Десяткові дроби

Десяткові дроби: усі дії з прикладами

Десяткові дроби — це та тема 5–6 класу, після якої математика або стає зрозумілою, або перетворюється на набір випадкових правил. Різниця майже завжди в одному: чи розуміє дитина, що кома — це не роздільник між «двома різними числами», а межа між цілою частиною і частинами одиниці. У цій статті розберемо всі чотири дії з десятковими дробами, порівняння та типові помилки. Якщо після прикладів залишаться прогалини, репетитори Tutor-Math закривають саме такі базові теми — без них не буде ні відсотків, ні пропорцій, ні фізики.

Що таке десятковий дріб

Десятковий дріб — це звичайний дріб зі знаменником \(10\), \(100\), \(1000\) і так далі, записаний без риски дробу. Замість риски ставлять кому:

\[ \frac{7}{10}=0{,}7 \qquad \frac{25}{100}=0{,}25 \qquad 3\frac{4}{1000}=3{,}004 \]

Ліворуч від коми — ціла частина, праворуч — дробова. Якщо цілої частини немає, ліворуч пишуть нуль: \(0{,}7\), а не \({,}7\).

Розряди після коми: перша цифра — десяті, друга — соті, третя — тисячні, четверта — десятитисячні. У числі \(12{,}345\) цифра \(3\) означає \(3\) десятих, \(4\) — \(4\) сотих, \(5\) — \(5\) тисячних.

Читають дріб так: називають цілу частину, потім дробову як число, і додають назву останнього розряду. \(12{,}345\) — «дванадцять цілих триста сорок п'ять тисячних». \(0{,}07\) — «нуль цілих сім сотих».

Головна властивість: приписування нулів справа не змінює дріб. \(3{,}5=3{,}50=3{,}500\). Саме це дозволяє «зрівнювати» дроби перед додаванням і відніманням. Але нулі всередині числа прибирати не можна: \(3{,}05\ne 3{,}5\).

Якщо тема звичайних дробів ще «пливе», варто повторити звичайні дроби і види дробів та операції з ними — десяткові дроби це просто зручний запис тих самих чисел.

Додавання і віднімання

Щоб додати або відняти десяткові дроби, запиши їх у стовпчик так, щоб кома була строго під комою. Зрівняй кількість знаків після коми нулями. Далі виконуй дію як зі звичайними натуральними числами, а в результаті постав кому під комою.

Вирівнювання коми — не формальність. Кома вирівнює розряди: десяті під десятими, сотні під сотнями. Якщо вирівняти числа «по правому краю», як натуральні, ви додасте десяті до сотих і отримаєте неправильну відповідь.

Приклад 1. Обчислити \(12{,}45+7{,}8\).

• Зрівнюємо знаки після коми: \(7{,}8=7{,}80\).
• Записуємо в стовпчик, кома під комою, і додаємо як \(1245+780=2025\).
• Ставимо кому: два знаки після коми — \(20{,}25\).

Відповідь: \(12{,}45+7{,}8=20{,}25\).

Приклад 2. Обчислити \(15{,}3-8{,}47\).

• Зрівнюємо: \(15{,}3=15{,}30\).
• Віднімаємо як натуральні: \(1530-847=683\).
• Два знаки після коми — \(6{,}83\).

Відповідь: \(15{,}3-8{,}47=6{,}83\).

Множення десяткових дробів

Щоб перемножити десяткові дроби, помнож їх, не звертаючи уваги на коми, як натуральні числа. Потім полічи, скільки цифр після коми є в обох множниках разом, і віддали кому в добутку на стільки ж цифр справа наліво.

Тут коми не вирівнюють — це найчастіша плутанина. Правило працює тому, що множення на \(0{,}1\) — це ділення на \(10\): кожен знак після коми в множниках «зменшує» добуток у десять разів, і разом вони дають потрібне зміщення.

Приклад 3. Обчислити \(3{,}25\cdot 1{,}4\).

• Множимо цілі: \(325\cdot 14=4550\).
• Знаків після коми: \(2\) у першому множнику і \(1\) у другому, разом \(3\).
• Відділяємо три цифри справа: \(4{,}550=4{,}55\).

Відповідь: \(3{,}25\cdot 1{,}4=4{,}55\).

Якщо стовпчикове множення саме по собі викликає труднощі, спершу відпрацюйте алгоритм письмового множення на натуральних числах — на десяткових додається лише останній крок із комою.

Окремо — множення на розрядну одиницю:

При множенні на \(10\), \(100\), \(1000\) кома зсувається праворуч на \(1\), \(2\), \(3\) цифри відповідно. Якщо цифр не вистачає, дописують нулі.

\[ 2{,}371\cdot 100=237{,}1 \qquad 4{,}56\cdot 10=45{,}6 \qquad 0{,}6\cdot 0{,}05=0{,}03 \]

Останній приклад варто перевірити уважно: \(6\cdot 5=30\), знаків після коми \(1+2=3\), тому \(0{,}030=0{,}03\).

Ділення десяткових дробів

Ділення розбивається на два випадки.

Ділення на натуральне число. Ділимо в стовпчик як звичайно, а кому в частці ставимо в той момент, коли закінчилася ціла частина діленого. Якщо ділене «не ділиться націло», приписуємо нулі після коми і продовжуємо.

Ділення на десятковий дріб. Тут ключова ідея: частка не зміниться, якщо ділене й дільник збільшити в однакову кількість разів.

Перенеси кому в дільнику вправо так, щоб він став натуральним числом. Рівно на стільки ж цифр перенеси кому в діленому. Потім поділи на отримане натуральне число.

