Арифметическая прогрессия: формулы и задачи
Арифметическая прогрессия — первая тема девятого класса, где школьник работает не с отдельным числом, а с целой бесконечной последовательностью. Звучит сложно, а на деле всё держится на одной идее: каждый следующий член больше предыдущего на одну и ту же величину. На занятиях в Tutor-Math мы начинаем именно с неё, потому что из этой идеи механически выводятся все формулы — и n-го члена, и суммы. Разберём тему целиком: определение, четыре рабочие формулы, шесть решённых задач и типичные ошибки, на которых сыплются на контрольной.
Определение и разность прогрессии
Определение. Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом \(d\). Это число называют разностью прогрессии.
Формально: \(a_{n+1}=a_n+d\) для любого натурального \(n\). Отсюда сразу способ найти разность:
\[ d = a_{n+1} - a_n \]Разность можно посчитать по любой паре соседних членов — результат будет один и тот же. Это, кстати, самый быстрый способ проверить, является ли последовательность прогрессией вообще: берём несколько пар соседей и смотрим, совпадают ли разности.
Пример: последовательность 3, 7, 11, 15, 19. Здесь \(7-3=4\), \(11-7=4\), \(15-11=4\), \(19-15=4\). Разности одинаковы, значит это арифметическая прогрессия с \(d=4\).
А последовательность 2, 4, 8, 16 прогрессией не является: \(4-2=2\), но \(8-4=4\). Разности разные. Такая последовательность строится умножением, а не сложением — это уже геометрическая прогрессия, отдельная тема со своими формулами.
Возрастающая и убывающая прогрессия
Знак разности полностью определяет поведение последовательности — тут ничего не нужно запоминать, достаточно подумать:
- \(d>0\) — прогрессия возрастающая, каждый следующий член больше (3, 7, 11, 15...);
- \(d<0\) — прогрессия убывающая, каждый следующий меньше (20, 17, 14, 11...);
- \(d=0\) — все члены одинаковы, прогрессия стационарна (5, 5, 5, 5...).
Важно: убывающая прогрессия рано или поздно станет отрицательной, сколько бы положительных членов она ни имела в начале. Шаг фиксирован, поэтому падение не замедляется — на этом построен целый тип задач «сколько положительных членов у прогрессии».
Формула n-го члена
Двигаться от \(a_1\) к \(a_{100}\), прибавляя \(d\) сто раз, никто не будет. Посмотрим, как накапливается разность:
- \(a_2=a_1+d\) — прибавили \(d\) один раз;
- \(a_3=a_2+d=a_1+2d\) — дважды;
- \(a_4=a_1+3d\) — трижды.
Шагов всегда на один меньше, чем номер члена. Отсюда главная формула темы:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]Самая частая ошибка — написать \(nd\) вместо \((n-1)d\). Проверяйте формулу на \(n=1\): должно получиться \(a_1+0\cdot d=a_1\). Если выходит \(a_1+d\), вы потеряли единицу.
Обратите внимание на структуру: \(a_n=dn+(a_1-d)\) — это линейная функция от номера \(n\), где \(d\) играет роль углового коэффициента. Поэтому точки прогрессии на графике всегда лежат на одной прямой. Аналогия помогает: если вы понимаете линейную функцию, вы уже понимаете прогрессию.
Пример 1. Найти член прогрессии по номеру
Дано \(a_1=5\), \(d=3\). Найти \(a_{20}\).
Подставляем в формулу n-го члена:
\[ a_{20} = 5 + (20-1)\cdot 3 = 5 + 19\cdot 3 = 5 + 57 = 62 \]Проверка на малых номерах: 5, 8, 11, 14 — разность действительно 3.
Ответ: \(a_{20}=62\).
Две формулы суммы: когда какую брать
Сумму первых \(n\) членов обозначают \(S_n\). Формул две, и они абсолютно равносильны — просто удобны в разных ситуациях.
