Дробово-раціональні рівняння та ОДЗ
У 8 класі рівняння вперше «ламаються»: змінна опиняється в знаменнику, і звична схема «перенесли, звели, поділили» починає давати неправильні відповіді. Не тому, що учень погано рахує, — а тому, що рівняння з дробом має додаткову умову, про яку легко забути. У Tutor-Math ця тема стоїть окремим блоком саме через те, що помилка тут майже завжди однакова й майже завжди непомітна для самого учня.
Розберемо, що таке дробово-раціональне рівняння, навіщо потрібна ОДЗ, звідки беруться сторонні корені та як побудувати розв'язання так, щоб їх гарантовано впіймати.
Означення
Дробово-раціональним називають рівняння, яке можна записати у вигляді \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\) або звести до рівності двох раціональних виразів, у яких змінна входить у знаменник.
Приклади дробово-раціональних рівнянь: \(\dfrac{x^2-9}{x-3}=0\), \(\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x+2}\), \(\dfrac{6}{x}-\dfrac{6}{x+1}=1\).
А от рівняння \(\dfrac{x}{5}+\dfrac{x-1}{2}=3\) дробово-раціональним не є: знаменники — числа, змінної в них немає. Це звичайне лінійне рівняння, і жодних додаткових умов воно не потребує.
Що таке ОДЗ і чому її шукають ПЕРЕД розв'язуванням
ОДЗ (область допустимих значень) — множина значень змінної, при яких усі вирази рівняння мають зміст. Для дробів це означає одне: кожен знаменник не дорівнює нулю.
Ділення на нуль не визначене. Якщо при якомусь \(x\) хоча б один знаменник перетворюється на нуль, то при цьому \(x\) рівняння взагалі не існує — не «має розв'язок», не «не має розв'язку», а просто не має смислу. Тому таке значення не може бути коренем за жодних обставин.
Ключове питання: чому ОДЗ треба виписати до розв'язування, а не після? Формально можна й після — головне не забути. Але на практиці працює психологія: коли ви вже отримали красиве \(x=3\), рука сама тягнеться записати відповідь. А от коли рядок «ОДЗ: \(x\neq 3\)» стоїть угорі сторінки і ви на нього дивитесь увесь розв'язок, шанс відкинути корінь набагато вищий. ОДЗ, записана першою, — це не формальність, а страховка.
Звідки беруться сторонні корені
Це серце теми. Стандартний прийом розв'язування — помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник, щоб позбутися дробів. Прийом правильний, але він робить дещо небезпечне: множення на вираз, який може дорівнювати нулю, розширює множину розв'язків.
Подивіться на найпростіший випадок. Рівняння \(\dfrac{x^2-9}{x-3}=0\) після множення на \(x-3\) перетворюється на \(x^2-9=0\). Але це вже інше рівняння: у нього корені \(x=3\) і \(x=-3\), тоді як у вихідного \(x=3\) бути не може — там знаменник нульовий.
Сторонній корінь — це число, яке задовольняє рівняння, отримане після множення на знаменник, але не входить в ОДЗ вихідного рівняння. Його обов'язково відкидають.
Сторонній корінь — не помилка обчислень. Ви все порахували правильно; просто перетворення додало розв'язок, якого у вихідного рівняння не було. Саме тому фінальна звірка з ОДЗ — обов'язковий крок, а не перестраховка.
Умова «дріб дорівнює нулю»
Окремо запам'ятайте найчастішу конструкцію теми.
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\) тоді й лише тоді, коли одночасно виконуються дві умови: \(P(x)=0\) і \(Q(x)\neq 0\).
Дріб дорівнює нулю тільки за рахунок чисельника — знаменник на це не впливає. Але знаменник має право вето: якщо він теж занулився, дробу просто немає. Формулювання «чисельник нуль І знаменник не нуль» треба вивчити дослівно, бо половина помилок у контрольних — це забутий другий пункт.
Алгоритм розв'язування
- Крок 1. Розкласти знаменники на множники (за потреби) і знайти ОДЗ: прирівняти кожен знаменник до нуля, розв'язати, виключити ці значення.
- Крок 2. Звести всі дроби до спільного знаменника.
- Крок 3. Прирівняти чисельник до нуля (або, що те саме, помножити обидві частини на спільний знаменник) і розв'язати одержане ціле рівняння — лінійне чи квадратне.
