Неравенства и числовые промежутки

Неравенства и числовые промежутки

Неравенства — тема 9 класса, в которой техника почти та же, что и в уравнениях, но одна деталь переворачивает всё: умножение или деление на отрицательное число меняет знак неравенства. Именно на этом месте теряют баллы на экзамене даже те ученики, которые уравнения решают безупречно. Вторая часть темы — числовые промежутки: научиться записывать ответ не словами, а стандартным обозначением и видеть его на числовой прямой. На занятиях в Tutor-Math мы отрабатываем эти две вещи отдельно, потому что и ошибки в них разные по природе.

Что такое неравенство с переменной

Определение. Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство вида \(ax + b > 0\) (или со знаками \(<\), \(\geq\), \(\leq\)), где \(x\) — переменная, а \(a\) и \(b\) — заданные числа.

Знаки \(>\) и \(<\) называют строгими, знаки \(\geq\) и \(\leq\) — нестрогими. Разница не косметическая: в нестрогом неравенстве сама граница входит в ответ, в строгом — нет. Отсюда и берётся разница между круглой и квадратной скобкой, о которой пойдёт речь ниже.

Определение. Решением неравенства называют любое значение переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения.

Вот первое принципиальное отличие от линейных уравнений: уравнение обычно имеет один корень, а неравенство — бесконечное множество решений. Поэтому и ответ выглядит иначе: не одно число, а целый промежуток числовой прямой.

Свойства числовых неравенств

Решение неравенства — цепочка замен на равносильное, более простое. Разрешённые замены описывают три свойства.

Свойство 1. К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число (или вычесть его) — знак неравенства не меняется. Если \(a > b\), то \(a + c > b + c\).

Следствие — привычное правило переноса: слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Знак самого неравенства при этом остаётся прежним.

Свойство 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число — знак неравенства не меняется. Если \(a > b\) и \(c > 0\), то \(ac > bc\).

Свойство 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства меняется на противоположный. Если \(a > b\) и \(c < 0\), то \(ac < bc\).

Главное правило темы: знак отрицательного множителя

Третье свойство стоит вынести отдельно — это источник примерно половины всех ошибок в теме. Проверим его на конкретных числах, а не на буквах.

Возьмём верное неравенство \(5 > 2\) и умножим обе части на \(-3\). Если бы знак сохранялся, мы получили бы \(-15 > -6\) — а это неправда, потому что \(-15\) лежит на числовой прямой левее, чем \(-6\). Правильный результат: \(-15 < -6\), знак перевернулся.

Причина геометрическая: умножение на отрицательное зеркально отражает числовую прямую относительно нуля, и то, что было правее, становится левее. Если расположение отрицательных чисел ещё путается, вернитесь к статье про отрицательные числа и модуль.

Запомнить. Делим на \(-4\) — знак \(\geq\) становится \(\leq\). Умножаем на \(-1\) — знак \(<\) становится \(>\). Прибавляем или вычитаем любое число, даже отрицательное, — знак не трогаем.

Правило касается только умножения и деления: перенос слагаемого \(-8\) в другую часть знак неравенства не переворачивает.

Алгоритм решения линейного неравенства

• Шаг 1. Если есть дроби — умножить обе части на общий знаменатель (он положительный, поэтому знак не меняется).
• Шаг 2. Раскрыть скобки, следя за знаком перед скобкой.
• Шаг 3. Слагаемые с переменной перенести в одну часть, числа — в другую, меняя знак каждого перенесённого слагаемого.
• Шаг 4. Привести подобные. Неравенство примет вид \(ax > c\) (или с другим знаком).
• Шаг 5. Разделить обе части на \(a\). Если \(a < 0\) — перевернуть знак неравенства.
• Шаг 6. Записать ответ в виде числового промежутка и проверить его подстановкой контрольного числа.

Шаг 6 — не формальность, а самая дешёвая страховка. Возьмите любое число из полученного промежутка, подставьте в исходное неравенство и убедитесь, что оно верно. Затем возьмите число снаружи промежутка — неравенство должно стать неверным. Две подстановки ловят и потерянный знак, и перевёрнутый не в ту сторону.

Числовые промежутки: обозначение и изображение

Ответ к неравенству удобно записывать не словами, а промежутком. Всё обозначение держится на одном правиле.

Правило скобок. Квадратная скобка означает, что граница входит в промежуток (нестрогий знак \(\leq\), \(\geq\)). Круглая скобка означает, что граница не входит (строгий знак \(<\), \(>\)). Рядом с бесконечностью \(\infty\) скобка всегда круглая.

На числовой прямой то же самое показывают точками: закрашенная точка — граница входит (квадратная скобка), пустая (выколотая) точка — не входит (круглая скобка). Сам промежуток штрихуют.

