Формулы сокращённого умножения: все семь формул с примерами
Формулы сокращённого умножения — это готовые результаты умножения, которые не нужно каждый раз выводить заново. Тема появляется в седьмом классе и дальше сопровождает ученика до выпускных экзаменов: без неё не разложить многочлен на множители, не сократить дробь, не решить квадратное уравнение коротким способом. В Tutor-Math мы доводим эти семь формул до автоматизма именно потому, что в старших классах их применяют мимоходом, внутри более длинных преобразований, — времени «вспоминать» уже не будет. Разберём каждую формулу с формулировкой, объяснением и примерами, посчитанными до конца.
Зачем вообще нужны эти формулы
Первое и самое очевидное — скорость. Произведение \((a+b)(a+b)\) можно раскрыть почленно за четыре умножения, а можно записать ответ сразу. На контрольной это экономия минут, а главное — меньше шансов ошибиться в промежуточных действиях.
Второе и более важное — обратное направление. Каждая формула работает в обе стороны. Слева направо она раскрывает скобки, справа налево — сворачивает сумму в произведение, то есть раскладывает многочлен на множители. Именно обратное направление делает формулы незаменимыми: сократить алгебраическую дробь можно только тогда, когда числитель и знаменатель записаны как произведения.
Третье — вычисления без калькулятора. Квадрат числа 51 или произведение \(49 \cdot 51\) считаются устно за несколько секунд, если увидеть в них нужную формулу. Об этом будет отдельный раздел ниже.
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго:
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Откуда берётся средний член, видно из прямого умножения: \((a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2\), а \(ab\) и \(ba\) — это одно и то же, поэтому их сводят в \(2ab\).
Есть и наглядная геометрическая картинка. Возьмите квадрат со стороной \(a+b\) и разрежьте его на четыре части линиями, делящими сторону на отрезки \(a\) и \(b\). Получатся: большой квадрат площадью \(a^2\), маленький квадрат площадью \(b^2\) и два одинаковых прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\), то есть площадью \(ab\) каждый. Вместе: \(a^2 + 2ab + b^2\). Эта картинка хорошо объясняет, почему удвоенное произведение не может исчезнуть — это реальные два прямоугольника, они занимают место.
Микропример: \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\).
Квадрат разности
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго:
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
По сравнению с квадратом суммы меняется лишь один знак — перед удвоенным произведением. Крайние члены остаются положительными всегда: это квадраты, а квадрат любого выражения неотрицателен. Если вам хочется поставить минус перед \(b^2\) — это ошибка, и о ней ещё будет сказано.
Микропример: \((2y-5)^2 = (2y)^2 - 2\cdot 2y\cdot 5 + 5^2 = 4y^2 - 20y + 25\).
Разность квадратов
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Это самая употребимая формула темы, и почти всегда её применяют справа налево — для разложения на множители. Проверить её легко: раскройте скобки в правой части, и средние члены \(-ab\) и \(+ab\) взаимно уничтожатся.
Важно: сумму квадратов \(a^2 + b^2\) на множители в рамках школьной алгебры разложить нельзя. Формулы «сумма квадратов» не существует, и придумывать её не нужно.
Микропример: \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6)\). Формулу иногда приходится применять дважды: \(x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)\). Чтобы уверенно видеть такие шаги, стоит твёрдо знать степень с натуральным показателем — в частности правило \((a^m)^n = a^{mn}\).
Куб суммы
Куб суммы равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго:
\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]
Формулировка длинная, но структура простая: четыре члена, степень \(a\) убывает с 3 до 0, степень \(b\) растёт с 0 до 3, коэффициенты идут 1, 3, 3, 1. Все знаки — плюсы.
Микропример: \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 4 + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\).
Куб разности
Куб разности равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго:
\[(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]
Порядок членов тот же, меняются только знаки: они чередуются — плюс, минус, плюс, минус. Логика проста: в слагаемом минус появляется тогда, когда \(b\) стоит в нечётной степени.
Микропример: \((y-1)^3 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1\).
Сумма кубов
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:
\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\]
Вторую скобку называют неполным квадратом разности: она похожа на \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), но произведение здесь не удвоенное, а обычное. Слово «неполный» именно про отсутствующую двойку.
Микропример: \(x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)\).
Разность кубов
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:
\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\]
Запоминать знаки удобнее всего так: в первой скобке стоит тот же знак, что и в левой части, а во второй скобке — противоположный. Сумма кубов: \((+)\) и внутри \(-ab\). Разность кубов: \((-)\) и внутри \(+ab\). Последнее слагаемое \(b^2\) в обоих случаях с плюсом.
Микропример: \(27 - m^3 = 3^3 - m^3 = (3-m)(9 + 3m + m^2)\).
