Геометрична прогресія та нескінченна сума
Геометрична прогресія — це послідовність, у якій кожен наступний член отримують множенням попереднього на одне й те саме число. Тема виглядає простою, поки не доходить до суми нескінченно спадної прогресії: саме там учні найчастіше плутають умови й отримують безглузді відповіді. У цій статті розберемо всі формули з обґрунтуванням і покажемо, де прогресія працює на практиці — від періодичних дробів до банківських відсотків. На заняттях у Tutor-Math ця тема зазвичай займає два уроки: один на техніку, другий на задачі з реальним змістом.
Означення та знаменник прогресії
Геометрична прогресія — числова послідовність \(b_1, b_2, b_3, \ldots\), у якій перший член відмінний від нуля, а кожен наступний дорівнює попередньому, помноженому на стале число \(q \ne 0\):
\[ b_{n+1} = b_n \cdot q \]Число \(q\) називають знаменником прогресії.
Два обмеження в означенні не випадкові. Якщо \(b_1 = 0\), уся послідовність складається з нулів і знаменник неможливо визначити. Якщо \(q = 0\), то з другого члена все теж перетворюється на нулі. Тому в задачі на кшталт «знайдіть \(q\)» відповідь \(q=0\) завжди відкидають.
Знаменник знаходять діленням будь-якого члена на попередній:
\[ q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \]Наприклад, у послідовності \(5;\ 15;\ 45;\ 135\) маємо \(q = 15:5 = 3\), і перевірка на наступній парі підтверджує: \(45:15 = 3\). Саме така перевірка на другій-третій парі — обов'язковий крок: одна пара може дати правильне відношення випадково.
Формула n-го члена
Щоб дістатися до \(b_n\), потрібно від \(b_1\) помножити на \(q\) рівно \(n-1\) разів:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1} \]
Показник \(n-1\), а не \(n\) — найпоширеніше місце помилки. Простий контроль: підставте \(n=1\). Має вийти \(b_1 = b_1 q^0 = b_1\). Якщо у вашій формулі виходить \(b_1 q\) — показник записано неправильно. Робота зі степенями тут базова, тож варто повторити степінь з натуральним показником.
Приклад 1. \(b_1 = 3\), \(q = 2\). Знайти \(b_7\).
\(b_7 = 3 \cdot 2^{7-1} = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192\).
Перевірка прямим множенням: \(3;\ 6;\ 12;\ 24;\ 48;\ 96;\ 192\) — сьомий член справді \(192\).
Відповідь: \(b_7 = 192\).
Приклад 2. Відомо, що \(b_3 = 12\), \(b_6 = 96\). Знайти \(b_1\) і \(q\).
Запишемо обидва члени через \(b_1\): \(b_3 = b_1 q^2\), \(b_6 = b_1 q^5\). Поділимо друге на перше — \(b_1\) скоротиться:
\[ \frac{b_6}{b_3} = \frac{b_1 q^5}{b_1 q^2} = q^3 = \frac{96}{12} = 8 \]Звідси \(q = 2\). Тоді \(b_1 = \dfrac{b_3}{q^2} = \dfrac{12}{4} = 3\).
Перевірка: \(b_6 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96\) — збігається.
Відповідь: \(b_1 = 3\), \(q = 2\).
Характеристична властивість
Квадрат будь-якого члена прогресії (крім першого) дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів:
\[ b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1} \]
Доведення в один рядок: \(b_{n-1} b_{n+1} = \dfrac{b_n}{q} \cdot b_n q = b_n^2\). Ця властивість — робочий інструмент, коли треба з'ясувати, чи утворюють три вирази прогресію.
Приклад 3. При якому \(x\) числа \(x-1\), \(x+1\), \(x+5\) утворюють геометричну прогресію?
За характеристичною властивістю \((x+1)^2 = (x-1)(x+5)\). Розкриємо дужки:
\[ x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x - 5 \]\(2x + 1 = 4x - 5\), звідки \(2x = 6\) і \(x = 3\).
Підстановка: члени дорівнюють \(2;\ 4;\ 8\). Перевіримо — \(4^2 = 16\) і \(2 \cdot 8 = 16\), рівність виконується, \(q = 2\), перший член ненульовий. Умови означення виконано.
Відповідь: \(x = 3\), прогресія \(2;\ 4;\ 8\).
Сума перших n членів
Якщо \(q \ne 1\), то
\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]Якщо \(q = 1\), усі члени однакові й \(S_n = b_1 n\).
