Геометрическая прогрессия и бесконечная сумма
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Тема кажется простой, пока дело не доходит до суммы бесконечно убывающей прогрессии: именно там ученики чаще всего путают условия и получают бессмысленные ответы. В этой статье разберём все формулы с обоснованием и покажем, где прогрессия работает на практике — от периодических дробей до банковских процентов. На занятиях в Tutor-Math эта тема обычно занимает два урока: один на технику, второй на задачи с реальным содержанием.
Определение и знаменатель прогрессии
Геометрическая прогрессия — числовая последовательность \(b_1, b_2, b_3, \ldots\), в которой первый член отличен от нуля, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на постоянное число \(q \ne 0\):
\[ b_{n+1} = b_n \cdot q \]Число \(q\) называют знаменателем прогрессии.
Два ограничения в определении не случайны. Если \(b_1 = 0\), вся последовательность состоит из нулей и знаменатель определить невозможно. Если \(q = 0\), то со второго члена всё тоже превращается в нули. Поэтому в задаче вида «найдите \(q\)» ответ \(q=0\) всегда отбрасывают.
Знаменатель находят делением любого члена на предыдущий:
\[ q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \]Например, в последовательности \(5;\ 15;\ 45;\ 135\) имеем \(q = 15:5 = 3\), и проверка на следующей паре подтверждает: \(45:15 = 3\). Именно такая проверка на второй-третьей паре — обязательный шаг: одна пара может дать верное отношение случайно.
Формула n-го члена
Чтобы добраться до \(b_n\), нужно от \(b_1\) умножить на \(q\) ровно \(n-1\) раз:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1} \]
Показатель \(n-1\), а не \(n\) — самое частое место ошибки. Простой контроль: подставьте \(n=1\). Должно получиться \(b_1 = b_1 q^0 = b_1\). Если в вашей формуле выходит \(b_1 q\) — показатель записан неверно. Работа со степенями здесь базовая, поэтому стоит повторить степень с натуральным показателем.
Пример 1. \(b_1 = 3\), \(q = 2\). Найти \(b_7\).
\(b_7 = 3 \cdot 2^{7-1} = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192\).
Проверка прямым умножением: \(3;\ 6;\ 12;\ 24;\ 48;\ 96;\ 192\) — седьмой член действительно \(192\).
Ответ: \(b_7 = 192\).
Пример 2. Известно, что \(b_3 = 12\), \(b_6 = 96\). Найти \(b_1\) и \(q\).
Запишем оба члена через \(b_1\): \(b_3 = b_1 q^2\), \(b_6 = b_1 q^5\). Разделим второе на первое — \(b_1\) сократится:
\[ \frac{b_6}{b_3} = \frac{b_1 q^5}{b_1 q^2} = q^3 = \frac{96}{12} = 8 \]Отсюда \(q = 2\). Тогда \(b_1 = \dfrac{b_3}{q^2} = \dfrac{12}{4} = 3\).
Проверка: \(b_6 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96\) — совпадает.
Ответ: \(b_1 = 3\), \(q = 2\).
Характеристическое свойство
Квадрат любого члена прогрессии (кроме первого) равен произведению двух соседних с ним членов:
\[ b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1} \]
Доказательство в одну строку: \(b_{n-1} b_{n+1} = \dfrac{b_n}{q} \cdot b_n q = b_n^2\). Это свойство — рабочий инструмент, когда нужно выяснить, образуют ли три выражения прогрессию.
Пример 3. При каком \(x\) числа \(x-1\), \(x+1\), \(x+5\) образуют геометрическую прогрессию?
По характеристическому свойству \((x+1)^2 = (x-1)(x+5)\). Раскроем скобки:
\[ x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x - 5 \]\(2x + 1 = 4x - 5\), откуда \(2x = 6\) и \(x = 3\).
Подстановка: члены равны \(2;\ 4;\ 8\). Проверим — \(4^2 = 16\) и \(2 \cdot 8 = 16\), равенство выполняется, \(q = 2\), первый член ненулевой. Условия определения выполнены.
Ответ: \(x = 3\), прогрессия \(2;\ 4;\ 8\).
Сумма первых n членов
Если \(q \ne 1\), то
\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]Если \(q = 1\), все члены одинаковы и \(S_n = b_1 n\).
Формула выводится коротко. Запишем \(S_n = b_1 + b_1 q + \ldots + b_1 q^{n-1}\), умножим всё на \(q\) и вычтем первую строку из второй — все средние слагаемые взаимно уничтожатся, останется \(S_n q - S_n = b_1 q^n - b_1\), то есть \(S_n(q-1) = b_1(q^n-1)\). Делить на \(q-1\) можно только при условии \(q \ne 1\) — отсюда и отдельный случай.