Все семь формул одним блоком
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) — квадрат суммы
- \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) — квадрат разности
- \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) — разность квадратов
- \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — куб суммы
- \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) — куб разности
- \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — сумма кубов
- \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) — разность кубов
Этот список стоит выписать на отдельный лист и держать перед глазами первые две недели работы с темой. Через две недели лист обычно уже не нужен.
Устный счёт через формулы сокращённого умножения
Приём простой: представить число как сумму или разность с «круглым» числом — 10, 50, 100, 200 — и применить формулу.
Квадрат числа, близкого к круглому. Считаем \(51^2\). Представляем 51 как \(50+1\) и применяем квадрат суммы: \(51^2 = 50^2 + 2\cdot 50\cdot 1 + 1^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601\).
Так же работает квадрат разности: \(98^2 = (100-2)^2 = 10\,000 - 400 + 4 = 9604\). И ещё один: \(205^2 = (200+5)^2 = 40\,000 + 2000 + 25 = 42\,025\).
Произведение чисел, симметричных относительно круглого. Считаем \(49 \cdot 51\). Оба числа стоят на одинаковом расстоянии от 50, поэтому это разность квадратов: \(49 \cdot 51 = (50-1)(50+1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499\).
Ещё пример: \(37 \cdot 43 = (40-3)(40+3) = 1600 - 9 = 1591\). Проверьте письменным умножением — совпадает, но устно вышло быстрее.
Этот приём пригодится не только в алгебре: он хорошо экономит время в задачах, где нужно оценить результат до окончательных вычислений.
Пример 1. Возвести в квадрат двучлен
Раскрыть скобки: \((3x+5y)^2\).
Первое выражение — \(3x\), второе — \(5y\). Подставляем в формулу квадрата суммы:
\[(3x+5y)^2 = (3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 5y + (5y)^2\]
Теперь вычисляем каждое слагаемое: \((3x)^2 = 9x^2\) — в квадрат возводится и коэффициент, и буква; \(2\cdot 3x\cdot 5y = 30xy\); \((5y)^2 = 25y^2\).
Ответ: \(9x^2 + 30xy + 25y^2\).
Пример 2. Разложить на множители разность квадратов
Разложить на множители: \(49a^2 - 25b^4\).
Нужно увидеть в каждом слагаемом квадрат. \(49a^2 = (7a)^2\), а \(25b^4 = (5b^2)^2\) — здесь работает правило \((b^2)^2 = b^4\). Значит, перед нами разность квадратов выражений \(7a\) и \(5b^2\):
\[49a^2 - 25b^4 = (7a)^2 - (5b^2)^2 = (7a - 5b^2)(7a + 5b^2)\]
Ответ: \((7a - 5b^2)(7a + 5b^2)\).
Пример 3. Разложить на множители сумму кубов
Разложить на множители: \(27x^3 + 8\).
Записываем оба слагаемых как кубы: \(27x^3 = (3x)^3\), \(8 = 2^3\). Применяем формулу суммы кубов, где первое выражение \(3x\), второе 2:
\[(3x)^3 + 2^3 = (3x+2)\big((3x)^2 - 3x\cdot 2 + 2^2\big) = (3x+2)(9x^2 - 6x + 4)\]
Вторую скобку дальше не раскладывают: неполный квадрат разности на множители не раскладывается.
Ответ: \((3x+2)(9x^2 - 6x + 4)\).
Пример 4. Упростить выражение
Упростить: \((x+4)^2 - (x-4)^2\).
Способ первый — раскрыть оба квадрата:
\[(x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 8x + 16)\]
Знак минус перед второй скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри неё: \(x^2 + 8x + 16 - x^2 + 8x - 16 = 16x\).
Способ второй, более короткий, — увидеть разность квадратов, где «квадратами» являются сами скобки: \(\big((x+4) - (x-4)\big)\big((x+4) + (x-4)\big) = 8 \cdot 2x = 16x\).
Проверка при \(x=1\): \(5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\), и \(16\cdot 1 = 16\). Совпало.
Ответ: \(16x\).
Пример 5. Вычислить значение выражения
Вычислить \(x^2 - y^2\), если \(x = 6{,}25\), \(y = 3{,}75\).
Возводить эти числа в квадрат «в лоб» долго и легко ошибиться. Сначала разложим выражение на множители:
\[x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\]
Теперь подставляем: \(x - y = 6{,}25 - 3{,}75 = 2{,}5\), а \(x + y = 6{,}25 + 3{,}75 = 10\). Умножаем: \(2{,}5 \cdot 10 = 25\).
Это типовое задание «на сообразительность» в контрольных: оно проверяет не арифметику, а умение увидеть формулу.
Ответ: 25.
