Степень с натуральным показателем: определение и все свойства
Степень — это более короткая запись многократного умножения. Тема появляется в седьмом классе и сразу становится рабочим инструментом: без неё не будет ни одночленов, ни многочленов, ни формул сокращённого умножения. На занятиях в Tutor-Math мы доводим пять свойств степени до автоматизма, потому что в старших классах их применяют не как отдельную тему, а мимоходом, внутри более длинных преобразований. Разберём всё с нуля — с определением, правилами знаков и примерами, посчитанными до конца.
Определение степени с натуральным показателем
Записывать \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\) неудобно, а если множителей сорок — ещё и невозможно. Поэтому придумали сокращение.
Определение. Степенью числа \(a\) с натуральным показателем \(n\), большим единицы, называют произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\):
\[a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{множителей}}\]
Отдельно условились, что \(a^1 = a\).
В записи \(a^n\) число \(a\) называют основанием степени, а число \(n\) — показателем. Основание отвечает на вопрос «что умножаем», показатель — «сколько раз». Значит, \(2^5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32\): основание 2, показатель 5.
Читается это так: \(a^n\) — «а в степени эн». Для второй и третьей степени есть устоявшиеся названия: \(a^2\) — «а в квадрате», \(a^3\) — «а в кубе». Названия пришли из геометрии: площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2\), объём куба — \(a^3\).
Два значения стоит запомнить отдельно: \(1^n = 1\) при любом показателе, ведь единицу сколько ни умножай на себя, она останется единицей; и \(0^n = 0\) при любом натуральном \(n\). Показатель в этой теме всегда натуральный, то есть принадлежит натуральным числам — 1, 2, 3 и далее.
Свойство 1. Произведение степеней с одинаковым основанием
При умножении степеней с одинаковым основанием основание оставляют, а показатели складывают:
\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
Почему так: в первом множителе \(m\) одинаковых множителей, во втором — \(n\), вместе их \(m+n\). Проверка на числах: \(2^3\cdot 2^4 = 8\cdot 16 = 128\), и \(2^{3+4} = 2^7 = 128\). Совпало.
Свойство 2. Частное степеней с одинаковым основанием
При делении степеней с одинаковым основанием основание оставляют, а показатели вычитают (здесь \(a \ne 0\) и \(m > n\)):
\[a^m : a^n = a^{m-n}\]
Пример: \(5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25\). Условие \(m > n\) нужно именно потому, что показатель должен остаться натуральным. Случаи, когда показатель получается нулевым или отрицательным, рассматривают отдельной темой позже.
Свойство 3. Степень степени
При возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают:
\[(a^m)^n = a^{mn}\]
Пример: \((3^2)^3 = 3^{2\cdot 3} = 3^6 = 729\). Прямая проверка: \(3^2 = 9\), затем \(9^3 = 729\). Обратите внимание на контраст с первым свойством: там показатели складывали, здесь — умножают. Путаница между этими двумя правилами даёт больше всего ошибок в теме.
Свойство 4. Степень произведения
Чтобы возвести произведение в степень, возводят в эту степень каждый множитель:
\[(ab)^n = a^n b^n\]
Пример: \((2\cdot 3)^4 = 6^4 = 1296\), и то же самое через разложение: \(2^4\cdot 3^4 = 16\cdot 81 = 1296\). Свойство работает в обе стороны, и обратное направление часто удобнее для вычислений: \(2^5\cdot 5^5 = (2\cdot 5)^5 = 10^5 = 100\,000\) — считать такое произведение «в лоб» дольше, чем заметить десятку. Тем, кому вычисления даются медленно, стоит заранее отработать алгоритм письменного умножения: в теме степеней арифметические ошибки маскируются под ошибки в правилах.
Свойство 5. Степень частного
Чтобы возвести дробь в степень, возводят в эту степень и числитель, и знаменатель (здесь \(b \ne 0\)):
\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]
Пример: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27}\). Для десятичной дроби удобно сначала перейти к обыкновенной: \((0{,}25)^2 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625\).
Степень отрицательного числа: правило знаков
Знак результата определяется только чётностью показателя, и логика здесь простая: минусы сокращаются парами.