Основные виды промежутков для \(a < b\):

• Отрезок \([a;\,b]\) — множество чисел \(x\), для которых \(a \leq x \leq b\). Обе границы входят, обе точки закрашены.
• Интервал \((a;\,b)\) — множество чисел \(x\), для которых \(a < x < b\). Ни одна граница не входит, обе точки выколоты.
• Полуинтервал \([a;\,b)\) — это \(a \leq x < b\); и \((a;\,b]\) — это \(a < x \leq b\). Одна граница входит, вторая нет.
• Луч \([a;\,+\infty)\) — это \(x \geq a\); \((-\infty;\,b]\) — это \(x \leq b\). Говорят также «числовой луч».
• Открытый луч \((a;\,+\infty)\) — это \(x > a\); \((-\infty;\,b)\) — это \(x < b\).
• Вся прямая \((-\infty;\,+\infty)\) — любое действительное число.

Как перевести ответ в промежуток. Смотрим, куда «смотрит» знак. \(x > 4\) — числа правее \(4\), граница не входит: \((4;\,+\infty)\). \(x \leq -2\) — числа левее \(-2\), граница входит: \((-\infty;\,-2]\).

Порядок записи всегда от меньшего к большему: сначала левая граница, потом правая. Запись \((+\infty;\,4)\) смысла не имеет.

Примеры с решением

Пример 1. Базовое неравенство. Решить \(5x - 3 > 2x + 9\).

Переносим \(2x\) влево, \(-3\) вправо:

\[ 5x - 2x > 9 + 3 \] \[ 3x > 12 \]

Делим на \(3\). Число положительное, поэтому знак сохраняется:

\[ x > 4 \]

Проверка. Возьмём \(x = 5\) из промежутка: слева \(5 \cdot 5 - 3 = 22\), справа \(2 \cdot 5 + 9 = 19\), и \(22 > 19\) — верно. Возьмём \(x = 3\) снаружи: слева \(12\), справа \(15\), и \(12 > 15\) — неверно, как и должно быть. Граница \(x = 4\) даёт \(17\) и \(17\) — равенство, поэтому \(4\) не входит.

Ответ: \(x \in (4;\,+\infty)\).

Пример 2. Деление на отрицательное число. Решить \(7 - 4x \geq 15\).

Переносим \(7\) вправо:

\[ -4x \geq 15 - 7 \] \[ -4x \geq 8 \]

Теперь делим обе части на \(-4\). Число отрицательное, поэтому знак \(\geq\) становится \(\leq\):

\[ x \leq -2 \]

Проверка. При \(x = -3\): \(7 - 4 \cdot (-3) = 19 \geq 15\) — верно. При \(x = 0\): \(7 \geq 15\) — неверно. Граница \(x = -2\) даёт \(7 + 8 = 15\), а \(15 \geq 15\) верно, поэтому \(-2\) входит в ответ и скобка квадратная.

Ответ: \(x \in (-\infty;\,-2]\).

Пример 3. Неравенство со скобками. Решить \(3(x - 2) - 5 < 2(x + 4)\).

\[ 3x - 6 - 5 < 2x + 8 \] \[ 3x - 11 < 2x + 8 \] \[ 3x - 2x < 8 + 11 \] \[ x < 19 \]

Делить здесь не пришлось, коэффициент при \(x\) уже равен \(1\). Проверка при \(x = 18\): слева \(3 \cdot 16 - 5 = 43\), справа \(2 \cdot 22 = 44\), и \(43 < 44\) — верно. При \(x = 19\) обе части равны \(46\), равенство — значит, граница не входит.

Ответ: \(x \in (-\infty;\,19)\).

Пример 4. Дробные коэффициенты. Решить \(\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{4} \geq \dfrac{1}{2}\).

Наименьший общий знаменатель чисел \(3\), \(4\) и \(2\) равен \(12\). Умножаем на \(12\) каждое слагаемое обеих частей. Число \(12\) положительное — знак неравенства не меняется:

\[ 4(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 6 \] \[ 8x - 4 - 3x - 6 \geq 6 \] \[ 5x - 10 \geq 6 \] \[ 5x \geq 16 \] \[ x \geq \frac{16}{5} = 3{,}2 \]

Проверка при \(x = 4\): \(\dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{4} = \dfrac{5}{6}\), а \(\dfrac{5}{6} \geq \dfrac{1}{2}\) — верно. При \(x = 3\): \(\dfrac{5}{3} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{12}\), и \(\dfrac{5}{12} \geq \dfrac{1}{2}\) — неверно. На границе \(x = 3{,}2\) левая часть равна ровно \(\dfrac{1}{2}\), поэтому граница входит. Если действия с дробями тормозят, стоит повторить обыкновенные дроби.

Ответ: \(x \in [3{,}2;\,+\infty)\).

Пример 5. Знак переворачивается на шаге деления. Решить \(-2(x - 3) > 5x - 8\).

\[ -2x + 6 > 5x - 8 \] \[ -2x - 5x > -8 - 6 \] \[ -7x > -14 \]

Делим на \(-7\) и переворачиваем знак:

\[ x < 2 \]

Здесь легко сделать двойную ошибку: сначала забыть перевернуть знак, а потом ещё и неправильно разделить \(-14\) на \(-7\). Правильно: \(-14 : (-7) = 2\), знак \(>\) становится \(<\). Проверка при \(x = 1\): слева \(-2 \cdot (-2) = 4\), справа \(5 - 8 = -3\), и \(4 > -3\) — верно. При \(x = 3\): слева \(0\), справа \(7\), и \(0 > 7\) — неверно. При \(x = 2\) обе части равны \(2\), то есть равенство — граница не входит.