Пример 6. Куб разности и свёртывание в квадрат
Часть а). Раскрыть скобки: \((2a-1)^3\).
Первое выражение \(2a\), второе 1. По формуле куба разности:
\[(2a)^3 - 3(2a)^2\cdot 1 + 3\cdot 2a\cdot 1^2 - 1^3 = 8a^3 - 12a^2 + 6a - 1\]
Часть б). Записать в виде квадрата двучлена: \(100a^2 - 60a + 9\).
Крайние слагаемые — квадраты: \(100a^2 = (10a)^2\), \(9 = 3^2\). Проверяем среднее: удвоенное произведение должно равняться \(2 \cdot 10a \cdot 3 = 60a\) — совпадает, и стоит оно со знаком минус, значит это квадрат разности.
\[100a^2 - 60a + 9 = (10a - 3)^2\]
Проверка среднего слагаемого обязательна: без неё легко «свернуть» в квадрат выражение, которое квадратом не является.
Ответ: а) \(8a^3 - 12a^2 + 6a - 1\); б) \((10a-3)^2\).
Типичные ошибки
- \((a+b)^2 \ne a^2 + b^2\). Самая распространённая ошибка темы. Проверка на числах: \((3+4)^2 = 49\), тогда как \(3^2 + 4^2 = 25\). Почленно в степень возводят только произведение и частное, но не сумму.
- Потеря удвоенного произведения. Производная от предыдущей: ученик помнит про три слагаемых, но пишет \(2ab\) как \(ab\) или забывает перемножить коэффициенты. В \((3x+5y)^2\) средний член именно \(30xy\), а не \(15xy\) и не \(8xy\).
- Минус перед квадратом в квадрате разности. Запись \((a-b)^2 = a^2 - 2ab - b^2\) неверна. Последнее слагаемое — это квадрат, он всегда положителен: \(+b^2\).
- Путаница знаков в сумме и разности кубов. Правило: в первой скобке знак такой же, как в исходном выражении, во второй — противоположный, а \(b^2\) всегда с плюсом. То есть \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), а не \((a+b)(a^2+ab+b^2)\).
- Удвоение вместо обычного произведения в неполном квадрате. В скобках из кубов стоит \(ab\), а не \(2ab\). Именно поэтому квадрат и называют неполным.
- Попытка разложить сумму квадратов. Выражение \(a^2 + b^2\) на множители не раскладывается — в отличие от суммы кубов.
- Забытый общий множитель. Перед применением формул всегда проверяйте, нельзя ли что-то вынести за скобки: \(2x^2 - 18 = 2(x^2-9) = 2(x-3)(x+3)\). Без вынесения двойки разность квадратов не увидится.
Вывод
Семь формул — это фактически одна учебная неделя внимательной работы, после которой алгебра становится заметно легче. Они работают в разложении на множители, в сокращении дробей, в квадратных уравнениях, в преобразованиях с квадратным корнем и в темах, где знак выражения нужно определить заранее — здесь пригодятся навыки работы с отрицательными числами и модулем. Ключ к уверенности — не зубрёжка, а десяток самостоятельно доведённых до конца примеров в каждом направлении.
Если формулы никак не «складываются в систему», а ошибки повторяются из работы в работу — разберите тему с преподавателем на пробном занятии Tutor-Math. Занятие индивидуальное: педагог сразу увидит, где именно ломается логика, и закроет пробел, пока он не потянул за собой следующие темы.
Сколько всего формул сокращённого умножения в 7 классе?
Основных — семь: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов, разность кубов. В седьмом классе обычно начинают с первых трёх, а формулы с кубами изучают в конце темы или в начале восьмого класса. Остальные «формулы» в задачниках — это комбинации этих семи.
Почему не существует формулы для суммы квадратов?
Потому что многочлен \(a^2 + b^2\) не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Проверить это можно подстановкой: ни одна пара линейных множителей не даёт такой результат. А вот сумма кубов раскладывается — и это главная асимметрия темы, которую стоит просто запомнить.
Как не путать квадрат суммы с разностью квадратов?
Смотрите на структуру выражения. Если сумма или разность стоит внутри скобок, а квадрат — над ними, это квадрат суммы или разности: \((a+b)^2\). Если же квадраты стоят у каждого слагаемого отдельно, а между ними минус, это разность квадратов: \(a^2 - b^2\). Разное расположение скобок — разные формулы и разные ответы.
Обязательно ли учить формулы с кубами наизусть?
Да. Вывести их на контрольной можно, но это займёт несколько минут и почти наверняка приведёт к арифметической ошибке. Запоминать проще по структуре: в кубе суммы и разности коэффициенты 1, 3, 3, 1 и чередование знаков для разности; в сумме и разности кубов — «одинаковый знак в первой скобке, противоположный во второй, неполный квадрат».
