Текстовые задачи на движение: как составить уравнение
Задачи на движение пугают не математикой, а текстом. Само уравнение в них обычно простое — линейное или квадратное, — а вот превратить три предложения про велосипедиста и мотоциклиста в строку с символами умеет далеко не каждый семиклассник. Хорошая новость в том, что здесь есть единый механический приём, работающий почти всегда: таблица «скорость — время — расстояние». На занятиях в Tutor-Math мы начинаем именно с неё, потому что она превращает «догадаться» в «заполнить три клетки», а это уже навык, который можно натренировать.
Основная формула движения и три её формы
Формула. Если тело движется равномерно со скоростью \(v\) в течение времени \(t\), то пройденный путь равен \[ s = v \cdot t \]
Из этого равенства следуют ещё два, и все три нужно знать наизусть:
\[ s = v t, \qquad v = \frac{s}{t}, \qquad t = \frac{s}{v} \]По сути это одна и та же зависимость, записанная с разных сторон — совсем как в основном свойстве пропорции. Какую из форм использовать, решает вопрос задачи: ищем время — берём \(t = s/v\), ищем скорость — берём \(v = s/t\).
Критически важная мелочь: единицы должны быть согласованы. Скорость \(60\) км/ч и время \(30\) минут не перемножаются напрямую: сначала \(30\) мин \(= 0{,}5\) ч, и только потом \(s = 60 \cdot 0{,}5 = 30\) км.
Универсальный метод: таблица «скорость — время — расстояние»
Это ядро всей темы. Идея такая: в задаче есть несколько участников движения — два автомобиля или одна и та же лодка на двух участках. Для каждого участника рисуем строку из трёх клеток: \(v\), \(t\), \(s\).
Алгоритм. 1) Определить участников движения — столько, сколько разных «кусков» движения описано в задаче. 2) Обозначить неизвестное через \(x\). 3) Заполнить для каждого участника две клетки из условия, а третью — по формуле \(s = vt\). 4) Найти в условии фразу, которая связывает строки между собой, и записать её как уравнение.
Ключ в шаге 4. Заполненная таблица сама показывает, откуда взять уравнение: в ней обязательно останется одно неиспользованное соотношение. Например, «вместе они проехали \(420\) км» — это сумма двух клеток столбца \(s\). Или «на обратный путь потратил на час больше» — это разность двух клеток столбца \(t\).
Вот как выглядит таблица для задачи о двух поездах, выехавших навстречу и встретившихся через \(3\) часа, причём скорость второго на \(20\) км/ч больше:
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/ч} & t,\ \text{ч} & s,\ \text{км} \\ \hline \text{Первый} & x & 3 & 3x \\ \text{Второй} & x + 20 & 3 & 3(x+20) \end{array} \]Третий столбец мы не читали из условия — мы его посчитали по формуле \(s = vt\). А фраза «расстояние между городами \(420\) км» ещё не использована, и относится она к сумме путей. Отсюда сразу \(3x + 3(x+20) = 420\).
Что брать за \(x\) и как не ошибиться с выбором
Общее правило: за \(x\) берут ту величину, через которую проще всего выразить все остальные. Часто это именно то, о чём спрашивают, но не всегда — иногда удобнее обозначить меньшую из двух величин, чтобы избежать дробей и минусов.
- Если в условии есть фраза «на \(20\) больше» — берите за \(x\) меньшую величину, тогда вторая будет \(x + 20\) без единого минуса.
- Если есть фраза «в \(3\) раза быстрее» — берите за \(x\) более медленную, вторая будет \(3x\).
- Не обозначайте через \(x\) расстояние, если о нём в условии вообще не идёт речь: берите ту величину, о которой спрашивают.
И обязательно записывайте словами, что именно означает ваш \(x\): «пусть \(x\) — собственная скорость лодки, км/ч». Половина ошибок в этой теме — это когда ученик в конце забыл, что нашёл не то, о чём спрашивали.
Движение навстречу
Два тела движутся друг к другу. Расстояние между ними каждый час уменьшается на сумму скоростей.
Скорость сближения: \(v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2\). Время до встречи: \[ t = \frac{s}{v_1 + v_2} \]
Если тела вышли одновременно, то до момента встречи они двигались одинаковое время — это и есть второе, часто главное уравнение задачи. Сумма пройденных ими путей равна начальному расстоянию: \(v_1 t + v_2 t = s\).
