Системы линейных уравнений: подстановка и сложение
До сих пор уравнения имели одно неизвестное и один ответ — число. В теме систем всё меняется: неизвестных два, уравнений тоже два, а ответом становится пара чисел. Именно здесь ученики чаще всего «теряются»: находят \(x\), радуются и останавливаются, забыв про \(y\). На занятиях в Tutor-Math мы сразу приучаем записывать ответ парой и подставлять её в оба уравнения — эта привычка снимает большинство ошибок ещё до контрольной.
Что такое система и что является её решением
Определение. Системой двух линейных уравнений с двумя переменными называют запись вида \[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \] где \(x\) и \(y\) — переменные, а \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) — заданные числа.
Фигурная скобка — не украшение. Она означает слово «и»: оба равенства должны выполняться одновременно, при одних и тех же значениях \(x\) и \(y\).
Определение. Решением системы называют пару чисел \((x_0;\, y_0)\), которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство. Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.
Проверим на примере системы \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \] Пара \((4;\,1)\) удовлетворяет первому уравнению: \(4 + 1 = 5\). Но во втором \(4 - 1 = 3 \neq 1\). Значит, \((4;\,1)\) не является решением системы, хотя и «подходит наполовину». А пара \((3;\,2)\) даёт \(3 + 2 = 5\) и \(3 - 2 = 1\) — оба равенства верны, это и есть решение.
Запомните порядок записи: в паре \((x;\,y)\) первым всегда стоит \(x\). Ответ \((3;\,2)\) и ответ \((2;\,3)\) — разные ответы, и верен лишь один из них. Если основы работы с одним уравнением ещё неустойчивы, стоит повторить линейные уравнения: система решается сведением именно к ним.
Метод подстановки
Идея метода проста: превратить систему с двумя неизвестными в одно уравнение с одним неизвестным. Для этого из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение во второе уравнение.
- Шаг 1. Выбрать уравнение и переменную, которую удобно выразить. Удобнее всего ту, коэффициент при которой равен \(1\) или \(-1\): не появятся дроби.
- Шаг 2. Выразить эту переменную через вторую.
- Шаг 3. Подставить полученное выражение во второе уравнение (не в то же самое, из которого выражали, — иначе получится тождество \(0 = 0\)).
- Шаг 4. Решить уравнение с одной переменной.
- Шаг 5. Подставить найденное число в выражение из шага 2 и найти вторую переменную.
- Шаг 6. Проверить пару в обоих исходных уравнениях и записать ответ парой.
Пример 1. Подстановка, когда переменная уже выражена
Решить систему: \[ \begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} \]
Первое уравнение уже даёт \(y\) через \(x\), поэтому шаг 2 пропускаем. Подставляем \(y = 2x - 3\) во второе уравнение:
\[ 3x + 2(2x - 3) = 8 \] \[ 3x + 4x - 6 = 8 \] \[ 7x = 14 \quad \Longrightarrow \quad x = 2 \]Теперь \(y = 2 \cdot 2 - 3 = 1\).
Проверка в обоих уравнениях. Первое: \(y = 1\), а \(2 \cdot 2 - 3 = 1\) — верно. Второе: \(3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 6 + 2 = 8\) — верно.
Ответ: \((2;\,1)\).
Пример 2. Подстановка с предварительным выражением
Решить систему: \[ \begin{cases} x - 3y = 5 \\ 2x + 5y = 21 \end{cases} \]
В первом уравнении коэффициент при \(x\) равен \(1\) — выражаем именно \(x\):
\[ x = 5 + 3y \]Подставляем во второе уравнение:
\[ 2(5 + 3y) + 5y = 21 \] \[ 10 + 6y + 5y = 21 \] \[ 11y = 11 \quad \Longrightarrow \quad y = 1 \]Тогда \(x = 5 + 3 \cdot 1 = 8\).
Проверка. Первое уравнение: \(8 - 3 \cdot 1 = 5\) — верно. Второе: \(2 \cdot 8 + 5 \cdot 1 = 16 + 5 = 21\) — верно.
Ответ: \((8;\,1)\).
Метод сложения (алгебраического сложения)
Второй метод опирается на свойство: если левые части двух верных равенств сложить и правые части сложить, равенство сохранится. Цель та же — убрать одну переменную, но уже не подстановкой, а взаимным уничтожением слагаемых.
Правило. Если коэффициенты при одной из переменных в двух уравнениях противоположны, то после почленного сложения уравнений эта переменная исчезает.
- Шаг 1. Выбрать переменную, которую убираем.
- Шаг 2. Домножить одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при этой переменной стали противоположными.
- Шаг 3. Сложить уравнения почленно — останется одно уравнение с одной переменной.
- Шаг 4. Решить его, подставить результат в любое из исходных уравнений и найти вторую переменную.
