Циліндр, конус, куля: усі формули
Три тіла обертання — циліндр, конус і куля — дають на НМТ найбільше «дешевих» балів у стереометрії: формул небагато, малюнок простий, обчислення в один-два рядки. Провалюють ці задачі не через складність, а через плутанину: беруть висоту замість твірної, підставляють діаметр замість радіуса, забувають про множник \(\frac{1}{3}\) у конусі. У Tutor-Math ми даємо цю тему одним блоком саме тому, що всі три тіла будуються за спільною ідеєю обертання і мають спільну логіку формул. Нижче — означення, елементи, розгортки, осьові перерізи, площі й об'єми, шість повністю порахованих прикладів і зведений довідник наприкінці.
Спільна ідея: що таке тіло обертання
Тілом обертання називають тіло, утворене обертанням плоскої фігури навколо прямої (осі) на повний оберт.
Циліндр — це обертання прямокутника навколо його сторони. Конус — обертання прямокутного трикутника навколо катета. Куля — обертання півкруга навколо діаметра. Звідси одразу випливає головна властивість усіх трьох тіл: будь-який переріз площиною, перпендикулярною до осі, — це круг. А переріз площиною, що містить вісь (осьовий переріз), повертає нам ту саму плоску фігуру, тільки подвоєну: прямокутник, рівнобедрений трикутник, круг.
Практичний висновок: щойно ви бачите задачу на тіло обертання, малюйте осьовий переріз. Тривимірна задача миттєво стає плоскою, і далі працюють звичайні теорема Піфагора та формули площ.
Циліндр
Циліндром називають тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. Основи циліндра — два рівні круги в паралельних площинах; відрізок, що сполучає відповідні точки кіл основ, називають твірною.
Елементи: радіус основи \(R\), висота \(h\). У прямого кругового циліндра (а в школі розглядають лише такий) твірна дорівнює висоті: \(l = h\). Це та рідкісна ситуація, коли твірну й висоту справді можна не розрізняти — але тільки тут, у конусі так уже не буде.
Розгортка бічної поверхні — прямокутник. Одна його сторона — це висота \(h\), а друга — довжина кола основи \(2\pi R\) (див. коло і круг). Звідси й формула, її не треба вчити напам'ять — вона просто площа прямокутника:
\[S_{біч} = 2\pi R h, \qquad S_{повн} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R (R + h).\]
Об'єм циліндра будується так само, як об'єм призми: площа основи на висоту.
\[V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h.\]
Осьовий переріз циліндра — прямокутник із сторонами \(2R\) і \(h\), його площа дорівнює \(2Rh\). Якщо в умові написано «осьовий переріз — квадрат», це означає рівність \(h = 2R\), і одна ця фраза вже дає зв'язок між двома невідомими.
Конус
Конусом називають тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Основа — круг радіуса \(R\), вершина — точка на осі, а твірна \(l\) — відрізок від вершини до точки кола основи.
Тут висота \(h\) і твірна \(l\) — різні відрізки, і саме на їх плутанині будується половина помилок. Вони пов'язані теоремою Піфагора в осьовому перерізі:
\[l = \sqrt{R^2 + h^2}, \qquad h = \sqrt{l^2 - R^2}, \qquad R = \sqrt{l^2 - h^2}.\]
Розгортка бічної поверхні конуса — круговий сектор радіуса \(l\), довжина дуги якого дорівнює довжині кола основи \(2\pi R\). Звідси кут розгортки:
\[\varphi = 360^\circ \cdot \frac{R}{l}.\]
Площа цього сектора і є бічною поверхнею:
\[S_{біч} = \pi R l, \qquad S_{повн} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (R + l).\]
Об'єм — рівно третина від циліндра з тими самими основою й висотою, точно як у піраміди порівняно з призмою:
\[V = \frac{1}{3} \pi R^2 h.\]
Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з основою \(2R\) і бічними сторонами \(l\); його висота — це висота конуса \(h\), а площа дорівнює \(Rh\). Якщо сказано «осьовий переріз — рівносторонній трикутник», то \(l = 2R\), а тоді \(h = R\sqrt{3}\).