Первая формула (через крайние члены): \[ S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \]
Вторая формула (через разность): \[ S_n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n \]
Вторая получается из первой простой подстановкой \(a_n=a_1+(n-1)d\), так что это не два разных факта, а один факт в двух записях.
Правило выбора простое:
- известны первый и последний члены — берите первую формулу, она короче;
- известны первый член и разность, а последний неизвестен — берите вторую, она не требует сначала считать \(a_n\);
- ищете количество членов по известной сумме — только вторая, потому что в ней \(n\) — единственное неизвестное.
Проверим обе на примере 1: \(a_1=5\), \(d=3\), \(n=20\), \(a_{20}=62\).
\[ S_{20} = \frac{5+62}{2}\cdot 20 = \frac{67}{2}\cdot 20 = 67\cdot 10 = 670 \] \[ S_{20} = \frac{2\cdot 5+19\cdot 3}{2}\cdot 20 = \frac{10+57}{2}\cdot 20 = \frac{67}{2}\cdot 20 = 670 \]Результат одинаковый — 670. Так и должно быть.
Историческая вставка: Гаусс и сумма от 1 до 100
История, которую рассказывают в каждом учебнике. Учитель дал классу скучное задание — сложить все числа от 1 до 100. Десятилетний Карл Фридрих Гаусс сдал ответ почти сразу.
Он заметил, что числа можно складывать парами с концов: \(1+100=101\), \(2+99=101\), \(3+98=101\). Каждая пара даёт 101, а пар ровно \(100:2=50\). Значит, сумма равна \(101\cdot 50=5050\).
Это и есть первая формула суммы в чистом виде: здесь \(a_1=1\), \(a_{100}=100\), \(n=100\), то есть
\[ S_{100} = \frac{1+100}{2}\cdot 100 = \frac{101}{2}\cdot 100 = 5050 \]Прямое сложение всех ста слагаемых даёт то же самое число 5050 — формула не упрощает, она считает точно.
Характеристическое свойство
Свойство. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних: \[ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \]
Почему так: \(a_{n-1}=a_n-d\), \(a_{n+1}=a_n+d\). При сложении \(d\) и \(-d\) взаимно уничтожаются, остаётся \(2a_n\), а после деления на 2 — сам \(a_n\).
Более удобная для решения форма — без дроби:
\[ 2a_n = a_{n-1} + a_{n+1} \]Свойство работает и в обратную сторону: если в последовательности каждый член равен среднему арифметическому соседей, то это обязательно арифметическая прогрессия. Именно поэтому свойство называют характеристическим — оно полностью характеризует прогрессию, его можно взять за альтернативное определение.
Пример 2. Найти прогрессию по двум членам
Дано \(a_5=17\) и \(a_{12}=45\). Найти \(a_1\) и \(d\).
Записываем оба члена через формулу n-го члена и получаем систему двух уравнений:
\[ \begin{cases} a_1 + 4d = 17 \\ a_1 + 11d = 45 \end{cases} \]Вычитаем первое уравнение из второго — \(a_1\) исчезает:
\[ 7d = 28, \qquad d = 4 \]Подставляем в первое: \(a_1+4\cdot 4=17\), отсюда \(a_1=17-16=1\).
Проверка: прогрессия 1, 5, 9, 13, 17 — пятый член действительно 17. И \(a_{12}=1+11\cdot 4=1+44=45\) — совпадает.
Ответ: \(a_1=1\), \(d=4\).
Пример 3. Найти номер члена
Является ли число 143 членом прогрессии 7, 11, 15, ...? Если да — под каким номером?
Сначала разность: \(d=11-7=4\), \(a_1=7\). Предполагаем, что 143 — это \(a_n\), и решаем линейное уравнение относительно \(n\):
\[ 7 + (n-1)\cdot 4 = 143 \] \[ (n-1)\cdot 4 = 136 \] \[ n - 1 = 34, \qquad n = 35 \]Число 35 — натуральное, значит 143 действительно член прогрессии. Проверка: \(a_{35}=7+34\cdot 4=7+136=143\).
