Системы неравенств с одной переменной
Отдельное неравенство девятиклассник решает уже уверенно, а вот когда их становится два и они объединены фигурной скобкой — начинается путаница. Чаще всего не из-за сложных преобразований, а из-за одного вопроса: что делать с двумя ответами дальше, пересекать или объединять. На занятиях в Tutor-Math мы ставим эту тему на числовую прямую и на слова «и» и «или» — после этого ошибки исчезают почти полностью. Разберём определение, алгоритм, разницу между системой и совокупностью и шесть примеров, доведённых до промежутка.
Что такое система неравенств
Определение. Системой неравенств с одной переменной называют два или более неравенства, для которых нужно найти общие решения. Систему записывают фигурной скобкой.
Например:
\[\begin{cases} 3x - 5 < 7,\\ 2x + 1 \geqslant -3. \end{cases}\]Решение системы — это значение переменной, которое обращает в верное числовое неравенство каждое неравенство системы. Решить систему — найти все такие значения или доказать, что их нет.
Ключевое слово здесь — «каждое». Если число подходит в первое неравенство, но не подходит во второе, решением системы оно не является. На языке множеств: если \(A\) — множество решений первого неравенства, а \(B\) — второго, то множество решений системы является их пересечением:
\[X = A \cap B.\]Фигурная скобка читается как союз «и»: первое неравенство и второе одновременно. Это та деталь, которую стоит проговорить вслух, потому что именно она определяет всю дальнейшую работу.
Алгоритм решения
Алгоритм короткий и работает для любого количества линейных неравенств в системе.
- Шаг 1. Решить каждое неравенство отдельно, как будто других не существует. Здесь работают обычные правила из темы неравенства и их свойства: слагаемое переносим через знак с противоположным знаком, обе части можно умножать или делить на число — и при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
- Шаг 2. Изобразить оба множества решений на одной общей числовой прямой — штриховкой или дугами, одна над другой.
- Шаг 3. Выделить участок, где есть обе штриховки. Это и есть пересечение.
- Шаг 4. Записать ответ промежутком, отдельно проверив каждый конец: включён он (квадратная скобка) или нет (круглая).
О скобках стоит сказать чётко. Знаки \(<\) и \(>\) дают выколотую точку и круглую скобку, знаки \(\leqslant\) и \(\geqslant\) — закрашенную точку и квадратную. Возле бесконечности скобка всегда круглая: \((-\infty;\ 5]\), а не \([-\infty;\ 5]\).
Система и совокупность: «и» против «или»
Это место, где теряется больше всего баллов, поэтому разберём его медленно. Кроме системы существует совокупность неравенств — её обозначают квадратной скобкой:
\[\left[\begin{array}{l} 2x + 3 < 1,\\ x - 4 \geqslant 0. \end{array}\right.\]Решение совокупности — значение переменной, которое удовлетворяет хотя бы одному из неравенств. Множество решений совокупности — это объединение \(X = A \cup B\).
Сравнение в две строки:
- Система — фигурная скобка, союз «и», пересечение \(A \cap B\), берём общую часть штриховок. Ответ часто уже каждого из отдельных множеств, иногда пустой.
- Совокупность — квадратная скобка, союз «или», объединение \(A \cup B\), берём всё заштрихованное хотя бы раз. Ответ никогда не уже каждого из множеств и не может быть пустым, если хотя бы одно неравенство имеет решения.
Запомнить помогает бытовая аналогия. «Мне нужен свитер тёплый и недорогой» — подходят только те, что в пересечении двух требований, и вполне возможно, что таких нет вообще. «Мне подойдёт свитер тёплый или недорогой» — годится значительно больший выбор. Математика здесь ведёт себя точно так же.
Когда решений нет
Пустое множество — не ошибка и не повод искать вычислительный промах. Если после первого шага получилось, скажем, \(x > 4\) и \(x \leqslant 4\), то никакое число не может быть одновременно больше \(4\) и не больше \(4\). Штриховки на прямой не имеют общей точки.
Ответ в таком случае записывают как решений нет или \(x \in \varnothing\). Самый типичный повод для ошибки здесь — школьник не верит пустому ответу и «на всякий случай» вписывает \(x = 4\), хотя эту точку одно из неравенств выколола.
