Окружность и круг

Окружность и круг: длина, площадь, сектор

Тема окружности выглядит простой: две формулы, число \( \pi \) — и всё. Но именно на ней ученики теряют баллы на ГИА и ВНО чаще, чем на любой другой теме планиметрии. Причина почти всегда одна и та же: путаница между окружностью и кругом, а отсюда — между формулой длины и формулой площади. На занятиях в Tutor-Math мы начинаем эту тему не с формул, а с чёткого разделения этих двух понятий — дальше всё встаёт на места само.

Окружность — это линия, круг — это часть плоскости

Окружность — множество всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра). Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью.

Разница буквально такая же, как между обручем и диском. Обруч — это окружность: тонкая линия, у неё есть длина, но нет площади. Диск — это круг: у него есть площадь, а его границей служит окружность.

Отсюда сразу следует, какую формулу когда брать:

• спрашивают про длину, периметр, «сколько проволоки уйдёт на обод колеса», «длина ограды вокруг клумбы» — это окружность;
• спрашивают про площадь, «сколько краски на диск», «сколько земли занимает клумба» — это круг.

Единицы измерения — надёжный контроль: длина измеряется в см, м, км, площадь — в см², м², км². Если в ответе на вопрос о площади получились метры, а не квадратные метры, формула взята не та.

Радиус, диаметр, хорда, дуга

Четыре слова, которые нужно различать без колебаний:

• Радиус \( R \) — отрезок от центра до любой точки окружности. Все радиусы одной окружности равны.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Диаметр \( d \) — хорда, проходящая через центр. Это самая длинная из всех хорд, и \( d = 2R \).
• Дуга — часть окружности между двумя её точками. Каждая хорда отсекает две дуги: меньшую и большую.

Ещё два понятия, нужные для задач: сектор — часть круга между двумя радиусами и дугой (кусок пиццы), сегмент — часть круга между хордой и дугой (то, что отрезали ножом по прямой).

Полезное свойство, которое часто выручает в задачах: радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен ей. Это даёт прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — радиус, а катеты — половина хорды и расстояние от центра до хорды. Дальше работает теорема Пифагора, и неизвестная величина находится за один шаг.

Число π: откуда оно берётся

Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей. Это число обозначают греческой буквой \( \pi \).

Это не договорённость и не приближение — это доказанный факт. Возьмите тарелку, крышку от кастрюли и колесо велосипеда, обмерьте ниткой длину каждой окружности и разделите на диаметр — каждый раз получится примерно 3,14. Именно поэтому \( \pi \) появляется в обеих формулах темы.

\( \pi \) — иррациональное число: его нельзя записать в виде дроби \( \frac{m}{n} \) с целыми числителем и знаменателем, а десятичная запись бесконечна и непериодична:

\[ \pi = 3{,}14159265358979\ldots \]

В школе используют приближение \( \pi \approx 3{,}14 \), реже \( \pi \approx \frac{22}{7} \). Важное правило: если в условии не сказано «возьмите \( \pi \approx 3{,}14 \)», ответ оставляют с символом \( \pi \) — например, \( 36\pi \) см². Это точный ответ, а 113,04 — уже округлённый.

Две главные формулы

Длина окружности:

\[ C = 2\pi R = \pi d \]

Площадь круга:

\[ S = \pi R^2 = \frac{\pi d^2}{4} \]

Обратите внимание на принципиальную разницу: в длине радиус в первой степени, в площади — во второй. Практическое следствие такое: если радиус увеличить вдвое, длина окружности вырастет вдвое, а площадь круга — вчетверо, потому что \( (2R)^2 = 4R^2 \). Именно поэтому пицца диаметром 40 см имеет почти вдвое большую площадь, чем пицца 30 см (\( \frac{40^2}{30^2} \approx 1{,}78 \)), хотя диаметр больше лишь на треть.

Обе формулы легко «разворачивать». Если известна длина — радиус находят как \( R = \dfrac{C}{2\pi} \); если известна площадь — как \( R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}} \).

Дуга и сектор: всё через градусную меру

Идея одна на две формулы: целая окружность — это 360°. Дуга в \( \alpha \) градусов составляет \( \frac{\alpha}{360} \) часть окружности, а сектор с таким же углом — \( \frac{\alpha}{360} \) часть круга. Поэтому:

\[ l = 2\pi R \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} \] \[ S_{\text{сект}} = \pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \]

Никакой новой математики — это обычное нахождение части от целого, та же логика, что и в задачах на проценты, только вместо сотых долей здесь триста шестидесятые. Половина круга (180°) — это \( \frac{1}{2} \), четверть (90°) — \( \frac{1}{4} \), сектор 120° — ровно треть.

