Рациональные дроби: сокращение и действия
В 8 классе дроби внезапно «оживают»: вместо привычных \(\frac{3}{4}\) или \(\frac{7}{12}\) в числителе и знаменателе появляются буквы. Так возникают рациональные дроби — а вместе с ними новый вопрос, которого не было в арифметике: а существует ли вообще эта дробь при данном значении переменной? На занятиях в Tutor-Math мы начинаем тему именно с этого вопроса, потому что как раз он, а не техника вычислений, чаще всего становится причиной потерянных баллов на контрольной.
Разберём тему целиком: определение и область допустимых значений, основное свойство дроби, сокращение через разложение на множители, четыре действия и многоэтажные дроби.
Определение и область допустимых значений
Рациональная дробь — это выражение вида \(\frac{A}{B}\), где \(A\) и \(B\) — многочлены, причём \(B\) не является тождественным нулём.
Примеры рациональных дробей: \(\frac{x+1}{x-3}\), \(\frac{2a^2-5}{a}\), \(\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}\). Делить на нуль нельзя никогда — ни в арифметике, ни в алгебре. Отсюда главное понятие темы:
Область допустимых значений (ОДЗ) рациональной дроби — это все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю.
Чтобы найти ОДЗ, нужно приравнять знаменатель к нулю, решить уравнение и исключить найденные корни. Для дроби \(\frac{x+1}{x-3}\): \(x-3=0 \Rightarrow x=3\), значит ОДЗ: \(x \neq 3\). Для дроби \(\frac{5}{x^2-4}\): \(x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2\), значит ОДЗ: \(x \neq 2\) и \(x \neq -2\).
ОДЗ записывают до любых преобразований и по исходному выражению. Это принципиально: после сокращения знаменатель меняется, «опасные» значения исчезают из записи — но не исчезают из задачи.
Основное свойство дроби и сокращение
Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, получится дробь, тождественно равная данной: \(\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}\), где \(C \neq 0\).
Деление на общий множитель и называют сокращением. Алгоритм всегда один и тот же:
- записать ОДЗ по исходному знаменателю;
- разложить числитель и знаменатель на множители;
- вычеркнуть общие множители.
Второй шаг — самый трудный, и именно на нём тема упирается в предыдущий материал. Понадобятся вынесение общего множителя за скобки и группировка из темы разложения многочленов на множители, а также формулы сокращённого умножения — прежде всего разность квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) и квадрат суммы или разности. Без них сокращение превращается в угадывание.
Сокращать можно только множители, а не слагаемые
Это главная ошибка всей темы, и она стоит ученикам больше баллов, чем все вычислительные описки вместе взятые. Вычёркивать разрешено только то, что перемножается с остальным выражением. То, что складывается, вычёркивать нельзя никогда.
Сокращение — это деление числителя и знаменателя целиком на общий множитель. Если числитель или знаменатель является суммой, сначала разложи его на множители — и только тогда сокращай.
Убедимся на числах. Возьмём выражение \(\frac{a+b}{a}\) и подставим \(a=2\), \(b=4\):
\[ \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
А «сокращение» буквы \(a\) дало бы ответ \(b=4\). Три не равно четырём — значит, такое вычёркивание просто неверно.
Ещё один типичный случай. Выражение \(\frac{x^2+4}{x+4}\) сократить нельзя: в числителе сумма, в знаменателе сумма, общего множителя нет. Проверка при \(x=2\): \(\frac{4+4}{2+4}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\), тогда как «вычеркнутая четвёрка» обещала бы \(\frac{x^2}{x}=x=2\). А вот похожая на вид дробь \(\frac{x^2+4x}{x+4}\) сокращается законно, потому что числитель раскладывается: \(\frac{x(x+4)}{x+4}=x\) при \(x \neq -4\).
Сложение и вычитание
Дроби с одинаковыми знаменателями: \(\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}\). Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю.
Общий знаменатель ищут так: раскладывают каждый знаменатель на множители и берут каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается. Затем для каждой дроби находят дополнительный множитель — то, чего не хватает её знаменателю до общего, — и умножают на него числитель.
Главная ловушка — знак. При вычитании минус действует на весь числитель второй дроби, поэтому его обязательно берут в скобки: \(\frac{A}{C} - \frac{B+D}{C} = \frac{A-(B+D)}{C} = \frac{A-B-D}{C}\).
Умножение и деление
\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\), а \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}\).