Приклад 4. Обчислити \(8{,}64:2{,}4\).

• У дільнику один знак після коми — переносимо кому на одну цифру: \(2{,}4\to 24\).
• Так само в діленому: \(8{,}64\to 86{,}4\).
• Ділимо \(86{,}4:24\). \(86:24=3\) (залишок \(14\)), ставимо кому, зносимо \(4\): \(144:24=6\).

Відповідь: \(8{,}64:2{,}4=3{,}6\).

Перевірка множенням обов'язкова: \(3{,}6\cdot 2{,}4=8{,}64\) — сходиться.

Ще один приклад на перенесення коми: \(4{,}9:0{,}07\). У дільнику два знаки, тому \(0{,}07\to 7\), а \(4{,}9\to 490\). Далі \(490:7=70\).

При діленні на \(10\), \(100\), \(1000\) кома зсувається ліворуч на \(1\), \(2\), \(3\) цифри. Якщо цифр бракує, зліва дописують нулі: \(7{,}5:100=0{,}075\).

Корисно пам'ятати, що не кожен звичайний дріб перетворюється на скінченний десятковий — це залежить від того, які прості множники має знаменник. Тут стають у пригоді ознаки подільності.

Приклад 5 (задача). Сир коштує \(48{,}60\) грн за кілограм. Скільки заплатить покупець за \(2{,}5\) кг?

• Множимо цілі: \(4860\cdot 25=121500\).
• Знаків після коми разом: \(2+1=3\), відділяємо три цифри: \(121{,}500\).
• Прибираємо зайві нулі справа: \(121{,}5\).

Відповідь: \(121{,}5\) грн, тобто 121 грн 50 коп.

Порівняння десяткових дробів

Спочатку порівнюють цілі частини: більший той дріб, у якого більша ціла частина. Якщо цілі частини рівні — порівнюють десяті, потім соті, потім тисячні, доки цифри не відрізняться.

Довжина запису нічого не означає. \(3{,}099\) менше за \(3{,}1\), хоч має більше цифр: цілі частини рівні, а десяті — \(0\) проти \(1\). Щоб не помилятися, зрівняйте кількість знаків нулями: \(3{,}100\) і \(3{,}099\) — тепер порівняння очевидне.

Впорядкуємо для прикладу набір за зростанням: \(3{,}09;\ 3{,}099;\ 3{,}1;\ 3{,}2\).

Порівняння десяткових дробів спирається на той самий порозрядний принцип, що й порівняння натуральних чисел, — тільки розряди продовжуються вправо від коми.

Типові помилки

• Вирівнювання «по правому краю» при додаванні. \(12{,}45+7{,}8\) записують так, що \(8\) опиняється під \(5\). Ліки: завжди дописувати нулі до однакової кількості знаків.
• Вирівнювання коми при множенні. У множенні коми не вирівнюють — цифри після коми лише рахують.
• Втрата нулів у добутку. У \(0{,}6\cdot 0{,}05\) добуток цілих \(30\), а знаків потрібно три — тому \(0{,}030\), а не \(0{,}3\).
• Перенесення коми лише в дільнику. Якщо кому зсунули в \(2{,}4\), її обов'язково треба зсунути й у \(8{,}64\) — на стільки ж цифр.
• «Довший дріб — більший». \(0{,}7>0{,}65\), хоча цифр менше.
• Втрата нуля в цілій частині. Пишуть \({,}5\) замість \(0{,}5\).
• Немає перевірки. Результат ділення завжди можна перемножити назад — це займає 10 секунд і ловить більшість помилок.

Висновок

Усі дії з десятковими дробами зводяться до дій із натуральними числами плюс одне правило про кому: при додаванні й відніманні кому вирівнюють, при множенні знаки після коми рахують, при діленні кому переносять в обох числах однаково. Якщо ці три речення відпрацьовані на прикладах, тема закрита.

Коли самостійна практика буксує, найшвидший шлях — індивідуальні заняття. Репетитори Tutor-Math діагностують, де саме розсипається ланцюжок (розряди, стовпчик чи перенесення коми), і добудовують базу під шкільну програму та ДПА. Перше заняття — знайомство й розбір реальних помилок дитини, а не абстрактна теорія.

Питання та відповіді

Чому при множенні десяткових дробів не треба вирівнювати кому?

Бо множення не працює порозрядно так, як додавання. Множники спершу перемножують як натуральні числа, а потім у добутку відділяють стільки цифр справа, скільки їх після коми в обох множниках разом. Наприклад, \(3{,}25\cdot 1{,}4\): \(325\cdot 14=4550\), знаків \(2+1=3\), отже \(4{,}55\).

Як поділити на десятковий дріб?

Перенести кому в дільнику вправо, доки він не стане натуральним числом, і рівно на стільки ж цифр перенести кому в діленому. Частка від цього не зміниться. Наприклад, \(8{,}64:2{,}4=86{,}4:24=3{,}6\).

Який дріб більший: 0,7 чи 0,65?

Більший \(0{,}7\). Цілі частини рівні, тому порівнюють десяті: \(7\) проти \(6\). Кількість цифр після коми на порівняння не впливає. Щоб було наочно, зрівняйте запис нулями: \(0{,}70>0{,}65\).

З якого класу вивчають десяткові дроби?

У програмі НУШ десяткові дроби починають у 5 класі (запис, порівняння, додавання й віднімання) і завершують у 6 класі (множення, ділення, перетворення у звичайні дроби та відсотки). Тема є базовою для відсотків, пропорцій і всієї фізики 7 класу.