Линейная функция и её график

Линейная функция и её график

Линейная функция — первая функция, с которой ученик встречается в 7 классе, и одновременно та, к которой алгебра будет возвращаться ещё много лет. Её ценность не в сложности (сложного здесь почти нет), а в том, что она учит видеть связь между формулой и картинкой: поменяли одно число — и прямая наклонилась или уехала вверх. На занятиях в Tutor-Math мы не начинаем с построения графиков: сначала ученик должен чётко понимать, что такое функция вообще, иначе график остаётся просто рисунком на клетках.

Что такое функция: аргумент, значение, область определения

Определение. Функцией называют зависимость, при которой каждому значению одной переменной соответствует ровно одно значение другой переменной.

Независимую переменную (ту, которую мы выбираем сами) называют аргументом и обычно обозначают \(x\). Зависимую переменную — значением функции, её обозначают \(y\) или \(f(x)\). Запись \(f(3) = 5\) читается так: «при аргументе, равном \(3\), функция принимает значение \(5\)».

Слова «ровно одно» — не формальность. Если какому-то \(x\) соответствуют два разных \(y\), это уже не функция. Именно поэтому вертикальная прямая графиком функции не является.

Определение. Областью определения функции называют множество всех значений аргумента, при которых функцию можно вычислить. Обозначают \(D(f)\).

У линейной функции область определения — все числа: в выражение \(kx + b\) можно подставить любое \(x\). Ограничения появятся позже, когда в формуле возникнет знаменатель или корень.

Линейная функция: определение и смысл коэффициентов

Определение. Линейной называют функцию, которую можно задать формулой \(y = kx + b\), где \(x\) — аргумент, а \(k\) и \(b\) — заданные числа.

\[ y = kx + b \]

Число \(k\) называют угловым коэффициентом, число \(b\) — свободным членом. У каждого из них вполне наглядный смысл:

• \(b\) показывает, на какой высоте график пересекает ось \(Oy\). Действительно, при \(x = 0\) получаем \(y = k \cdot 0 + b = b\). То есть график всегда проходит через точку \((0;\ b)\).
• \(k\) отвечает за наклон. Если увеличить \(x\) на единицу, значение \(y\) изменится ровно на \(k\). Поэтому \(k\) ещё называют скоростью роста функции.

Главное свойство. Графиком линейной функции \(y = kx + b\) является прямая.

Это утверждение в 7 классе принимают без доказательства, но пользуются им постоянно — именно оно делает построение таким быстрым.

Как \(k\) влияет на поведение прямой

Три случая, которые нужно различать мгновенно, ещё до всяких вычислений:

• \(k > 0\) — функция возрастает. Чем больше \(x\), тем больше \(y\); прямая поднимается слева направо.
• \(k < 0\) — функция убывает. Чем больше \(x\), тем меньше \(y\); прямая опускается слева направо.
• \(k = 0\) — формула превращается в \(y = b\). Значение не зависит от аргумента, график — горизонтальная прямая. Такую функцию называют постоянной.

Величина \(|k|\) отвечает за крутизну: прямая \(y = 5x\) значительно круче, чем \(y = 0{,}2x\), хотя обе возрастают. Коэффициент \(b\) на наклон не влияет — он лишь поднимает или опускает всю прямую параллельно самой себе.

Построение графика по двум точкам

Через две различные точки можно провести ровно одну прямую. Поскольку график линейной функции — прямая, для построения достаточно двух точек. Порядок действий:

• Шаг 1. Выбрать два удобных значения \(x\) — такие, чтобы \(y\) получилось целым. Чаще всего берут \(x = 0\) и ещё одно число.
• Шаг 2. Вычислить соответствующие значения \(y\) по формуле и записать их в таблицу.
• Шаг 3. Отметить обе точки на координатной плоскости.
• Шаг 4. Провести через них прямую по линейке, продолжив в обе стороны за пределы точек.
• Шаг 5. Взять третью точку и проверить, лежит ли она на построенной прямой. Это страховка от ошибки в вычислениях.

Шаг 5 пропускают почти все — и напрасно. Две точки соединятся прямой всегда, даже если одна из них посчитана неверно; третья точка обнаруживает ошибку сразу.

Пример 1. Построить график функции \(y = 2x - 3\)

Здесь \(k = 2 > 0\), значит функция возрастает; \(b = -3\), значит прямая пересекает ось \(Oy\) в точке \(-3\).

Выбираем два значения аргумента: \(x = 0\) и \(x = 3\).

При \(x = 0\): \(y = 2 \cdot 0 - 3 = -3\), получаем точку \((0;\ -3)\).

При \(x = 3\): \(y = 2 \cdot 3 - 3 = 3\), получаем точку \((3;\ 3)\).

Проводим прямую через \((0;\ -3)\) и \((3;\ 3)\). Проверка третьей точкой: при \(x = 1\) имеем \(y = 2 \cdot 1 - 3 = -1\), и точка \((1;\ -1)\) действительно лежит на построенной прямой.