Практическое правило: не перемножайте скобки. Разложите всё на множители, запишите одну общую дробь и сократите — после сокращения умножать будет почти нечего.
При делении ОДЗ расширяется. Кроме знаменателей всех дробей, нулю не должен равняться ещё и числитель делителя — ведь после переворачивания он становится знаменателем. Это место пропускают чаще всего.
Составная (многоэтажная) дробь
Составная дробь — это дробь, в числителе или знаменателе которой тоже стоят дроби. Схема работы проста: главная дробная черта — это знак деления.
Приведи числитель к одной дроби, знаменатель — к одной дроби, а затем раздели первую на вторую, то есть умножь на обратную.
Пример 1. Сокращение через формулы
Сократить \(\dfrac{x^2-25}{x^2+10x+25}\).
ОДЗ: \(x^2+10x+25=(x+5)^2 \neq 0\), то есть \(x \neq -5\). Раскладываем:
\[ \frac{x^2-25}{x^2+10x+25} = \frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)^2} = \frac{x-5}{x+5} \]
Проверка при \(x=2\): исходная дробь \(\frac{4-25}{4+20+25}=\frac{-21}{49}=-\frac{3}{7}\), результат \(\frac{2-5}{2+5}=-\frac{3}{7}\). Совпало.
Ответ: \(\dfrac{x-5}{x+5}\) при \(x \neq -5\).
Пример 2. Вынесение множителя плюс формула
Сократить \(\dfrac{3a^2-12}{a^2+4a+4}\).
ОДЗ: \((a+2)^2 \neq 0\), то есть \(a \neq -2\). В числителе сначала выносим 3, затем применяем разность квадратов:
\[ \frac{3a^2-12}{a^2+4a+4} = \frac{3(a^2-4)}{(a+2)^2} = \frac{3(a-2)(a+2)}{(a+2)^2} = \frac{3(a-2)}{a+2} \]
Ответ: \(\dfrac{3(a-2)}{a+2}\) при \(a \neq -2\).
Пример 3. Вычитание с разными знаменателями
Упростить \(\dfrac{2}{x-3} - \dfrac{12}{x^2-9}\).
Раскладываем второй знаменатель: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). ОДЗ: \(x \neq 3\), \(x \neq -3\). Общий знаменатель — \((x-3)(x+3)\); дополнительный множитель первой дроби — \((x+3)\):
\[ \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x+6-12}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x-6}{(x-3)(x+3)} \]
Числитель раскладывается: \(2x-6=2(x-3)\), поэтому сокращаем на \((x-3)\):
\[ \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x+3} \]
Проверка при \(x=5\): \(\frac{2}{2}-\frac{12}{16}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\), а \(\frac{2}{5+3}=\frac{1}{4}\). Совпало.
Ответ: \(\dfrac{2}{x+3}\) при \(x \neq \pm 3\).
Пример 4. Деление дробей
Выполнить действие \(\dfrac{x^2-4}{3x} : \dfrac{x+2}{6x^2}\).
ОДЗ: \(3x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\); \(6x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\); и дополнительно числитель делителя \(x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\). Заменяем деление умножением на обратную дробь:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{3x} \cdot \frac{6x^2}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2) \cdot 6x^2}{3x(x+2)} = 2x(x-2) \]
Проверка при \(x=3\): \(\frac{9-4}{9} : \frac{5}{54} = \frac{5}{9} \cdot \frac{54}{5} = 6\), а \(2 \cdot 3 \cdot 1 = 6\). Совпало.
Ответ: \(2x(x-2)=2x^2-4x\) при \(x \neq 0\), \(x \neq -2\).
Пример 5. Составная дробь
Упростить \(\dfrac{x - \dfrac{9}{x}}{1 + \dfrac{3}{x}}\).
ОДЗ: \(x \neq 0\) (есть дробь со знаменателем \(x\)) и \(1+\frac{3}{x} \neq 0\), то есть \(\frac{x+3}{x} \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\). Приводим каждый «этаж» к одной дроби:
\[ x - \frac{9}{x} = \frac{x^2-9}{x}, \qquad 1 + \frac{3}{x} = \frac{x+3}{x} \]
\[ \frac{x^2-9}{x} : \frac{x+3}{x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x} \cdot \frac{x}{x+3} = x-3 \]
Проверка при \(x=6\): \(\left(6-\frac{9}{6}\right) : \left(1+\frac{3}{6}\right) = \frac{9}{2} : \frac{3}{2} = 3\), а \(6-3=3\). Совпало.