Степень отрицательного числа с чётным показателем — число положительное.
Степень отрицательного числа с нечётным показателем — число отрицательное.
Проверим: \((-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16\) — четыре минуса дали две пары, обе сократились. А \((-2)^5 = -32\) — пятый минус остался без пары. Если основание положительное, результат положителен всегда, при любом показателе. Чтобы уверенно работать со знаками, нужна прочная база по теме положительных и отрицательных чисел и модуля.
Главная ловушка темы. Выражения \((-3)^2\) и \(-3^2\) выглядят почти одинаково, но это разные числа:
- \((-3)^2 = (-3)\cdot(-3) = 9\). Скобки означают, что основание степени — число \(-3\), минус входит внутрь.
- \(-3^2 = -(3\cdot 3) = -9\). Без скобок основание — тройка, а минус стоит перед степенью и применяется уже к результату.
Правило одно: возведение в степень выполняется раньше, чем взятие противоположного числа. Поэтому \(-5^3 = -125\) и \((-5)^3 = -125\) — здесь ответы совпали случайно, так как показатель нечётный. А вот \(-4^2 = -16\), тогда как \((-4)^2 = 16\) — и эта разница уже принципиальная. Вывод практический: если отрицательное число возводят в степень, скобки обязательны.
Порядок действий в выражениях со степенями
Степень добавляет к привычному порядку действий ещё один уровень. Полная очередь такая:
- действия в скобках;
- возведение в степень;
- умножение и деление — слева направо;
- сложение и вычитание — слева направо.
То есть степень «сильнее» умножения. В выражении \(2\cdot 3^2\) сначала считают \(3^2 = 9\), и только потом умножают: \(2\cdot 9 = 18\). Ответ 36 (\((2\cdot 3)^2\)) был бы неверным — скобок в записи нет.
Пример 1. Упростить выражение \(\dfrac{a^7\cdot a^5}{a^{10}}\)
В числителе — произведение степеней с одинаковым основанием, поэтому показатели складываем: \(a^7\cdot a^5 = a^{12}\). Дальше делим на \(a^{10}\), показатели вычитаем: \(a^{12} : a^{10} = a^{2}\).
Проверка при \(a = 2\): числитель \(128\cdot 32 = 4096\), знаменатель \(1024\), частное \(4096 : 1024 = 4\), и действительно \(2^2 = 4\).
Ответ: \(a^2\).
Пример 2. Вычислить \(\dfrac{(3^2)^4}{3^5\cdot 3^2}\)
Числитель — степень степени, показатели умножаем: \((3^2)^4 = 3^{8}\). Знаменатель — произведение степеней, показатели складываем: \(3^5\cdot 3^2 = 3^{7}\). Делим: \(3^{8} : 3^{7} = 3^{1} = 3\).
Прямая проверка: \(3^8 = 6561\), \(3^7 = 2187\), и \(6561 : 2187 = 3\).
Ответ: 3.
Пример 3. Вычислить \((-2)^5\cdot (-2)^3\)
Основание одинаковое, значит складываем показатели: \((-2)^5\cdot(-2)^3 = (-2)^{8}\). Показатель 8 чётный, следовательно результат положительный: \((-2)^8 = 256\).
Проверка по отдельности: \((-2)^5 = -32\), \((-2)^3 = -8\), произведение двух отрицательных \(-32\cdot(-8) = 256\).
Ответ: 256.
Пример 4. Вычислить \(3 + 2\cdot 5^2 - (-4)^2\)
Работаем строго по порядку действий. Сначала степени: \(5^2 = 25\) и \((-4)^2 = 16\) — показатель чётный, поэтому знак плюс. Выражение становится \(3 + 2\cdot 25 - 16\). Затем умножение: \(2\cdot 25 = 50\). Наконец слева направо: \(3 + 50 = 53\), далее \(53 - 16 = 37\).
Типичная ошибка здесь — прочитать \((-4)^2\) как \(-16\) и получить 21.
Ответ: 37.
Пример 5. Вычислить \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\cdot 5^3\)
По свойству степени частного \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125}\). Умножаем на \(5^3 = 125\): \(\dfrac{8}{125}\cdot 125 = 8\).