Двойное неравенство
Запись вида \(a < f(x) < b\) называют двойным неравенством. Это та же система, только записанная компактнее:
\[-4 \leqslant 3x - 1 < 8 \iff \begin{cases} 3x - 1 \geqslant -4,\\ 3x - 1 < 8. \end{cases}\]Её удобство в том, что оба неравенства содержат одинаковое выражение, поэтому преобразования можно делать сразу над тремя частями: прибавлять или вычитать число во всех трёх, умножать или делить все три на одно и то же число. При делении на отрицательное число оба знака меняются на противоположные, а крайние части меняются местами — этот момент лучше всего проверять на конкретном числе, как это делают с выражениями в теме отрицательные числа и модуль.
Пример 1. Базовая система
Решите систему:
\[\begin{cases} 3x - 5 < 7,\\ 2x + 1 \geqslant -3. \end{cases}\]Первое неравенство: \(3x < 12\), откуда \(x < 4\). Второе: \(2x \geqslant -4\), откуда \(x \geqslant -2\).
На общей прямой первая штриховка идёт влево от выколотой точки \(4\), вторая — вправо от закрашенной \(-2\). Общая часть — отрезок между ними, с включённым левым концом и исключённым правым.
Проверка концов: \(x = -2\) даёт \(-11 < 7\) и \(-3 \geqslant -3\) — оба верны, точка входит. \(x = 4\) даёт \(7 < 7\) — неверно, точка не входит.
Ответ: \(x \in [-2;\ 4)\).
Пример 2. Пустое множество
Решите систему:
\[\begin{cases} 5x - 2 > 3x + 6,\\ -2x + 9 \geqslant 1. \end{cases}\]Первое: \(5x - 3x > 6 + 2\), то есть \(2x > 8\) и \(x > 4\). Второе: \(-2x \geqslant -8\); делим на \(-2\) и меняем знак: \(x \leqslant 4\).
Нужны числа, большие \(4\) и одновременно не большие \(4\). Таких нет: штриховки расходятся от точки \(4\) в разные стороны и даже саму точку не делят, потому что в первом неравенстве она выколота.
Ответ: решений нет, \(x \in \varnothing\).
Пример 3. Двойное неравенство
Решите \(-4 \leqslant 3x - 1 < 8\).
Прибавляем \(1\) ко всем трём частям: \(-3 \leqslant 3x < 9\). Делим все три части на \(3\) — число положительное, поэтому знаки не меняются: \(-1 \leqslant x < 3\).
Проверка: \(x = -1\) даёт \(3 \cdot (-1) - 1 = -4\), и \(-4 \leqslant -4\) верно. \(x = 3\) даёт \(8\), а \(8 < 8\) неверно — правый конец выколот.
Ответ: \(x \in [-1;\ 3)\).
Пример 4. Система с дробями
Решите систему:
\[\begin{cases} \dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{x}{3} \leqslant 2,\\[6pt] 4 - x < 3x. \end{cases}\]Первое неравенство умножаем на \(6\) — общий знаменатель. Число положительное, знак сохраняется:
\[3(x - 1) + 2x \leqslant 12,\quad 3x - 3 + 2x \leqslant 12,\quad 5x \leqslant 15,\quad x \leqslant 3.\]Второе неравенство: \(4 < 3x + x\), то есть \(4 < 4x\) и \(x > 1\). Техника переноса здесь та же, что и в линейных уравнениях, меняется только обращение со знаком при умножении на отрицательное.
Пересечение: числа, большие \(1\) и не большие \(3\). Проверим \(x = 3\): \(\tfrac{2}{2} + \tfrac{3}{3} = 2\), и \(2 \leqslant 2\) верно; второе неравенство даёт \(1 < 9\) — тоже верно, конец включён.
Ответ: \(x \in (1;\ 3]\).
Пример 5. Система против совокупности
Даны те же два неравенства. Решите а) систему, б) совокупность:
\[\text{а)}\ \begin{cases} 2x + 3 < 1,\\ x - 4 \geqslant 0; \end{cases} \qquad \text{б)}\ \left[\begin{array}{l} 2x + 3 < 1,\\ x - 4 \geqslant 0. \end{array}\right.\]Отдельно: \(2x < -2\) даёт \(x < -1\); \(x \geqslant 4\) уже готово.
а) Система требует обоих условий одновременно. Число, меньшее \(-1\), не может быть большим или равным \(4\). Общей части штриховок нет.
б) Совокупность требует хотя бы одного условия. Берём всё заштрихованное: луч влево от \(-1\) и луч вправо от \(4\), включая \(4\).