- Шаг 5. Проверить пару в обоих уравнениях.
Умножение всего уравнения на число означает умножение каждого слагаемого, включая правую часть. Это самый частый источник ошибок в методе сложения.
Пример 3. Сложение без подготовки
Решить систему: \[ \begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 5x - 4y = 6 \end{cases} \]
Коэффициенты при \(y\) уже противоположны: \(4\) и \(-4\). Складываем уравнения почленно:
\[ (3x + 5x) + (4y - 4y) = 10 + 6 \] \[ 8x = 16 \quad \Longrightarrow \quad x = 2 \]Подставляем \(x = 2\) в первое уравнение: \(3 \cdot 2 + 4y = 10\), отсюда \(4y = 4\) и \(y = 1\).
Проверка. Первое: \(3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 10\) — верно. Второе: \(5 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 10 - 4 = 6\) — верно.
Ответ: \((2;\,1)\).
Пример 4. Сложение с домножением обоих уравнений
Решить систему: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ 5x - 2y = 21 \end{cases} \]
Будем убирать \(y\). Коэффициенты при нём — \(3\) и \(-2\), наименьшее общее кратное модулей равно \(6\). Домножим первое уравнение на \(2\), а второе — на \(3\):
\[ \begin{cases} 4x + 6y = 32 \\ 15x - 6y = 63 \end{cases} \]Складываем:
\[ 19x = 95 \quad \Longrightarrow \quad x = 5 \]Подставляем в исходное первое уравнение: \(2 \cdot 5 + 3y = 16\), отсюда \(3y = 6\) и \(y = 2\).
Проверка. Первое: \(2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 10 + 6 = 16\) — верно. Второе: \(5 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 25 - 4 = 21\) — верно.
Ответ: \((5;\,2)\).
Графический метод и геометрический смысл
Каждое уравнение \(ax + by = c\) (при условии, что \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно) задаёт на координатной плоскости прямую. Если выразить \(y\), получим привычную линейную функцию \(y = kx + m\). Точки этой прямой — и есть все пары, удовлетворяющие уравнению.
Решение системы — это общая точка двух прямых. Её координаты \((x_0;\,y_0)\) удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.
Например, в системе \(x + y = 5\) и \(x - y = 1\) первое уравнение даёт прямую \(y = -x + 5\), второе — прямую \(y = x - 1\). Они пересекаются в точке \((3;\,2)\) — это и есть решение.
Графический метод отлично объясняет суть, но как рабочий инструмент он слаб: если решение равно, скажем, \(\left(\tfrac{7}{11};\, -\tfrac{4}{11}\right)\), по чертежу его не прочитать. Поэтому график используют для понимания и проверки, а вычисляют подстановкой или сложением.
Три случая: сколько решений имеет система
Две прямые на плоскости могут расположиться лишь тремя способами, и каждому соответствует свой тип ответа.
Для системы \(a_1x + b_1y = c_1\), \(a_2x + b_2y = c_2\) (все коэффициенты ненулевые):
- \(\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}\) — прямые пересекаются, решение единственное;
- \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\) — прямые совпадают, решений бесконечно много;
- \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}\) — прямые параллельны, решений нет.
Логика проста: равенство \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\) означает, что левые части пропорциональны, то есть угловые коэффициенты прямых одинаковы. Дальше решает свободный член: если он в той же пропорции — это одна и та же прямая, записанная дважды; если нет — прямые параллельны и общих точек не имеют.
Ту же картину видно и без коэффициентов — просто по ходу решения. Если в процессе обе переменные исчезают, смотрите на оставшееся числовое равенство: верное (\(0 = 0\)) — решений бесконечно много, неверное (\(0 = 4\)) — решений нет.
Пример 5. Распознать случай и доказать его
а) Система \[ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \]
Проверяем отношения: \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \(\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\), \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Все три одинаковы — прямые совпадают. Действительно, второе уравнение — это первое, умноженное на \(2\). Выразим \(y = 2x - 3\): любая пара такого вида является решением, например \((0;\,-3)\) и \((1;\,-1)\). Проверим \((0;\,-3)\) во втором уравнении: \(4 \cdot 0 - 2 \cdot (-3) = 6\) — верно.
Ответ: бесконечно много решений, все пары вида \((x;\, 2x - 3)\).
б) Система \[ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 10 \end{cases} \]
Здесь \(\frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\), но \(\frac{3}{10} \neq \frac{1}{2}\) — прямые параллельны. Убедимся вычислением: умножим первое уравнение на \(-2\) и прибавим ко второму:
\[ (-4x + 2y) + (4x - 2y) = -6 + 10 \] \[ 0 = 4 \]Получили неверное равенство — ни одна пара чисел не может удовлетворить оба уравнения.