Ответ: \(x-3\) при \(x \neq 0\), \(x \neq -3\).
Пример 6. Сокращение вместе со сложением
Упростить \(\dfrac{x^2-16}{x^2-8x+16} + \dfrac{8}{x-4}\).
ОДЗ: \(x \neq 4\). Первую дробь сокращаем: \(\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)^2} = \frac{x+4}{x-4}\). Теперь знаменатели одинаковые:
\[ \frac{x+4}{x-4} + \frac{8}{x-4} = \frac{x+12}{x-4} \]
Проверка при \(x=6\): \(\frac{20}{4}+\frac{8}{2}=5+4=9\), а \(\frac{18}{2}=9\). Совпало.
Ответ: \(\dfrac{x+12}{x-4}\) при \(x \neq 4\).
Типичные ошибки
- Сокращение слагаемых. Самая грубая ошибка темы: \(\frac{x+5}{x+7}\) «сокращают» на \(x\) и пишут \(\frac{5}{7}\). Подставьте \(x=3\): \(\frac{8}{10}=0{,}8\), а не \(\frac{5}{7}\approx 0{,}714\). Вычёркивать можно только множители.
- ОДЗ ищут по конечному выражению. Дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\) равна \(x+3\), но при \(x=3\) исходное выражение не существует. ОДЗ определяется до преобразований.
- Забытый минус при вычитании. Пишут \(\frac{a}{c}-\frac{b+d}{c}=\frac{a-b+d}{c}\) вместо \(\frac{a-b-d}{c}\). Числитель второй дроби всегда берут в скобки.
- Не учитывают числитель делителя. В примере \(\ldots : \frac{x+2}{6x^2}\) забывают условие \(x \neq -2\), хотя делить на нулевую дробь нельзя.
- Перемножают скобки вместо сокращения. Раскрытые скобки вроде \((x-2)(x+2)(x+5)\) делают сокращение невозможным — множители нужно сохранять.
- Умножение «крест-накрест» вместо сложения. Приём из решения пропорций переносят на сумму дробей, хотя он работает только в уравнениях.
Вывод
Рациональные дроби держатся на трёх вещах: ОДЗ пишем всегда и по исходному выражению, раскладываем на множители перед любым действием, сокращаем только множители. Кто освоил эти три привычки в 8 классе, спокойно проходит дробно-рациональные уравнения, а дальше — функции и ВНО. Если арифметическая база ещё шаткая, стоит повторить обыкновенные дроби: правила там те же, только вместо букв стоят числа.
Если сокращение даётся тяжело, а знаки при вычитании постоянно «убегают», запишитесь на пробное занятие — разберём ваш конкретный пробел и закрепим тему на задачах вашего уровня.
Что такое ОДЗ и зачем его писать?
ОДЗ — это все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю. Писать его нужно потому, что после сокращения «запрещённые» значения исчезают из записи, но выражение при них так и не существует. Например, \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\), однако при \(x=3\) исходная дробь не имеет смысла. В заданиях на упрощение ответ без ОДЗ считается неполным.
Почему нельзя сокращать \(\frac{x+5}{x+7}\) на \(x\)?
Потому что \(x\) здесь слагаемое, а не множитель. Сокращение — это деление числителя и знаменателя целиком, а сумма на \(x\) без остатка не делится. Проверка при \(x=3\) даёт \(\frac{8}{10}=0{,}8\), тогда как «сокращённый» вариант \(\frac{5}{7}\approx 0{,}714\). Сокращать можно только после разложения на множители.
Как найти общий знаменатель рациональных дробей?
Разложите каждый знаменатель на множители и возьмите каждый множитель в наибольшей степени, которая встречается. Для \(x-3\) и \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) общим будет \((x-3)(x+3)\). Далее найдите дополнительный множитель для каждой дроби — то, чего не хватает её знаменателю до общего, — и умножьте на него числитель.
Как упростить многоэтажную дробь?
Главная дробная черта — это знак деления. Приведите числитель к одной дроби, знаменатель к одной дроби, а затем умножьте первую на обратную ко второй. Например, \(\left(x-\frac{9}{x}\right):\left(1+\frac{3}{x}\right)=\frac{x^2-9}{x} \cdot \frac{x}{x+3}=x-3\) при \(x \neq 0\) и \(x \neq -3\).