- Крок 4. Порівняти знайдені корені з ОДЗ і відкинути ті, що в неї не входять.
- Крок 5. Підставити кожен корінь, що залишився, у вихідне рівняння для перевірки.
Крок 1 часто вимагає розкладання многочлена на множники: знаменник \(x^2-4\) сам по собі нічого не каже, а от \((x-2)(x+2)\) одразу показує обидва заборонені значення.
Приклад 1. Класичний сторонній корінь
Розв'язати \(\dfrac{x^2-9}{x-3}=0\).
ОДЗ: \(x-3\neq 0\), тобто \(x\neq 3\).
Дріб дорівнює нулю, коли чисельник нульовий: \(x^2-9=0\), звідки \((x-3)(x+3)=0\) і \(x_1=3\), \(x_2=-3\).
Звіряємо з ОДЗ: \(x_1=3\) не входить в ОДЗ — відкидаємо, це сторонній корінь. \(x_2=-3\) допустимий.
Перевірка: \(\dfrac{(-3)^2-9}{-3-3}=\dfrac{0}{-6}=0\). Правильно.
Зверніть увагу, наскільки підступний тут вигляд задачі. Якщо просто скоротити дріб на \(x-3\), вийде \(x+3=0\) і відповідь \(x=-3\) — випадково правильна. Але скорочення на вираз зі змінною вже змінило рівняння, і в іншій задачі така вільність коштувала б розв'язку. Про коректне скорочення дробів детальніше — у статті про раціональні дроби.
Відповідь: \(x=-3\).
Приклад 2. Пропорція
Розв'язати \(\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x+2}\).
ОДЗ: \(x-1\neq 0\) і \(x+2\neq 0\), тобто \(x\neq 1\) і \(x\neq -2\).
Множимо навхрест: \(2(x+2)=3(x-1)\), звідси \(2x+4=3x-3\), \(x=7\).
Число \(7\) входить в ОДЗ. Перевірка: \(\dfrac{2}{7-1}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\) і \(\dfrac{3}{7+2}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\). Частини рівні.
Відповідь: \(x=7\).
Приклад 3. Коли коренів немає взагалі
Розв'язати \(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{4}{x+2}=\dfrac{4}{x^2-4}\).
Розкладаємо: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).
ОДЗ: \(x\neq 2\) і \(x\neq -2\).
Спільний знаменник — \((x-2)(x+2)\). Множимо на нього обидві частини:
\[(x+2)+4(x-2)=4\]
\[x+2+4x-8=4,\qquad 5x-6=4,\qquad 5x=10,\qquad x=2\]
Єдиний формальний корінь \(x=2\) не входить в ОДЗ — відкидаємо його. Інших коренів немає.
Це важливий сюжет: рівняння, у якого всі знайдені корені виявилися сторонніми, розв'язків не має. Відповідь «коренів немає» — повноцінна відповідь, а не ознака того, що ви щось зробили не так.
Відповідь: коренів немає.
Приклад 4. Квадратне рівняння зі стороннім коренем
Розв'язати \(\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{6}{x+3}=\dfrac{18}{x^2-9}\).
Оскільки \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), маємо ОДЗ: \(x\neq 3\) і \(x\neq -3\).
Множимо обидві частини на \((x-3)(x+3)\):
\[x(x+3)-6(x-3)=18\]
\[x^2+3x-6x+18=18,\qquad x^2-3x=0,\qquad x(x-3)=0\]
Формальні корені: \(x_1=0\), \(x_2=3\). Значення \(x_2=3\) не входить в ОДЗ — відкидаємо.
Перевірка \(x=0\): ліва частина \(\dfrac{0}{-3}-\dfrac{6}{3}=0-2=-2\), права \(\dfrac{18}{-9}=-2\). Збігається.
Тут корінь \(x=3\) з'явився не випадково — множник \(x-3\) був у знаменнику, і після множення він перекочував у чисельник цілого рівняння. Це типовий механізм появи сторонніх коренів: заборонене значення «прописується» у розв'язку саме тим множником, який його забороняв. Про способи розв'язування рівнянь виду \(x^2-3x=0\) читайте в матеріалі про квадратні рівняння.
Відповідь: \(x=0\).
Приклад 5. Обидва корені підходять
Розв'язати \(\dfrac{6}{x}-\dfrac{6}{x+1}=1\).
ОДЗ: \(x\neq 0\) і \(x\neq -1\).