Критически важный момент: если бы \(n\) вышло дробным или отрицательным, ответ был бы «нет, это число не является членом прогрессии». Например, для числа 145 получили бы \(n-1=34{,}5\) — не натуральное, значит 145 в этой прогрессии не встречается.
Ответ: да, это 35-й член.
Пример 4. Сколько положительных членов у прогрессии
Прогрессия 62, 58, 54, ... Сколько в ней положительных членов и чему равна их сумма?
Разность \(d=58-62=-4\), прогрессия убывающая, \(a_1=62\). Условие положительности:
\[ 62 + (n-1)\cdot(-4) > 0 \] \[ 62 - 4n + 4 > 0 \] \[ 66 > 4n, \qquad n < 16{,}5 \]Номера натуральные, поэтому \(n\) принимает значения от 1 до 16. Положительных членов ровно 16.
Проверим границу. Шестнадцатый член: \(a_{16}=62+15\cdot(-4)=62-60=2\) — положительный. Семнадцатый: \(a_{17}=62+16\cdot(-4)=62-64=-2\) — уже отрицательный. Граница найдена верно.
Сумма этих шестнадцати членов (известны \(a_1\) и \(a_{16}\), поэтому берём первую формулу):
\[ S_{16} = \frac{62+2}{2}\cdot 16 = \frac{64}{2}\cdot 16 = 32\cdot 16 = 512 \]Ответ: 16 положительных членов, их сумма 512.
Пример 5. Задача на характеристическое свойство
При каком \(x\) числа \(x-2\), \(3x\), \(x+14\) образуют арифметическую прогрессию?
Средний член должен равняться среднему арифметическому крайних, то есть \(2\cdot 3x=(x-2)+(x+14)\):
\[ 6x = 2x + 12 \] \[ 4x = 12, \qquad x = 3 \]Подставляем \(x=3\) обратно: \(x-2=1\), \(3x=9\), \(x+14=17\). Получили тройку 1, 9, 17. Разности: \(9-1=8\) и \(17-9=8\) — одинаковы, прогрессия есть.
Ответ: \(x=3\), прогрессия 1, 9, 17 с разностью 8.
Пример 6. Найти количество членов по сумме
Сколько первых членов прогрессии 4, 7, 10, ... нужно взять, чтобы их сумма равнялась 1000?
Здесь \(a_1=4\), \(d=3\), последний член неизвестен — работает только вторая формула суммы:
\[ \frac{2\cdot 4+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n = 1000 \]Умножаем обе части на 2 и раскрываем скобки:
\[ (8+3n-3)\cdot n = 2000 \] \[ 3n^2 + 5n - 2000 = 0 \]Дискриминант: \(D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2000)=25+24000=24025\), и \(\sqrt{24025}=155\), так как \(155^2=24025\).
\[ n = \frac{-5 \pm 155}{6} \]Первый корень \(n=\dfrac{150}{6}=25\), второй \(n=\dfrac{-160}{6}=-\dfrac{80}{3}\). Второй отбрасываем: количество членов — натуральное число.
Проверка подстановкой: \(a_{25}=4+24\cdot 3=76\), тогда \(S_{25}=\dfrac{4+76}{2}\cdot 25=40\cdot 25=1000\). Совпадает.
Ответ: 25 членов.
Прогрессия в реальной жизни
Тема не такая абстрактная, как кажется. Любое равномерное накопление или равномерное наращивание нагрузки — это арифметическая прогрессия.
План тренировок. Ученик начинает с 15 минут бега и каждый день добавляет по 5 минут. Это прогрессия с \(a_1=15\), \(d=5\). Когда он добежит до часа?
\[ 15 + (n-1)\cdot 5 = 60 \quad \Rightarrow \quad (n-1)\cdot 5 = 45 \quad \Rightarrow \quad n = 10 \]На десятый день. А общее время за эти десять дней:
\[ S_{10} = \frac{15+60}{2}\cdot 10 = \frac{75}{2}\cdot 10 = 375 \]То есть 375 минут, или 6 часов 15 минут.