Движение вдогонку
Тела движутся в одну сторону, и тот, кто сзади, быстрее. Расстояние между ними сокращается на разность скоростей.
Скорость сближения: \(v_{\text{сбл}} = v_1 - v_2\), где \(v_1\) — скорость догоняющего. Время до встречи: \[ t = \frac{s_0}{v_1 - v_2} \] где \(s_0\) — первоначальный отрыв.
Догнать удастся только при условии \(v_1 > v_2\): при равных скоростях расстояние не меняется вообще. Самое тонкое место здесь — вычислить \(s_0\): обычно первый выехал раньше, и его отрыв равен скорости, умноженной на эту фору во времени.
Движение в противоположных направлениях
Тела выходят из одной точки и расходятся. Зеркальная ситуация к движению навстречу: расстояние каждый час растёт на сумму скоростей.
Скорость удаления: \(v_{\text{уд}} = v_1 + v_2\). Расстояние через время \(t\): \[ s = (v_1 + v_2) \cdot t \]
Движение по течению и против течения
Самый популярный тип на экзаменах. У лодки есть собственная скорость \(v\) — это скорость в стоячей воде. Река с течением \(v_{\text{теч}}\) либо помогает, либо мешает.
Формулы движения по реке: \[ v_{\text{по}} = v + v_{\text{теч}}, \qquad v_{\text{против}} = v - v_{\text{теч}} \]
Отсюда два полезных следствия, которые часто сами являются ключом к решению:
\[ v = \frac{v_{\text{по}} + v_{\text{против}}}{2}, \qquad v_{\text{теч}} = \frac{v_{\text{по}} - v_{\text{против}}}{2} \]Плот, бревно или любой предмет, просто плывущий по воде, движется со скоростью течения: собственной скорости у него нет. И ещё одно ограничение, спасающее от ложных корней: обязательно \(v > v_{\text{теч}}\), иначе против течения лодка вообще не поплывёт.
Средняя скорость: классическая ловушка
Половину пути автомобиль ехал со скоростью \(60\) км/ч, вторую половину — со скоростью \(40\) км/ч. Какова средняя скорость? Ответ «\(50\)» — неверный.
Определение. Средняя скорость — это весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время: \[ v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} \] Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей.
Причина проста: на медленном участке тело проводит больше времени, поэтому малая скорость «весит» больше. Посчитаем честно для пути в \(120\) км: первые \(60\) км за \(60 : 60 = 1\) ч, вторые \(60\) км за \(60 : 40 = 1{,}5\) ч. Итого \(120\) км за \(2{,}5\) ч, значит \(v_{\text{ср}} = 120 : 2{,}5 = 48\) км/ч.
Результат не зависит от длины пути — его можно вывести в общем виде для равных половин:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{100} = 48 \]Среднее арифметическое \(50\) получилось бы только в другой задаче — если бы автомобиль ехал с каждой скоростью одинаковое время, а не одинаковое расстояние. Внимательно читайте, что именно делится пополам: путь или время.
Примеры с решением
Пример 1. Навстречу. Из двух городов, расстояние между которыми \(420\) км, одновременно навстречу выехали два поезда и встретились через \(3\) часа. Скорость второго на \(20\) км/ч больше скорости первого. Найти обе скорости.
Пусть \(x\) — скорость первого поезда (км/ч). Таблица из раздела выше даёт пути \(3x\) и \(3(x+20)\), а их сумма — это \(420\):
\[ 3x + 3(x + 20) = 420 \] \[ 3x + 3x + 60 = 420 \] \[ 6x = 360 \] \[ x = 60 \]Тогда второй двигался со скоростью \(60 + 20 = 80\) км/ч. Проверка: за \(3\) часа первый пройдёт \(180\) км, второй \(240\) км, вместе \(180 + 240 = 420\) км.
Ответ: \(60\) км/ч и \(80\) км/ч.
Пример 2. Вдогонку. Из пункта A выехал велосипедист со скоростью \(15\) км/ч. Через \(2\) часа вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью \(45\) км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?