Ответ: прямая, проходящая через точки \((0;\ -3)\) и \((3;\ 3)\).

Точки пересечения с осями координат

Это два разных вопроса, которые часто путают:

• Пересечение с осью \(Oy\). На этой оси \(x = 0\), поэтому \(y = b\). Точка \((0;\ b)\), и искать ничего не нужно — \(b\) видно в формуле.
• Пересечение с осью \(Ox\). На этой оси \(y = 0\), поэтому надо решить уравнение \(kx + b = 0\). Получающееся значение \(x\) называют нулём функции.

Пример 2. Найти точки пересечения графика \(y = 2x - 3\) с осями

С осью \(Oy\): подставляем \(x = 0\), сразу получаем \(y = -3\). Точка \((0;\ -3)\).

С осью \(Ox\): решаем линейное уравнение \(2x - 3 = 0\), откуда \(2x = 3\) и \(x = 1{,}5\). Точка \((1{,}5;\ 0)\).

Проверка: \(2 \cdot 1{,}5 - 3 = 3 - 3 = 0\) — верно.

Ответ: \((0;\ -3)\) и \((1{,}5;\ 0)\).

Пример 3. Исследовать функцию \(y = -\dfrac{1}{2}x + 4\)

Угловой коэффициент \(k = -\dfrac{1}{2} < 0\), значит функция убывает. Свободный член \(b = 4\).

Составим таблицу значений, выбирая чётные \(x\), чтобы не получить дробей. При \(x = -2\): \(y = -\dfrac{1}{2} \cdot (-2) + 4 = 1 + 4 = 5\). При \(x = 0\): \(y = 4\). При \(x = 4\): \(y = -\dfrac{1}{2} \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2\).

Видно, что с ростом \(x\) значения \(y\) действительно уменьшаются: \(5 \to 4 \to 2\). Нуль функции: \(-\dfrac{1}{2}x + 4 = 0\), откуда \(\dfrac{1}{2}x = 4\) и \(x = 8\). Проверка: \(-\dfrac{1}{2} \cdot 8 + 4 = -4 + 4 = 0\).

Ответ: функция убывает; график проходит через \((0;\ 4)\) и \((8;\ 0)\).

Прямая пропорциональность — частный случай

Определение. Прямой пропорциональностью называют функцию вида \(y = kx\), где \(k \neq 0\). Это линейная функция, у которой \(b = 0\).

Поскольку \(b = 0\), график пересекает ось \(Oy\) в точке \(0\), то есть проходит через начало координат. Это даёт экономию: для построения достаточно одной дополнительной точки, ведь точка \((0;\ 0)\) известна заранее.

По смыслу \(y = kx\) означает, что при увеличении \(x\) в несколько раз во столько же раз увеличивается \(y\). Именно такую зависимость описывает пропорция: удвоили количество — удвоилась стоимость.

Пример 4. График прямой пропорциональности проходит через точку \((3;\ -12)\). Найти \(k\) и вычислить \(y\) при \(x = -2\)

Раз это прямая пропорциональность, формула имеет вид \(y = kx\). Точка лежит на графике, значит её координаты удовлетворяют формуле:

\[ -12 = k \cdot 3 \quad \Longrightarrow \quad k = -4 \]

Проверка: \(-4 \cdot 3 = -12\) — верно. Формула функции: \(y = -4x\). Теперь подставляем \(x = -2\):

\[ y = -4 \cdot (-2) = 8 \]

Ответ: \(k = -4\), функция \(y = -4x\), при \(x = -2\) значение \(y = 8\).

Как найти \(k\) и \(b\) по двум заданным точкам

Если график проходит через точку, то координаты этой точки обращают формулу в верное равенство. Две точки дают два равенства — то есть систему двух уравнений с неизвестными \(k\) и \(b\). Удобнее всего решать её способом вычитания: после него \(b\) исчезает сам собой.

Пример 5. График линейной функции проходит через точки \(A(-2;\ 1)\) и \(B(4;\ 10)\). Задать функцию формулой

Подставляем координаты каждой точки в \(y = kx + b\):

\[ \begin{cases} -2k + b = 1 \\ 4k + b = 10 \end{cases} \]

Вычитаем первое уравнение из второго. Слагаемые с \(b\) взаимно уничтожаются:

\[ 4k - (-2k) = 10 - 1 \quad \Longrightarrow \quad 6k = 9 \quad \Longrightarrow \quad k = 1{,}5 \]

Подставляем \(k = 1{,}5\) в первое уравнение: \(-2 \cdot 1{,}5 + b = 1\), то есть \(-3 + b = 1\), откуда \(b = 4\).

Проверка обеих точек: \(1{,}5 \cdot (-2) + 4 = -3 + 4 = 1\) — точка \(A\) подходит; \(1{,}5 \cdot 4 + 4 = 6 + 4 = 10\) — точка \(B\) тоже.