Есть ещё удобная связь между дугой и сектором, экономящая время:

\[ S_{\text{сект}} = \frac{l R}{2} \]

Если длину дуги уже посчитали, площадь сектора можно получить одним умножением, не возвращаясь к градусам.

Кольцо и сегмент

Кольцо — это то, что останется от большого круга, если вырезать из него меньший концентрический. Площадь считается вычитанием:

\[ S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \]

Здесь главное не поддаться соблазну написать \( \pi(R-r)^2 \) — это совсем другое число.

Сегмент — часть круга, отсечённая хордой. Для сегмента, меньшего полукруга, площадь равна площади сектора минус площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой:

\[ S_{\text{сегм}} = S_{\text{сект}} - S_{\triangle} \]

Треугольник здесь равнобедренный с боковыми сторонами \( R \), поэтому его площадь удобно считать как \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha \) — это стандартная формула площади через две стороны и угол между ними, подробнее о ней в статье про площадь треугольника. Если сегмент больше полукруга, площадь треугольника не вычитают, а прибавляют.

Пример 1. Длина окружности и площадь круга

Радиус круга равен 6 см. Найти длину окружности и площадь круга; \( \pi \approx 3{,}14 \).

• Длина: \( C = 2\pi R = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6 = 37{,}68 \) см. Точное значение — \( 12\pi \) см.
• Площадь: \( S = \pi R^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04 \) см². Точное значение — \( 36\pi \) см².

Ответ: \( C = 12\pi \approx 37{,}68 \) см, \( S = 36\pi \approx 113{,}04 \) см².

Пример 2. Обратная задача: найти радиус

Длина окружности равна 62,8 м. Найти радиус и площадь круга; \( \pi \approx 3{,}14 \).

• Из формулы \( C = 2\pi R \) имеем \( R = \dfrac{C}{2\pi} = \dfrac{62{,}8}{6{,}28} = 10 \) м.
• Площадь: \( S = \pi R^2 = 3{,}14 \cdot 100 = 314 \) м².
• Проверка: \( 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8 \) — совпадает с условием.

Ответ: \( R = 10 \) м, \( S = 314 \) м².

Пример 3. Дуга и сектор

В круге радиуса 9 см проведены два радиуса под углом 120°. Найти длину дуги и площадь сектора; \( \pi \approx 3{,}14 \).

Угол 120° — это \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \) полной окружности.

• Дуга: \( l = 2\pi \cdot 9 \cdot \dfrac{1}{3} = 6\pi \approx 6 \cdot 3{,}14 = 18{,}84 \) см.
• Сектор: \( S = \pi \cdot 81 \cdot \dfrac{1}{3} = 27\pi \approx 84{,}78 \) см².
• Проверка через связь \( S = \dfrac{lR}{2} = \dfrac{18{,}84 \cdot 9}{2} = 84{,}78 \) см² — тот же результат.

Ответ: \( l = 6\pi \approx 18{,}84 \) см, \( S_{\text{сект}} = 27\pi \approx 84{,}78 \) см².

Пример 4. Площадь кольца (беговая дорожка)

Круглый стадион имеет внешний радиус 25 м и внутренний 20 м. Какую площадь занимает беговая дорожка?

• \( S = \pi(R^2 - r^2) = \pi(625 - 400) = 225\pi \) м².
• Приближённо: \( 225 \cdot 3{,}14 = 706{,}5 \) м².
• Сравните с ошибочным вариантом \( \pi(R-r)^2 = \pi \cdot 25 \approx 78{,}5 \) м² — ошибка почти в девять раз.

Ответ: \( 225\pi \approx 706{,}5 \) м².

Пример 5. Площадь сегмента

В круге радиуса 6 см хорда стягивает дугу 90°. Найти площадь меньшего сегмента.

• Площадь сектора: \( S_{\text{сект}} = \pi \cdot 36 \cdot \dfrac{90}{360} = 9\pi \approx 28{,}26 \) см².
• Треугольник с двумя радиусами и хордой прямоугольный, катеты по 6 см: \( S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \) см².
• Сегмент: \( S = 9\pi - 18 \approx 28{,}26 - 18 = 10{,}26 \) см².

Проверка на здравый смысл: сегмент должен быть меньше сектора, и 10,26 меньше 28,26 — всё логично.

Ответ: \( 9\pi - 18 \approx 10{,}26 \) см².