Первоначальный отрыв: за \(2\) часа велосипедист оторвался на \(15 \cdot 2 = 30\) км. Пусть \(x\) — время движения мотоциклиста до встречи. Составляем таблицу, где у мотоциклиста время \(x\), а у велосипедиста — на \(2\) часа больше:
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/ч} & t,\ \text{ч} & s,\ \text{км} \\ \hline \text{Велосипедист} & 15 & x + 2 & 15(x+2) \\ \text{Мотоциклист} & 45 & x & 45x \end{array} \]В момент встречи оба преодолели одинаковое расстояние от пункта A:
\[ 15(x + 2) = 45x \] \[ 15x + 30 = 45x \] \[ 30x = 30 \] \[ x = 1 \]Проверка: велосипедист был в дороге \(3\) часа и проехал \(45\) км; мотоциклист за \(1\) час проехал \(45\) км. Место одно и то же. Тот же результат даёт формула сближения: \(30 : (45 - 15) = 1\).
Ответ: через \(1\) час.
Пример 3. Противоположные направления. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Через \(4\) часа расстояние между ними стало \(400\) км. Скорость одного на \(10\) км/ч больше скорости второго. Найти скорости.
Пусть \(x\) — меньшая скорость. Скорость удаления равна \(x + (x + 10)\), и за \(4\) часа она даёт \(400\) км:
\[ 4\big(x + (x + 10)\big) = 400 \] \[ 8x + 40 = 400 \] \[ 8x = 360 \] \[ x = 45 \]Вторая скорость — \(55\) км/ч. Проверка: за \(4\) часа первый проедет \(180\) км, второй \(220\) км; поскольку они едут в разные стороны, расстояние между ними \(180 + 220 = 400\) км.
Ответ: \(45\) км/ч и \(55\) км/ч.
Пример 4. Река. Лодка прошла \(56\) км по течению и \(20\) км против течения, потратив на весь путь \(6\) часов. Скорость течения \(2\) км/ч. Найти собственную скорость лодки.
Пусть \(x\) — собственная скорость лодки. Тогда по течению она идёт со скоростью \(x + 2\), против течения — \(x - 2\). Здесь участников движения тоже двое, только это одна лодка на двух участках, а неизвестные клетки — в столбце времени:
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/ч} & t,\ \text{ч} & s,\ \text{км} \\ \hline \text{По течению} & x + 2 & \dfrac{56}{x+2} & 56 \\ \text{Против течения} & x - 2 & \dfrac{20}{x-2} & 20 \end{array} \]Неиспользованная фраза — «на весь путь \(6\) часов», то есть сумма столбца времени:
\[ \frac{56}{x + 2} + \frac{20}{x - 2} = 6 \]Умножаем обе части на \((x+2)(x-2)\), учитывая ограничение \(x > 2\):
\[ 56(x - 2) + 20(x + 2) = 6(x^2 - 4) \] \[ 76x - 72 = 6x^2 - 24 \] \[ 6x^2 - 76x + 48 = 0 \] \[ 3x^2 - 38x + 24 = 0 \]Дискриминант: \(D = 38^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 1444 - 288 = 1156\), \(\sqrt{D} = 34\). Тогда
\[ x = \frac{38 \pm 34}{6} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 12, \quad x_2 = \frac{2}{3} \]Корень \(x_2 = \tfrac{2}{3}\) отбрасываем: он меньше скорости течения, и против течения такая лодка двигалась бы назад. Техника решения таких уравнений подробно разобрана в статье про квадратные уравнения. Проверка: по течению лодка идёт со скоростью \(12 + 2 = 14\) км/ч и проходит \(56\) км за \(56 : 14 = 4\) ч; против течения — со скоростью \(12 - 2 = 10\) км/ч и тратит \(20 : 10 = 2\) ч. Вместе \(4 + 2 = 6\) часов, как в условии.
Ответ: \(12\) км/ч.
Пример 5. Туда и обратно. Расстояние между городами \(120\) км. Автомобиль проехал из A в B и вернулся, потратив \(5\) часов. Обратно он ехал на \(20\) км/ч медленнее. Найти скорость на пути туда.
Пусть \(x\) — скорость туда, тогда обратно — \(x - 20\), причём \(x > 20\). Сумма времён равна \(5\):
\[ \frac{120}{x} + \frac{120}{x - 20} = 5 \] \[ 120(x - 20) + 120x = 5x(x - 20) \] \[ 240x - 2400 = 5x^2 - 100x \] \[ x^2 - 68x + 480 = 0 \]По теореме Виета корни \(60\) и \(8\), так как \(60 + 8 = 68\) и \(60 \cdot 8 = 480\). Корень \(8\) не подходит: тогда скорость обратно была бы отрицательной. Проверка: \(120 : 60 = 2\) ч туда, \(120 : 40 = 3\) ч обратно, вместе \(5\) часов.