Накопление. В первый месяц отложено 200 гривен, и каждый месяц сумма взноса растёт на 50. За год последний взнос составит \(a_{12}=200+11\cdot 50=750\) грн, а всего будет накоплено \(S_{12}=\dfrac{200+750}{2}\cdot 12=475\cdot 12=5700\) грн.
Типичные ошибки
- Формула \(a_n=a_1+nd\) вместо \(a_1+(n-1)d\). Самая распространённая ошибка темы. Разность прибавляют на один раз меньше, чем номер члена. Быстрая самопроверка: подставьте \(n=1\) — должно получиться ровно \(a_1\).
- Забывают умножить на \(n\) в формуле суммы. Дробь \(\frac{a_1+a_n}{2}\) — это лишь среднее арифметическое крайних членов, а не сумма. Её обязательно умножают на количество слагаемых.
- Разность считают «наоборот»: \(d=a_n-a_{n+1}\). Тогда у убывающей прогрессии \(d\) выходит положительным, и вся задача рассыпается. Разность — это всегда следующий минус предыдущий.
- Принимают дробное \(n\) за ответ. Номер члена — натуральное число. Если в задаче «является ли число членом прогрессии» получилось \(n=12{,}5\), правильный ответ — «не является», а не «двенадцатый с половиной».
- В задачах на количество положительных членов путают строгое и нестрогое неравенство. «Положительные» означает \(a_n>0\), ноль сюда не входит. Если в условии «неотрицательные» — тогда \(a_n\geq 0\), и ответ может отличаться на один член.
- Оба корня квадратного уравнения записывают в ответ. В задачах на сумму отрицательный или дробный корень всегда посторонний — количество членов не бывает отрицательным.
- Путают арифметическую прогрессию с геометрической. В арифметической к члену прибавляют \(d\), в геометрической умножают на \(q\). Проверка одна: посчитайте разности соседних членов и их частные — что окажется постоянным, такая и прогрессия.
Вывод
Вся тема держится на трёх формулах: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для любого члена и две формулы суммы, которые выбираются по тому, что дано в условии. Остальное — техника: составить уравнение, решить, проверить натуральность номера. Это тема из тех, где количество решённых задач напрямую переходит в баллы на ГИА и НМТ, потому что типов задач немного и они повторяются из года в год.
Если формулы запоминаются, а задачи всё равно «не идут» — обычно проблема не в прогрессии, а в базе: линейных уравнениях или в работе с неравенствами. На пробном занятии преподаватель Tutor-Math найдёт, где именно рвётся цепочка, и построит план, который закроет пробел, а не просто «прорешает ещё двадцать номеров».
Что такое разность арифметической прогрессии?
Это число \(d\), которое прибавляют к каждому члену, чтобы получить следующий. Вычисляется как разность любых двух соседних членов: \(d=a_{n+1}-a_n\). Если \(d>0\), прогрессия возрастает, если \(d<0\) — убывает, если \(d=0\) — все члены одинаковы.
Какую формулу суммы выбрать на контрольной?
Если в условии есть первый и последний члены — берите \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n\), она короче. Если известны первый член и разность, а последний пришлось бы сначала считать, — берите \(S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n\). Когда ищут количество членов по известной сумме, годится только вторая формула: в ней \(n\) — единственное неизвестное.
Как проверить, что последовательность является арифметической прогрессией?
Посчитайте разности нескольких пар соседних членов. Если все они одинаковы — это арифметическая прогрессия. Второй способ — характеристическое свойство: каждый член должен равняться среднему арифметическому соседей, то есть \(2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\).
Почему в формуле стоит \((n-1)d\), а не \(nd\)?
Потому что от первого члена до n-го разность прибавляют на один раз меньше, чем номер. Чтобы дойти от \(a_1\) до \(a_2\), нужен один шаг, до \(a_3\) — два шага, до \(a_n\) — \(n-1\) шагов. Проверка: при \(n=1\) формула даёт \(a_1+0\cdot d=a_1\), как и должно быть.