Ответ: \(x \in (-\infty;\,2)\).

Пример 6. Двойное неравенство и целые решения. Решить \(-3 < \dfrac{2x - 1}{3} \leq 1\) и указать все целые решения.

Умножаем на \(3\) все три части сразу (число положительное, знаки сохраняются):

\[ -9 < 2x - 1 \leq 3 \]

Прибавляем \(1\) ко всем трём частям:

\[ -8 < 2x \leq 4 \]

Делим все три части на \(2\):

\[ -4 < x \leq 2 \]

Левая граница со строгим знаком — круглая скобка, правая с нестрогим — квадратная. Получили полуинтервал \((-4;\,2]\). Проверка границ: при \(x = -4\) средняя часть равна \(\dfrac{-9}{3} = -3\), а \(-3 < -3\) неверно — \(-4\) не входит. При \(x = 2\) средняя часть равна \(\dfrac{3}{3} = 1\), а \(1 \leq 1\) верно — \(2\) входит. Целые числа из промежутка \((-4;\,2]\): \(-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\) — всего шесть.

Ответ: \(x \in (-4;\,2]\); целые решения: \(-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\).

Типичные ошибки

• Не перевернули знак при делении на отрицательное. Из \(-4x \geq 8\) пишут \(x \geq -2\) вместо правильного \(x \leq -2\). Это ошибка номер один в теме. Контроль прост: подставьте \(x = 0\) в исходное неравенство \(7 - 4x \geq 15\) — получим \(7 \geq 15\), неправда, значит ноль в ответ входить не должен, а в записи \(x \geq -2\) он входит.
• Перевернули знак при переносе слагаемого. Обратная крайность: из \(5x - 3 > 2x + 9\) пишут \(3x < 12\). Перенос — это прибавление числа к обеим частям, знак неравенства он не меняет никогда. Переворачивает только умножение или деление на отрицательное.
• Перепутаны круглые и квадратные скобки. Ответ \(x \leq -2\) записывают как \((-\infty;\,-2)\), теряя саму точку \(-2\). Нестрогий знак — квадратная скобка, точка на прямой закрашена.
• Квадратная скобка рядом с бесконечностью. Запись \([3;\,+\infty]\) неверна при любом знаке: рядом с \(\infty\) скобка всегда круглая.
• Промежуток записан в обратном порядке. Вместо \((-\infty;\,2)\) пишут \((2;\,-\infty)\). Слева всегда меньшая граница.
• Неполное умножение на общий знаменатель. В неравенстве с дробями умножают только дробные слагаемые, а целые забывают. Умножать нужно каждое слагаемое обеих частей.
• Обе части разделили на выражение с переменной. Делить на \(x\) нельзя: мы не знаем его знака, а значит не знаем, переворачивать знак неравенства или нет.

Вывод

Тема держится на двух навыках. Первый — механика решения, почти идентичная уравнениям, с единственным исключением в виде отрицательного множителя. Второй — аккуратная запись ответа промежутком: круглая скобка для строгого знака, квадратная для нестрогого, круглая рядом с бесконечностью всегда. Следующий шаг в программе 9 класса — системы неравенств, где каждое неравенство решают отдельно, а потом ищут пересечение промежутков. Без уверенного владения промежутками там не обойтись.

Если знак неравенства до сих пор «живёт своей жизнью», самый быстрый способ это закрыть — разобрать десяток примеров, проговаривая вслух, почему знак на каждом шаге остался или перевернулся. Запишитесь на пробное занятие: преподаватель Tutor-Math за одну встречу увидит, в каком именно месте ломается логика, и составит план работы.

Частые вопросы

Когда знак неравенства меняется на противоположный?

Только в одном случае: когда обе части неравенства умножают или делят на отрицательное число. При прибавлении или вычитании любого числа, а также при переносе слагаемых знак неравенства остаётся прежним.

Чем отличается отрезок от интервала?

Отрезок \([a;\,b]\) содержит обе границы, ему соответствуют нестрогие знаки \(a \leq x \leq b\), а на числовой прямой крайние точки закрашены. Интервал \((a;\,b)\) границ не содержит, знаки строгие \(a < x < b\), точки выколоты. Если одна граница входит, а другая нет — это полуинтервал.

Почему рядом с бесконечностью всегда круглая скобка?

Потому что \(\infty\) — не число, а обозначение неограниченности промежутка. Не существует числа, равного бесконечности, поэтому и «включить» эту границу невозможно. Запись вида \([2;\,+\infty]\) считается ошибкой.

Сколько решений имеет линейное неравенство?

Обычно бесконечно много — целый промежуток. Но бывают и крайние случаи: если после приведения подобных переменная исчезает и остаётся верное числовое неравенство (например \(0 > -5\)), решением является любое число, то есть \((-\infty;\,+\infty)\). Если же остаётся неверное неравенство (например \(0 > 5\)), решений нет.