Ответ: решений нет.
Пример 6. Текстовая задача
В копилке лежат монеты по 2 грн и по 5 грн — всего 26 монет на сумму 88 грн. Сколько монет каждого номинала?
Обозначим через \(x\) количество двухгривневых монет, через \(y\) — количество пятигривневых. Количество монет даёт первое уравнение, сумма — второе:
\[ \begin{cases} x + y = 26 \\ 2x + 5y = 88 \end{cases} \]Решим сложением: домножим первое уравнение на \(-2\) и прибавим ко второму:
\[ (-2x - 2y) + (2x + 5y) = -52 + 88 \] \[ 3y = 36 \quad \Longrightarrow \quad y = 12 \]Тогда \(x = 26 - 12 = 14\).
Проверка. Первое уравнение: \(14 + 12 = 26\) — верно. Второе: \(2 \cdot 14 + 5 \cdot 12 = 28 + 60 = 88\) — верно. Оба числа целые и положительные, значит, задача имеет смысл.
Ответ: \(14\) монет по 2 грн и \(12\) монет по 5 грн.
Типичные ошибки
- Найти \(x\) и остановиться. Ответ системы — пара чисел. Решение без второй координаты не засчитывают.
- Перепутать порядок в паре. \((8;\,1)\) и \((1;\,8)\) — разные ответы. Первой пишут ту переменную, которая стоит первой в условии, обычно \(x\).
- Подставить выражение в то же уравнение, из которого его получили. Выходит тождество \(0 = 0\), и никакой новой информации.
- Домножить уравнение не полностью. Умножать надо каждое слагаемое и правую часть тоже: из \(2x + 3y = 16\) после умножения на \(2\) получается \(4x + 6y = 32\), а не \(4x + 6y = 16\).
- Потерять знак при сложении отрицательных коэффициентов. Надёжнее всего выписать преобразованные уравнения одно под другим и складывать столбиками. Если действия со знаками ещё даются тяжело, вернитесь к теме отрицательных чисел и модуля.
- Увидеть \(0 = 0\) и написать «решений нет». Всё наоборот: \(0 = 0\) — решений бесконечно много, а неверное равенство вроде \(0 = 4\) — решений нет.
- Проверять ответ только в одном уравнении. Пара \((4;\,1)\) удовлетворяет \(x + y = 5\), но это ничего не доказывает, пока не проверено второе уравнение.
- Игнорировать смысл текстовой задачи. Если искали количество монет, а вышло \(y = 12{,}5\), ответ надо не округлять, а искать ошибку в составлении системы.
Вывод
Системы линейных уравнений — тема, где важнее дисциплина записи, чем сложность вычислений. Два метода покрывают все школьные задачи: подстановка удобна, когда какой-то коэффициент равен \(1\) или \(-1\); сложение — когда коэффициенты «неудобные» и проще уравнять их домножением. Оба метода заканчиваются одинаково: пара чисел и проверка в обоих уравнениях. Дальше эта техника понадобится в квадратных уравнениях и в задачах на движение и смеси, где система — стандартный способ перевести условие на язык алгебры.
Если системы пока путаются — разобраться быстрее с преподавателем, чем самостоятельно. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: за одну встречу видно, где именно ломается логика — в выражении переменной, в знаках или в трёх случаях.
Какой метод выбирать — подстановку или сложение?
Смотрите на коэффициенты. Если в каком-то уравнении при \(x\) или \(y\) стоит \(1\) или \(-1\), быстрее будет подстановка — дроби не появятся. Если же все коэффициенты «тяжёлые» (например, \(3\) и \(5\)), удобнее метод сложения: домножили оба уравнения — и одна переменная исчезла. Оба метода дают одинаковый ответ, так что ошибки в выборе быть не может — только разница в количестве действий.
Может ли система линейных уравнений иметь ровно два решения?
Нет. Две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо совпадают, либо параллельны. Поэтому возможны лишь три ответа: одно решение, бесконечно много, ни одного. Ровно два решения для системы линейных уравнений невозможны.
Как записывать ответ, когда решений бесконечно много?
Нельзя писать просто «множество». Надо указать вид всех решений: выразить одну переменную через другую и записать, например, «все пары вида \((x;\, 2x - 3)\), где \(x\) — любое число». Такая запись показывает, что вы понимаете: решений бесконечно много, но не любых, а только тех, что лежат на этой прямой.
Зачем проверять пару в обоих уравнениях, если вычисления были верными?
Потому что именно проверка выявляет незамеченную ошибку. Типичная ситуация: при подстановке потерялся знак, и полученная пара удовлетворяет одно уравнение, но не второе. Проверка занимает пятнадцать секунд и гарантирует, что ответ верный — независимо от того, насколько запутанными были преобразования.