Ответ: \(y = 1{,}5x + 4\).

Взаимное расположение двух прямых

При сравнении двух линейных функций \(y = k_1x + b_1\) и \(y = k_2x + b_2\) ответ даёт только сравнение коэффициентов:

• \(k_1 = k_2\) и \(b_1 \neq b_2\) — прямые параллельны. Наклон одинаковый, высота разная, общих точек нет.
• \(k_1 = k_2\) и \(b_1 = b_2\) — это одна и та же прямая (функции совпадают).
• \(k_1 \neq k_2\) — прямые пересекаются ровно в одной точке.

Чтобы найти точку пересечения, приравнивают правые части: в общей точке значения обеих функций одинаковы.

Пример 6. Исследовать взаимное расположение прямых \(y = 3x - 5\), \(y = 3x + 2\) и \(y = -x + 7\)

Первые две функции имеют одинаковый угловой коэффициент \(k = 3\), но разные свободные члены (\(-5\) и \(2\)). Значит, эти прямые параллельны и не пересекаются.

У третьей функции \(k = -1 \neq 3\), поэтому она пересекает каждую из двух первых. Найдём точку пересечения \(y = 3x - 5\) и \(y = -x + 7\):

\[ 3x - 5 = -x + 7 \quad \Longrightarrow \quad 4x = 12 \quad \Longrightarrow \quad x = 3 \]

Вычисляем \(y\) по любой из формул: \(y = 3 \cdot 3 - 5 = 4\). Проверка по второй формуле: \(y = -3 + 7 = 4\) — совпало.

Ответ: \(y = 3x - 5\) и \(y = 3x + 2\) параллельны; \(y = 3x - 5\) и \(y = -x + 7\) пересекаются в точке \((3;\ 4)\).

Типичные ошибки

• Путают, за что отвечает \(k\), а за что \(b\). \(b\) — это то, что остаётся при \(x = 0\), то есть высота пересечения с осью \(Oy\); \(k\) — наклон.
• Чертят прямую от руки. Точность теряется именно здесь: две аккуратные точки и линейка дают лучший результат, чем пять точек на глаз.
• Выбирают неудобные значения аргумента. Для \(y = -\dfrac{1}{2}x + 4\) подстановка \(x = 1\) даёт дробное \(y\). Значения нужно подбирать так, чтобы \(y\) получилось целым.
• Ища пересечение с осью \(Ox\), приравнивают к нулю \(x\) вместо \(y\). На оси \(Ox\) нулю равна именно ордината, поэтому решают \(kx + b = 0\).
• Считают, что при \(k < 0\) график лежит ниже оси \(Ox\). Знак \(k\) определяет только направление наклона: прямая \(y = -2x + 100\) убывает, но при малых \(x\) проходит очень высоко.
• Ошибка знака при подстановке отрицательной координаты. В примере 4 запись \(-4 \cdot (-2)\) даёт \(+8\), а не \(-8\).
• Путают параллельность с равенством прямых. Если совпали и \(k\), и \(b\) — это не две параллельные прямые, а одна.

Вывод

Линейная функция \(y = kx + b\) — фундамент всей школьной темы функций. Достаточно уверенно понимать смысл двух коэффициентов, уметь строить прямую по двум точкам и переходить от графика к формуле и обратно. Дальше эти же навыки работают в квадратичной функции, в графическом решении систем и в задачах по физике о равномерном движении.

Если графики пока «не читаются», а задания на поиск \(k\) и \(b\) вызывают ступор — это почти всегда вопрос нескольких разобранных примеров под присмотром преподавателя. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: на нём мы выясним, где именно разорвалась логическая цепочка, и составим план, как её восстановить.

Чем линейная функция отличается от линейного уравнения?

У уравнения \(2x - 3 = 0\) единственный вопрос: при каком \(x\) равенство верно. Функция \(y = 2x - 3\) описывает целую зависимость — для каждого \(x\) своё \(y\). Связь между ними прямая: корень уравнения \(2x - 3 = 0\) — это абсцисса точки, где график функции пересекает ось \(Ox\).

Сколько точек нужно для построения графика?

Минимум две, потому что через две различные точки проходит ровно одна прямая. Но третью точку стоит вычислить и нанести как проверку: если она не легла на прямую, где-то есть арифметическая ошибка.

Является ли \(y = 5\) линейной функцией?

Да. Это случай \(k = 0\), \(b = 5\), то есть \(y = 0 \cdot x + 5\). График — горизонтальная прямая на высоте \(5\). А вот \(x = 5\) функцией не является: это вертикальная прямая, где одному значению \(x\) соответствует бесконечно много значений \(y\).

Как без построения понять, пересекаются ли две прямые?

Сравнить угловые коэффициенты. Если \(k\) разные — прямые обязательно пересекаются, причём ровно в одной точке. Если \(k\) одинаковые, а \(b\) разные — прямые параллельны. Если совпадают оба коэффициента — это одна прямая.