Куля і сфера
Сфера — множина точок простору, віддалених від центра на задану відстань \(R\). Куля — сфера разом із внутрішньою областю, тобто множина точок на відстані не більшій за \(R\).
Різниця та сама, що між колом і кругом: сфера — поверхня, куля — тіло. Тому кажуть «площа сфери» і «об'єм кулі», а не навпаки.
\[S = 4\pi R^2, \qquad V = \frac{4}{3} \pi R^3.\]
Розгортки в кулі немає — сферу неможливо розгорнути на площину без спотворень (саме тому не існує ідеально точної пласкої карти світу). Осьовий переріз кулі — великий круг радіуса \(R\), його площа \(\pi R^2\), тобто рівно чверть площі сфери.
Переріз кулі площиною на відстані \(d\) від центра — круг радіуса
\[r = \sqrt{R^2 - d^2}, \qquad d < R.\]
Наприклад, для \(R = 13\) і \(d = 5\) дістаємо \(r = \sqrt{169 - 25} = 12\), а площа перерізу дорівнює \(144\pi\).
Приклад 1. Циліндр за радіусом і висотою
Радіус основи циліндра \(R = 5\) см, висота \(h = 12\) см. Знайти бічну і повну поверхні та об'єм.
Бічна поверхня: \(S_{біч} = 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 120\pi\) см². Повна: \(S_{повн} = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 12) = 170\pi\) см². Перевірка іншим шляхом: \(2\pi R^2 + S_{біч} = 50\pi + 120\pi = 170\pi\) — збігається. Об'єм: \(V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 300\pi \approx 942{,}5\) см³.
Відповідь: \(120\pi\) см², \(170\pi\) см², \(300\pi\) см³.
Приклад 2. Конус: спершу твірна
Радіус конуса \(R = 6\), висота \(h = 8\). Знайти твірну, повну поверхню та об'єм.
Твірна: \(l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\). Бічна поверхня: \(S_{біч} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\). Повна: \(S_{повн} = \pi \cdot 6 \cdot (6 + 10) = 96\pi\). Об'єм: \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi\).
Числовий збіг \(S_{повн}\) і \(V\) тут випадковий — це різні величини з різними одиницями, і жодного правила з нього не випливає.
Відповідь: \(l = 10\), \(S_{повн} = 96\pi\), \(V = 96\pi\).
Приклад 3. Задача на розгортку
Розгортка бічної поверхні конуса — сектор радіуса 12 з кутом \(120^\circ\). Знайти радіус основи, висоту й об'єм конуса.
Радіус сектора — це твірна: \(l = 12\). З формули кута розгортки \(120 = 360 \cdot \frac{R}{12}\), звідки \(R = 12 \cdot \frac{120}{360} = 4\). Висота: \(h = \sqrt{12^2 - 4^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\).
Перевірка: площа сектора дорівнює \(\frac{120}{360} \cdot \pi \cdot 12^2 = 48\pi\), і за формулою \(S_{біч} = \pi \cdot 4 \cdot 12 = 48\pi\) — збігається.
Об'єм: \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 8\sqrt{2} = \frac{128\sqrt{2}}{3}\pi \approx 189{,}6\).
Відповідь: \(R = 4\), \(h = 8\sqrt{2}\), \(V = \frac{128\sqrt{2}\,\pi}{3}\).
Приклад 4. Осьовий переріз — квадрат
Осьовий переріз циліндра — квадрат площею 36 см². Знайти об'єм і повну поверхню циліндра.
Сторона квадрата \(a = \sqrt{36} = 6\) см. Осьовий переріз має сторони \(2R\) і \(h\), тож \(2R = h = 6\), звідки \(R = 3\), \(h = 6\).