Спільний знаменник — \(x(x+1)\). Множимо:
\[6(x+1)-6x=x(x+1)\]
\[6x+6-6x=x^2+x,\qquad 6=x^2+x,\qquad x^2+x-6=0\]
За теоремою Вієта: \(x_1=2\), \(x_2=-3\). Обидва значення входять в ОДЗ.
Перевірка \(x=2\): \(\dfrac{6}{2}-\dfrac{6}{3}=3-2=1\). Перевірка \(x=-3\): \(\dfrac{6}{-3}-\dfrac{6}{-2}=-2+3=1\). Обидві правильні.
Відповідь: \(x_1=2\), \(x_2=-3\).
Приклад 6. Знаменник треба розкласти
Розв'язати \(\dfrac{5}{x^2-x}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x}\).
Спершу розкладаємо: \(x^2-x=x(x-1)\). Тепер видно всі заборони.
ОДЗ: \(x\neq 0\) і \(x\neq 1\).
Спільний знаменник — \(x(x-1)\). Множимо на нього обидві частини:
\[5-x=2(x-1)\]
\[5-x=2x-2,\qquad 7=3x,\qquad x=\dfrac{7}{3}\]
Значення \(\dfrac{7}{3}\) входить в ОДЗ. Перевірка: ліва частина дорівнює \(\dfrac{6}{7}\), права — \(2:\dfrac{7}{3}=\dfrac{6}{7}\). Збігається.
Відповідь: \(x=\dfrac{7}{3}\).
Типові помилки
- Не знайти ОДЗ узагалі. Найпоширеніша помилка. Розв'язок технічно бездоганний, відповідь неправильна, бали втрачені.
- Знайти ОДЗ і забути звірити з нею корені. ОДЗ, записана вгорі та більше не згадана, не рятує. Звірка — окремий обов'язковий крок.
- Виписати не всі заборонені значення. Якщо в рівнянні три дроби — треба перевірити три знаменники, а не лише «найскладніший».
- Не розкласти знаменник на множники. Зі знаменника \(x^2-9\) заборони не видно; з \((x-3)(x+3)\) видно обидві.
- Скорочувати дріб на вираз зі змінною без застереження. Скорочення на \(x-3\) мовчки припускає, що \(x\neq 3\), — це припущення треба записати, а не тримати в голові.
- Забути, що «дріб = 0» — це дві умови. Чисельник нуль — недостатньо, знаменник теж має бути ненульовим.
- Вважати «коренів немає» помилкою. Якщо всі корені сторонні, рівняння дійсно не має розв'язків. Це нормальна відповідь.
- Перевіряти корінь у проміжному рівнянні замість вихідного. Підстановка в рівняння без дробів нічого не доводить — саме воно й породило сторонній корінь.
Висновок
Дробово-раціональні рівняння відрізняються від звичних лише одним, зате принциповим пунктом: у них є заборонені значення змінної. Виписуйте ОДЗ першим рядком, розкладайте знаменники на множники, звіряйте кожен знайдений корінь з ОДЗ і підставляйте його у вихідне рівняння. Цей порядок дій закриває майже всі помилки теми.
Якщо сторонні корені досі виглядають як лотерея, а на контрольній рука сама записує зайву відповідь — приходьте на пробне заняття. Розберемо алгоритм на ваших задачах і доведемо його до автоматизму.
Чому взагалі з'являються сторонні корені?
Через множення обох частин рівняння на вираз зі змінною. Така дія не є рівносильним перетворенням: вона може додати розв'язки, які перетворюють цей вираз на нуль. Нове рівняння має «ширшу» множину коренів, ніж вихідне, тому зайві корені відсіюють звіркою з ОДЗ.
Чи можна знаходити ОДЗ після розв'язування?
Формально так — результат буде той самий, якщо не забути. Але на практиці ОДЗ, записана в кінці, забувається набагато частіше. Тому стандартна рекомендація: перший рядок розв'язання — ОДЗ.
Коли дріб дорівнює нулю?
Тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник — ні. Обидві умови обов'язкові одночасно. Якщо чисельник і знаменник занулюються при одному й тому самому значенні, це значення коренем не є.
Що робити, якщо всі знайдені корені не входять в ОДЗ?
Записати відповідь «коренів немає». Це коректний і повноцінний результат: рівняння справді не має розв'язків. Помилки в цьому немає — перевірте лише обчислення й правильність ОДЗ.