Для \(q < 1\) удобнее равносильная форма \(S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\): она избавляет от лишних минусов.
Пример 4. \(b_1 = 16\), \(q = -\dfrac{1}{2}\). Найти \(b_5\) и \(S_5\).
\(b_5 = 16 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^4 = 16 \cdot \dfrac{1}{16} = 1\).
Сумма: \(q^5 = -\dfrac{1}{32}\), поэтому
\[ S_5 = \frac{16\left(-\frac{1}{32} - 1\right)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{16 \cdot \left(-\frac{33}{32}\right)}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{33}{2}}{-\frac{3}{2}} = 11 \]Проверка прямым сложением: \(16 - 8 + 4 - 2 + 1 = 11\).
Ответ: \(b_5 = 1\), \(S_5 = 11\).
Бесконечно убывающая прогрессия
Если \(|q| < 1\), то \(q^n\) с ростом \(n\) неограниченно приближается к нулю. В формуле суммы слагаемое \(q^n\) исчезает, и остаётся конечное число — сумма бесконечного количества слагаемых.
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если \(|q| < 1\). Её сумма
\[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]Условие \(|q| < 1\) — обязательная часть формулы. При \(|q| \ge 1\) суммы не существует.
Подчеркнём это отдельно, потому что это ошибка №1 в теме. Для прогрессии \(1;\ 2;\ 4;\ 8;\ \ldots\) подстановка в формулу даёт \(S = \dfrac{1}{1-2} = -1\) — абсурд: складываем положительные числа, а получаем отрицательное. Формула просто неприменима, так как \(q = 2\). Сначала проверяем \(|q| < 1\), потом считаем.
Обратите внимание: «убывающая» здесь — термин, а не описание поведения. Прогрессия \(16;\ -8;\ 4;\ -2;\ \ldots\) с \(q = -\dfrac{1}{2}\) не убывает монотонно, но является бесконечно убывающей, так как \(|q| = \dfrac{1}{2} < 1\). Её сумма: \(S = \dfrac{16}{1 - (-0{,}5)} = \dfrac{16}{1{,}5} = \dfrac{32}{3}\).
Периодическая дробь как бесконечная сумма
Самое красивое применение формулы — перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную. Периодическая дробь и есть бесконечная сумма геометрической прогрессии.
Пример 5. Записать \(0{,}(27)\) и \(0{,}4(6)\) в виде обыкновенной дроби.
а) \(0{,}(27) = 0{,}27 + 0{,}0027 + 0{,}000027 + \ldots\) — это прогрессия с \(b_1 = \dfrac{27}{100}\) и \(q = \dfrac{1}{100}\). Поскольку \(|q| < 1\):
\[ S = \frac{\frac{27}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \]б) \(0{,}4(6) = 0{,}4 + 0{,}06 + 0{,}006 + \ldots\) Непериодическую часть \(0{,}4\) оставляем отдельно, а хвост — прогрессия с \(b_1 = \dfrac{6}{100}\), \(q = \dfrac{1}{10}\):
\[ 0{,}4(6) = \frac{2}{5} + \frac{\frac{6}{100}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{2}{5} + \frac{\frac{6}{100}}{\frac{9}{10}} = \frac{2}{5} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{1}{15} = \frac{7}{15} \]Проверка делением: \(3 : 11 = 0{,}272727\ldots\), \(7 : 15 = 0{,}4666\ldots\) — совпадает. Другие способы этого же преобразования рассмотрены в статье о преобразовании дробей.
Ответ: \(0{,}(27) = \dfrac{3}{11}\), \(0{,}4(6) = \dfrac{7}{15}\).
Сложные проценты
Вклад под сложный процент — это геометрическая прогрессия в чистом виде. Если ставка \(p\%\) годовых начисляется на всю накопленную сумму, то каждый год сумма умножается на один и тот же коэффициент \(q = 1 + \dfrac{p}{100}\).
Пример 6. На счёт положили 20 000 грн под 12% годовых с ежегодной капитализацией. Какая сумма будет через 5 лет?
Здесь \(b_1\) — это сумма после первого года, но удобнее считать от начального вклада: \(A_n = A_0 q^n\), где \(q = 1{,}12\).
\[ A_5 = 20000 \cdot 1{,}12^5 \]Вычисляем пошагово: \(1{,}12^2 = 1{,}2544\); \(1{,}12^4 = 1{,}2544^2 = 1{,}57351936\); \(1{,}12^5 = 1{,}57351936 \cdot 1{,}12 = 1{,}7623416832\). Тогда \(A_5 = 20000 \cdot 1{,}7623416832 = 35246{,}83\) грн.