Пример 6. Сколько оборотов делает колесо

Диаметр колеса велосипеда 66 см. Сколько полных оборотов оно сделает на дистанции 1 км?

• За один оборот колесо проходит длину своей окружности: \( C = \pi d = 3{,}14 \cdot 0{,}66 = 2{,}0724 \) м.
• Количество оборотов: \( 1000 : 2{,}0724 \approx 482{,}5 \).
• Полных оборотов, следовательно, 482.

Ответ: 482 полных оборота.

Типичные ошибки

• Путаница окружности и круга. «Найдите площадь окружности» — некорректная формулировка, у линии нет площади. Если в задаче речь о площади, значит, речь о круге, и работает формула \( \pi R^2 \).
• Подстановка диаметра вместо радиуса. Самая частая арифметическая ошибка темы. В условии дано \( d = 10 \), ученик пишет \( S = \pi \cdot 100 \) вместо \( \pi \cdot 25 \) — ответ сразу вчетверо больше. Первый шаг любой задачи: перевести диаметр в радиус.
• Формула \( \pi(R-r)^2 \) для кольца. Квадрат разности не равен разности квадратов. Правильно — \( \pi(R^2-r^2) \).
• Округление на каждом шаге. Если \( \pi \) заменить на 3,14 в начале, а потом ещё дважды округлить промежуточные результаты, погрешность накапливается. Считайте символьно (\( 12\pi \), \( 27\pi \)), а число подставляйте в конце.
• Потеря единиц измерения. Длина — см, площадь — см². Забытый квадрат в единицах на экзамене стоит балла так же, как ошибка в вычислениях.
• Деление на 360 вместо умножения на \( \frac{\alpha}{360} \). Сектор 120° — это не \( \frac{S}{360} \), а \( S \cdot \frac{120}{360} \), то есть треть круга.
• Разные единицы в одной задаче. Диаметр в сантиметрах, дистанция в километрах — перед делением всё нужно привести к одной единице, иначе ответ будет отличаться в сотни раз.

Вывод

Вся тема держится на трёх вещах: разделение окружности и круга, две базовые формулы \( C = 2\pi R \) и \( S = \pi R^2 \), и принцип «\( \frac{\alpha}{360} \) от целого» для дуг и секторов. Кольцо и сегмент — это уже не новые формулы, а вычитание: большее минус меньшее. Окружность стабильно появляется на экзаменах, поэтому она и попала в наш обзор главных тем геометрии для ГИА и ВНО.

Если ребёнок путает, когда умножать на \( R \), а когда на \( R^2 \), или теряется в задачах на сектор — это вопрос практики и системы, а не способностей. На индивидуальных занятиях в Tutor-Math мы отрабатываем тему на реальных задачах: колёса, клумбы, трубы, круглые бассейны. Запишитесь на пробное занятие — и формулы перестанут быть набором букв.

Чем окружность отличается от круга?

Окружность — это линия, множество точек, равноудалённых от центра. У окружности есть длина \( C = 2\pi R \), но нет площади. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью; у круга есть площадь \( S = \pi R^2 \). Простая аналогия: окружность — обруч, круг — диск. Поэтому выражение «площадь окружности» некорректно, правильно говорить «площадь круга».

Почему число π бесконечное?

Потому что \( \pi \) — иррациональное число: оно не равно никакой дроби \( \frac{m}{n} \) с целыми \( m \) и \( n \). Это строго доказано ещё в XVIII веке. Десятичная запись такого числа обязательно бесконечна и непериодична: \( 3{,}14159265\ldots \). В школе берут приближение \( \pi \approx 3{,}14 \), а точный ответ оставляют с символом \( \pi \).

Как найти площадь сектора, если известен угол?

Сектор с углом \( \alpha \) градусов составляет \( \frac{\alpha}{360} \) часть круга, поэтому \( S_{\text{сект}} = \pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \). Например, для \( R = 9 \) см и \( \alpha = 120^\circ \) получаем \( \pi \cdot 81 \cdot \frac{1}{3} = 27\pi \approx 84{,}78 \) см². Если длина дуги уже известна, быстрее воспользоваться формулой \( S = \frac{lR}{2} \).

Что делать, если в условии дан диаметр, а не радиус?

Сразу перевести: \( R = \frac{d}{2} \), и дальше работать с радиусом. Либо пользоваться формулами через диаметр: \( C = \pi d \) и \( S = \frac{\pi d^2}{4} \). Самая распространённая ошибка темы — подставить диаметр в формулу площади вместо радиуса: ответ получается ровно вчетверо больше правильного.