Об'єм: \(V = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi\) см³. Повна поверхня: \(S_{повн} = 2\pi \cdot 3 \cdot (3 + 6) = 54\pi\) см².
Відповідь: \(V = 54\pi\) см³, \(S_{повн} = 54\pi\) см².
Переплавлення й переливання: об'єм зберігається
Цілий клас задач будується на одному реченні: коли тіло переплавляють або рідину переливають, об'єм не змінюється. Форма інша, речовина та сама. Тому розв'язання завжди складається з трьох кроків: порахувати об'єм першого тіла, прирівняти його до об'єму другого, розв'язати рівняння відносно невідомої.
Площі поверхонь при цьому не зберігаються — і саме на цьому ловлять неуважних. Прирівнювати можна лише об'єми.
Приклад 5. Переплавлення
Свинцеву кулю радіуса 6 см переплавили в суцільний циліндр з радіусом основи 4 см. Знайти висоту циліндра.
Об'єм кулі: \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288\pi\) см³.
Об'єм циліндра: \(\pi \cdot 4^2 \cdot h = 16\pi h\). Прирівнюємо: \(16\pi h = 288\pi\), звідки \(h = 18\) см.
Перевірка підстановкою: \(\pi \cdot 16 \cdot 18 = 288\pi\) — дорівнює об'єму кулі.
Відповідь: 18 см.
Приклад 6. Переливання
Циліндрична посудина з радіусом дна 10 см заповнена водою до рівня 9 см. Воду перелили в конічну посудину з радіусом основи 15 см, поставлену вершиною вниз, і вода заповнила її рівно до країв. Яка висота конічної посудини?
Об'єм води: \(V = \pi \cdot 10^2 \cdot 9 = 900\pi\) см³.
Об'єм конуса: \(\frac{1}{3} \pi \cdot 15^2 \cdot h = 75\pi h\). Рівняння: \(75\pi h = 900\pi\), звідки \(h = 12\) см.
Перевірка підстановкою: \(\frac{1}{3} \pi \cdot 225 \cdot 12 = 900\pi\) — збігається з об'ємом води.
Відповідь: 12 см.
Пастка масштабування: удвічі більший радіус
Найпоширеніша хибна інтуїція звучить так: «радіус збільшили вдвічі — отже, і площа, і об'єм збільшилися вдвічі». Це неправильно. Радіус входить у площу в квадраті, а в об'єм — у кубі:
\[\frac{4\pi (2R)^2}{4\pi R^2} = 4, \qquad \frac{\frac{4}{3}\pi (2R)^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = 8.\]
Якщо всі лінійні розміри тіла збільшити в \(k\) разів, площа поверхні зросте в \(k^2\) разів, а об'єм — у \(k^3\) разів.
Конкретні числа: куля радіуса 3 має площу \(4\pi \cdot 9 = 36\pi\) і об'єм \(\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\); куля радіуса 6 — площу \(4\pi \cdot 36 = 144\pi\) (учетверо більше) і об'єм \(\frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi\) (увосьмеро більше).
Практичний наслідок для задач на переплавлення: з кулі радіуса 6 виходить \(288\pi : \frac{32\pi}{3} = 27\) кульок радіуса 2, бо радіус зменшився втричі, а об'єм — у \(3^3 = 27\) разів. Те саме правило працює і для циліндра з конусом: подвойте \(R\) і \(h\) одночасно — об'єм зросте у 8 разів.
Зведений довідник формул
- Циліндр: \(S_{біч} = 2\pi R h\); \(S_{повн} = 2\pi R (R + h)\); \(V = \pi R^2 h\); осьовий переріз — прямокутник \(2R \times h\) площею \(2Rh\).