Более короткий путь — свойство степени произведения в обратном направлении: \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\cdot 5^3 = \left(\dfrac{2}{5}\cdot 5\right)^3 = 2^3 = 8\). Никаких больших чисел считать не пришлось.
Ответ: 8.
Типичные ошибки
- Умножают показатели вместо того, чтобы их складывать: \(a^m\cdot a^n \ne a^{mn}\). Правильно \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\). Числовая проверка: \(2^3\cdot 2^4 = 128\), а \(2^{12} = 4096\) — разница очевидна. Показатели умножают только в степени степени: \((a^m)^n = a^{mn}\).
- Путают \((-3)^2\) и \(-3^2\). Первое равно 9, второе — \(-9\). Скобки определяют, входит ли минус в основание. При отсутствии скобок степень выполняется первой.
- Раскрывают степень суммы почленно: \((a+b)^2 \ne a^2+b^2\). Проверка: \((3+4)^2 = 49\), а \(3^2+4^2 = 25\). Степень «распределяется» только на произведение и частное, но не на сумму и разность — для суммы нужны формулы сокращённого умножения, из которых позже вырастают квадратные уравнения.
- Умножают основание на показатель. Запись \(3^4\) означает \(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81\), а не \(3\cdot 4 = 12\). Ошибка типична для первой недели темы и исчезает после нескольких расписанных вручную примеров.
- Забывают, что \(a^1 = a\). Получив \(3^1\), школьник иногда оставляет ответ в виде степени вместо числа 3.
- Складывают показатели при разных основаниях. Выражение \(2^3\cdot 3^2\) упростить по первому свойству нельзя: основания разные. Здесь остаётся только посчитать: \(8\cdot 9 = 72\).
Вывод
Вся тема держится на пяти правилах и одном уточнении про знак. Умножаем степени с одинаковым основанием — показатели складываем; делим — вычитаем; возводим степень в степень — умножаем. Произведение и частное возводим в степень почленно, сумму — нет. Знак результата для отрицательного основания задаёт чётность показателя, а скобки решают, входит ли минус в основание вообще. Дальше эти правила работают на одночлены, многочлены и формулы сокращённого умножения — то есть на всю алгебру седьмого класса.
Если ошибки повторяются из работы в работу, дело почти всегда не в лени, а в одном конкретном месте: не различает первое свойство и третье, теряет знак, игнорирует скобки. На индивидуальных занятиях в Tutor-Math преподаватель находит именно эту точку и закрывает её адресно, а не «проходит тему заново». Увидеть, как это работает, можно на пробном занятии — там же оцениваем реальный уровень и составляем план.
Что такое основание и показатель степени?
В записи \(a^n\) число \(a\) — основание, то есть то, что умножаем; число \(n\) — показатель, то есть сколько множителей берём. Например, в \(2^5\) основание 2, показатель 5, а сама степень равна \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32\).
Почему \((-3)^2\) и \(-3^2\) дают разные ответы?
Потому что в первом случае основание степени — число \(-3\), и \((-3)^2 = (-3)\cdot(-3) = 9\). Во втором скобок нет, основание — тройка, минус применяется уже к готовому результату: \(-3^2 = -(3\cdot 3) = -9\). Правило: возведение в степень выполняют раньше, чем взятие противоположного числа, поэтому для отрицательного основания скобки обязательны.
Когда показатели степени складывают, а когда умножают?
Складывают при умножении степеней с одинаковым основанием: \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\). Умножают при возведении степени в степень: \((a^m)^n = a^{mn}\). Сравните: \(2^3\cdot 2^2 = 2^5 = 32\), а \((2^3)^2 = 2^6 = 64\). Это два разных правила, и путаница между ними — самая частая ошибка темы.
Можно ли возвести в степень сумму почленно?
Нет. Равенство \((a+b)^2 = a^2+b^2\) неверно: \((3+4)^2 = 49\), тогда как \(3^2+4^2 = 25\). Почленно в степень возводят только произведение и частное. Для суммы и разности существуют отдельные формулы сокращённого умножения, например \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