Контроль на числе \(x = -2\): первое неравенство \(-1 < 1\) верно, второе \(-6 \geqslant 0\) неверно. Для системы \(-2\) не подходит, для совокупности — подходит. Одни и те же неравенства, разные ответы.
Ответ: а) решений нет; б) \(x \in (-\infty;\ -1) \cup [4;\ +\infty)\).
Пример 6. Целые решения
Найдите целые решения системы:
\[\begin{cases} 7 - 2x \leqslant 5,\\[4pt] \dfrac{x}{4} < 2. \end{cases}\]Первое: \(-2x \leqslant -2\); делим на \(-2\) со сменой знака: \(x \geqslant 1\). Второе: умножаем на \(4\), получаем \(x < 8\).
Пересечение — промежуток \([1;\ 8)\). Целые числа в нём: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\) — ровно семь штук. Число \(8\) не входит, потому что второе неравенство строгое.
Ответ: \(x \in [1;\ 8)\); целые решения — \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\).
Типичные ошибки
- Объединить вместо пересечения. Самая распространённая ошибка темы: ученик видит фигурную скобку, а берёт всё заштрихованное. Правило-спасатель: фигурная скобка — это «и», квадратная — «или».
- Не поменять знак при делении на отрицательное число. Из \(-2x \geqslant -8\) получают \(x \geqslant 4\) вместо \(x \leqslant 4\). Дальше вся система решается безупречно — и даёт неверный ответ.
- Путаница со скобками в ответе. Знак \(\leqslant\) даёт квадратную скобку, знак \(<\) — круглую. Возле \(\infty\) скобка всегда круглая.
- Записать промежуток «наизнанку». Ответ \((4;\ -2)\) не имеет смысла: в промежутке сначала идёт меньшее число. Если получилась такая запись, на самом деле решений нет.
- Не поверить пустому ответу. Пустое множество — вполне законный результат, а не сигнал искать ошибку в вычислениях.
- Потерять часть ответа в двойном неравенстве. Преобразования нужно делать во всех трёх частях, а не в двух.
- Делить неравенство на выражение с переменной. Знак выражения неизвестен, поэтому неизвестно, менять ли знак неравенства. В линейных системах этого делать не нужно никогда.
Вывод
Системы неравенств — тема, в которой техника проста, а ошибки почти всегда смысловые. Решить каждое неравенство отдельно, показать оба множества на одной прямой, взять общую часть, аккуратно оформить скобки — этот алгоритм работает без исключений. А главное — каждый раз отвечать себе на вопрос «и» или «или»: именно он отличает систему от совокупности. Дальше тот же подход перенесётся на неравенства с модулем и на системы, где одно из неравенств квадратное — а его решение опирается на умение находить корни из темы квадратные уравнения.
Если ребёнок уверенно решает отдельные неравенства, но «зависает» на этапе числовой прямой или систематически путает пересечение с объединением, это быстро исправляется за одно-два занятия. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math — преподаватель определит, где именно рвётся логическая цепочка, и закроет пробел до контрольной.
Чем система неравенств отличается от совокупности?
Система записывается фигурной скобкой и требует, чтобы выполнялись все неравенства одновременно — это союз «и», а ответ является пересечением множеств \(A \cap B\). Совокупность записывается квадратной скобкой и требует выполнения хотя бы одного неравенства — союз «или», ответ является объединением \(A \cup B\). Одни и те же два неравенства дают разные ответы в зависимости от того, система это или совокупность.
Что делать, если решения неравенств не пересекаются?
Тогда система решений не имеет. Это нормальный результат, а не ошибка. В ответе пишут «решений нет» или \(x \in \varnothing\). Например, система из \(x > 4\) и \(x \leqslant 4\) пуста, потому что никакое число не может одновременно быть больше \(4\) и не больше \(4\).
Как правильно решать двойное неравенство?
Двойное неравенство \(a < f(x) < b\) равносильно системе из двух неравенств, поэтому его можно преобразовывать сразу целиком: прибавлять или вычитать число во всех трёх частях, умножать или делить все три части на одно число. Если множитель отрицательный, оба знака меняются на противоположные, а крайние части меняются местами. Главное — не делать преобразования только в двух частях из трёх.
Когда знак неравенства меняется на противоположный?
Ровно в одном случае: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число. Перенос слагаемого из одной части в другую знак не меняет, умножение на положительное число — тоже. Например, из \(-3x < 12\) после деления на \(-3\) получается \(x > -4\), а не \(x < -4\).