- Конус: \(l = \sqrt{R^2 + h^2}\); \(S_{біч} = \pi R l\); \(S_{повн} = \pi R (R + l)\); \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\); кут розгортки \(\varphi = 360^\circ \cdot \frac{R}{l}\); осьовий переріз — рівнобедрений трикутник з основою \(2R\), бічною стороною \(l\) і площею \(Rh\).
- Куля: \(S = 4\pi R^2\); \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\); осьовий переріз — великий круг площею \(\pi R^2\); переріз на відстані \(d\) від центра — круг радіуса \(r = \sqrt{R^2 - d^2}\).
- Масштаб: лінійні розміри в \(k\) разів \(\Rightarrow\) площа в \(k^2\) разів, об'єм у \(k^3\) разів.
Типові помилки
- Твірну конуса плутають з висотою. У формулі \(S_{біч} = \pi R l\) стоїть саме \(l\), а в формулі \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 h\) — саме \(h\). Якщо дано одне, а треба інше, спершу пройдіть через \(l^2 = R^2 + h^2\).
- Забувають множник \(\frac{1}{3}\) в об'ємі конуса. Результат одразу втричі більший за правильний. Орієнтир простий: конус завжди «легший» за циліндр тієї самої висоти й основи.
- Підставляють діаметр замість радіуса. В умові часто дають діаметр — поділіть навпіл ще до підстановки, інакше об'єм кулі помилиться у 8 разів.
- Прирівнюють площі при переплавленні. Зберігається лише об'єм. Площа поверхні при зміні форми змінюється, і рівняння через неї не має сенсу.
- «Удвічі більший радіус — удвічі більший об'єм». Ні: площа зростає вчетверо, об'єм — увосьмеро.
- У повній поверхні циліндра додають одну основу замість двох. Основ дві, тому \(2\pi R^2\), а не \(\pi R^2\). У конуса основа одна — там якраз \(\pi R^2\).
- Кажуть «об'єм сфери». Сфера — поверхня, у неї є площа; об'єм є в кулі.
Висновок
Циліндр, конус і куля тримаються на трьох парах формул і одному прийомі — малюнку осьового перерізу, який зводить об'ємну задачу до плоскої. Вивчіть довідник вище, навчіться за секунду відрізняти твірну від висоти й пам'ятайте про степені при масштабуванні: цього вистачає для переважної більшості завдань НМТ з цієї теми. Якщо формули запам'ятовуються, а задачі все одно не складаються, приходьте на пробне заняття — розберемо саме ваші слабкі місця й закріпимо їх на практиці.
Чим відрізняються куля і сфера?
Сфера — це поверхня, множина точок на відстані \(R\) від центра. Куля — тіло, тобто сфера разом з усіма внутрішніми точками. Тому в сфери рахують площу \(S = 4\pi R^2\), а в кулі — об'єм \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).
Як знайти твірну конуса, якщо дано радіус і висоту?
За теоремою Піфагора в осьовому перерізі: \(l = \sqrt{R^2 + h^2}\). Наприклад, при \(R = 6\) і \(h = 8\) твірна дорівнює \(\sqrt{36 + 64} = 10\). Обернено, якщо відома твірна: \(h = \sqrt{l^2 - R^2}\).
Чому об'єм конуса втричі менший за об'єм циліндра?
Конус із такою самою основою й висотою, що й циліндр, займає рівно третину його об'єму: \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 h\) проти \(\pi R^2 h\). Це той самий множник \(\frac{1}{3}\), що й у піраміди порівняно з призмою; його доводять через принцип Кавальєрі або інтегрування.
Що відбувається з площею та об'ємом, якщо радіус збільшити вдвічі?
Площа поверхні зросте у 4 рази, об'єм — у 8 разів. У загальному випадку при збільшенні всіх лінійних розмірів у \(k\) разів площа множиться на \(k^2\), а об'єм — на \(k^3\). Наприклад, куля радіуса 3 має об'єм \(36\pi\), а радіуса 6 — уже \(288\pi\).