Для сравнения: простой процент дал бы \(20000 + 5 \cdot 2400 = 32000\) грн. Разница в 3246,83 грн — это и есть эффект умножения вместо сложения. Похожие задачи на процентные расчёты разобраны в материале о задачах на проценты.
Ответ: около 35 246,83 грн.
Сравнение с арифметической прогрессией
Обе прогрессии строятся по одному принципу «шаг от предыдущего члена», но шаг разный: в арифметической прибавляют разность \(d\), в геометрической умножают на знаменатель \(q\).
- \(n\)-й член: \(a_n = a_1 + d(n-1)\) против \(b_n = b_1 q^{n-1}\).
- Сумма: \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\) против \(S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}\).
- Характеристическое свойство: \(a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\) (среднее арифметическое) против \(b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}\) (среднее геометрическое).
- Бесконечная сумма в арифметической прогрессии не существует никогда (кроме тривиального нулевого случая), в геометрической — существует при \(|q|<1\).
Подробности о первой — в статье об арифметической прогрессии. Практический совет: если в условии последовательность задана числами, посчитайте и разность соседних, и их отношение — постоянное значение покажет тип прогрессии.
Типичные ошибки
- Формула бесконечной суммы без проверки \(|q| < 1\). Самая грубая ошибка темы: подстановка \(q = 2\) или \(q = -3\) даёт число, не имеющее смысла.
- Показатель \(n\) вместо \(n-1\). Контроль: при \(n=1\) формула должна возвращать \(b_1\).
- Деление на \(q-1\) при \(q=1\). Случай одинаковых членов считают отдельно: \(S_n = b_1 n\).
- «Убывающая» = «уменьшается». При отрицательном \(q\) члены чередуют знак, но прогрессия всё равно бесконечно убывающая, если \(|q|<1\).
- Потеря второго корня. Из уравнения \(q^2 = 9\) следует \(q = 3\) или \(q = -3\); отбрасывать отрицательный корень без обоснования нельзя.
- Знак в степени с отрицательным \(q\). \((-2)^4 = 16\), а \(-2^4 = -16\) — скобки обязательны.
- Путаница \(b_1\) и \(A_0\) в задачах на проценты. Определяйте сразу, что является первым членом: начальный вклад или сумма после первого года.
Вывод
Геометрическая прогрессия держится на трёх формулах: \(b_n = b_1 q^{n-1}\), \(S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}\) и \(S = \dfrac{b_1}{1-q}\) при \(|q|<1\). Первые две — техника, третья требует каждый раз проверять условие сходимости. Если научиться видеть прогрессию в задаче о вкладе или в периодической дроби, тема из абстрактной становится инструментом.
Не получается уверенно решать задачи на прогрессии перед контрольной или НМТ? Запишитесь на пробное занятие — разберём ваши конкретные трудности и построим план подготовки.
Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?
В арифметической к предыдущему члену прибавляют постоянную разность \(d\), в геометрической предыдущий член умножают на постоянный знаменатель \(q\). Из-за этого арифметическая растёт линейно, а геометрическая — в геометрическом темпе, значительно быстрее. Чтобы определить тип по числам, посчитайте разность соседних членов и их отношение: постоянное значение укажет на нужную прогрессию.
Почему бесконечная сумма существует только при \(|q| < 1\)?
В формуле \(S_n = \dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}\) поведение суммы зависит от \(q^n\). Если \(|q|<1\), то \(q^n\) стремится к нулю и сумма приближается к конечному числу \(\dfrac{b_1}{1-q}\). Если же \(|q| \ge 1\), то \(q^n\) не затухает, частичные суммы неограниченно растут или колеблются, и предела нет.
Может ли знаменатель прогрессии быть отрицательным или дробным?
Да, любым, кроме нуля. При отрицательном \(q\) члены поочерёдно меняют знак — например, \(16; -8; 4; -2\) при \(q=-0{,}5\). Дробный \(q\), по модулю меньший единицы, даёт убывающую по модулю прогрессию, для которой существует бесконечная сумма.
Как перевести периодическую дробь в обыкновенную через прогрессию?
Период запишите как бесконечную сумму: \(0{,}(27) = 0{,}27 + 0{,}0027 + \ldots\), где \(b_1 = \dfrac{27}{100}\), \(q = \dfrac{1}{100}\). Тогда \(S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}\). Если перед периодом есть непериодическая часть, её прибавляют отдельно.