Ответ: \(60\) км/ч.
Пример 6. Средняя скорость. Первые \(60\) км пути автомобиль ехал со скоростью \(60\) км/ч, следующие \(60\) км — со скоростью \(40\) км/ч. Найти среднюю скорость на всём пути.
Считаем не скорости, а путь и время по отдельности:
\[ t_1 = \frac{60}{60} = 1, \qquad t_2 = \frac{60}{40} = 1{,}5, \qquad t_{\text{общ}} = 2{,}5 \] \[ v_{\text{ср}} = \frac{120}{2{,}5} = 48 \]Проверка по смыслу: средняя скорость должна лежать между \(40\) и \(60\) и быть ближе к меньшей, потому что на медленном участке потрачено больше времени. \(48\) этому условию удовлетворяет, а \(50\) — нет.
Ответ: \(48\) км/ч.
Типичные ошибки
- Средняя скорость как среднее арифметическое. Для \(60\) и \(40\) км/ч на равных половинах пути ответ \(48\), а не \(50\). Среднюю скорость всегда считают как \(s_{\text{общ}} : t_{\text{общ}}\), и никак иначе.
- Путаница в единицах. Скорость в км/ч умножают на время в минутах. \(40\) минут — это \(\tfrac{2}{3}\) часа, а не \(0{,}4\) часа; переводите сразу, ещё до составления уравнения.
- Забытый отрыв в задачах вдогонку. Ученик пишет \(45x = 15x\) и получает \(x=0\), потому что не учёл, что велосипедист выехал на \(2\) часа раньше и уже прошёл \(30\) км.
- Путаница «по течению» и «против течения». Течение помогает, поэтому \(v_{\text{по}}\) — это сумма. Записывать \(v - v_{\text{теч}}\) для движения по течению — самая частая ошибка в этом типе задач.
- Не отброшенный посторонний корень. Квадратное уравнение даёт два корня, но скорость не бывает отрицательной, а собственная скорость лодки не бывает меньше скорости течения. Каждый корень проверяйте на смысл.
- Ответ не на тот вопрос. Нашли \(x = 60\) — скорость первого, а спрашивали про второго. Выписывайте в начале словами, что означает \(x\), и возвращайтесь к этой записи в конце.
Вывод
Задачи на движение — это не отдельный раздел математики, а упражнение на перевод с русского на алгебраический. Формула одна, \(s = vt\); типов взаимного движения четыре; инструмент один — таблица «скорость — время — расстояние». Дальше всё сводится к технике: линейное уравнение, квадратное или система двух уравнений, если неизвестных две. Заполните таблицу аккуратно — и уравнение появится само.
Если составление уравнения по тексту пока даётся тяжело, самый быстрый путь — разобрать несколько задач каждого типа подряд, проговаривая вслух, что означает каждая клетка таблицы. Запишитесь на пробное занятие: преподаватель Tutor-Math увидит, на каком именно шаге рвётся логика, и поставит метод.
Частые вопросы
Почему средняя скорость не равна среднему арифметическому?
Потому что на медленном участке тело проводит больше времени, и эта скорость «весит» в итоге больше. Для равных половин пути со скоростями \(60\) и \(40\) км/ч средняя скорость равна \(48\) км/ч, а не \(50\). Среднее арифметическое получилось бы, если бы с каждой скоростью двигались одинаковое время.
Что брать за \(x\) в задаче на движение?
Ту величину, через которую легче всего выразить все остальные. Если в условии сказано «на \(20\) км/ч больше», берите за \(x\) меньшую скорость — тогда вторая будет \(x + 20\) без минусов. Обязательно запишите словами, что означает ваш \(x\), иначе легко ответить не на тот вопрос.
Как найти скорость течения, если известны скорости по течению и против?
Скорость течения равна половине их разности, а собственная скорость лодки — половине суммы. Например, при \(14\) км/ч по течению и \(10\) км/ч против течения получаем течение \((14-10):2 = 2\) км/ч и собственную скорость \((14+10):2 = 12\) км/ч.
Почему в задачах на движение иногда получается два корня?
Потому что уравнение с дробями после приведения становится квадратным, а квадратное уравнение имеет до двух корней. Математически подходят оба, но по смыслу задачи один обычно отбрасывают: скорость не может быть отрицательной, а собственная скорость лодки не может быть меньше скорости течения.
