — вдвое больший объём». Нет: площадь растёт вчетверо, объём — в восемь раз.
- В полной поверхности цилиндра добавляют одно основание вместо двух. Оснований два, поэтому \(2\pi R^2\), а не \(\pi R^2\). У конуса основание одно — там как раз \(\pi R^2\).
- Говорят «объём сферы». Сфера — поверхность, у неё есть площадь; объём есть у шара.
Вывод
Цилиндр, конус и шар держатся на трёх парах формул и одном приёме — чертеже осевого сечения, который сводит объёмную задачу к плоской. Выучите справочник выше, научитесь за секунду отличать образующую от высоты и помните про степени при масштабировании: этого хватает для подавляющего большинства заданий НМТ по этой теме. Если формулы запоминаются, а задачи всё равно не складываются, приходите на пробное занятие — разберём именно ваши слабые места и закрепим их на практике.
Чем отличаются шар и сфера?
Сфера — это поверхность, множество точек на расстоянии \(R\) от центра. Шар — тело, то есть сфера вместе со всеми внутренними точками. Поэтому у сферы считают площадь \(S = 4\pi R^2\), а у шара — объём \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).
Как найти образующую конуса, если даны радиус и высота?
По теореме Пифагора в осевом сечении: \(l = \sqrt{R^2 + h^2}\). Например, при \(R = 6\) и \(h = 8\) образующая равна \(\sqrt{36 + 64} = 10\). Обратно, если известна образующая: \(h = \sqrt{l^2 - R^2}\).
Почему объём конуса втрое меньше объёма цилиндра?
Конус с тем же основанием и высотой, что и цилиндр, занимает ровно треть его объёма: \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 h\) против \(\pi R^2 h\). Это тот же множитель \(\frac{1}{3}\), что и у пирамиды по сравнению с призмой; его доказывают через принцип Кавальери или интегрирование.
Что происходит с площадью и объёмом, если радиус увеличить вдвое?
Площадь поверхности вырастет в 4 раза, объём — в 8 раз. В общем случае при увеличении всех линейных размеров в \(k\) раз площадь умножается на \(k^2\), а объём — на \(k^3\). Например, шар радиуса 3 имеет объём \(36\pi\), а радиуса 6 — уже \(288\pi\).