Формула виводиться коротко. Запишемо \(S_n = b_1 + b_1 q + \ldots + b_1 q^{n-1}\), помножимо все на \(q\) і віднімемо перший рядок від другого — усі середні доданки взаємно знищаться, залишиться \(S_n q - S_n = b_1 q^n - b_1\), тобто \(S_n(q-1) = b_1(q^n-1)\). Ділити на \(q-1\) можна лише за умови \(q \ne 1\) — звідси й окремий випадок.
Для \(q < 1\) зручніше рівносильна форма \(S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\): вона позбавляє від зайвих мінусів.
Приклад 4. \(b_1 = 16\), \(q = -\dfrac{1}{2}\). Знайти \(b_5\) і \(S_5\).
\(b_5 = 16 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^4 = 16 \cdot \dfrac{1}{16} = 1\).
Сума: \(q^5 = -\dfrac{1}{32}\), тому
\[ S_5 = \frac{16\left(-\frac{1}{32} - 1\right)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{16 \cdot \left(-\frac{33}{32}\right)}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{33}{2}}{-\frac{3}{2}} = 11 \]Перевірка прямим додаванням: \(16 - 8 + 4 - 2 + 1 = 11\).
Відповідь: \(b_5 = 1\), \(S_5 = 11\).
Нескінченно спадна прогресія
Якщо \(|q| < 1\), то \(q^n\) з ростом \(n\) необмежено наближається до нуля. У формулі суми доданок \(q^n\) зникає, і залишається скінченне число — сума нескінченної кількості доданків.
Геометрична прогресія називається нескінченно спадною, якщо \(|q| < 1\). Її сума
\[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]Умова \(|q| < 1\) — обов'язкова частина формули. При \(|q| \ge 1\) суми не існує.
Наголосимо на цьому окремо, бо це помилка №1 у темі. Для прогресії \(1;\ 2;\ 4;\ 8;\ \ldots\) підстановка в формулу дає \(S = \dfrac{1}{1-2} = -1\) — абсурд: додаємо додатні числа, а отримуємо від'ємне. Формула просто незастосовна, бо \(q = 2\). Спочатку перевіряємо \(|q| < 1\), потім рахуємо.
Зверніть увагу: «спадна» тут — термін, а не опис поведінки. Прогресія \(16;\ -8;\ 4;\ -2;\ \ldots\) із \(q = -\dfrac{1}{2}\) не спадає монотонно, але є нескінченно спадною, бо \(|q| = \dfrac{1}{2} < 1\). Її сума: \(S = \dfrac{16}{1 - (-0{,}5)} = \dfrac{16}{1{,}5} = \dfrac{32}{3}\).
Періодичний дріб як нескінченна сума
Найкрасивіше застосування формули — переведення періодичного десяткового дробу у звичайний. Періодичний дріб і є нескінченною сумою геометричної прогресії.
Приклад 5. Записати \(0{,}(27)\) і \(0{,}4(6)\) у вигляді звичайного дробу.
а) \(0{,}(27) = 0{,}27 + 0{,}0027 + 0{,}000027 + \ldots\) — це прогресія з \(b_1 = \dfrac{27}{100}\) і \(q = \dfrac{1}{100}\). Оскільки \(|q| < 1\):
\[ S = \frac{\frac{27}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \]б) \(0{,}4(6) = 0{,}4 + 0{,}06 + 0{,}006 + \ldots\) Неперіодичну частину \(0{,}4\) залишаємо окремо, а хвіст — прогресія з \(b_1 = \dfrac{6}{100}\), \(q = \dfrac{1}{10}\):
\[ 0{,}4(6) = \frac{2}{5} + \frac{\frac{6}{100}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{2}{5} + \frac{\frac{6}{100}}{\frac{9}{10}} = \frac{2}{5} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{1}{15} = \frac{7}{15} \]Перевірка діленням: \(3 : 11 = 0{,}272727\ldots\), \(7 : 15 = 0{,}4666\ldots\) — збігається. Інші способи цього ж перетворення розглянуто у статті про перетворення дробів.
Відповідь: \(0{,}(27) = \dfrac{3}{11}\), \(0{,}4(6) = \dfrac{7}{15}\).
Складні відсотки
Вклад під складний відсоток — це геометрична прогресія в чистому вигляді. Якщо ставка \(p\%\) річних нараховується на всю накопичену суму, то щороку сума множиться на один і той самий коефіцієнт \(q = 1 + \dfrac{p}{100}\).
Приклад 6. На рахунок поклали 20 000 грн під 12% річних зі щорічною капіталізацією. Яка сума буде через 5 років?
Тут \(b_1\) — це сума після першого року, але зручніше рахувати від початкового вкладу: \(A_n = A_0 q^n\), де \(q = 1{,}12\).
\[ A_5 = 20000 \cdot 1{,}12^5 \]Обчислюємо покроково: \(1{,}12^2 = 1{,}2544\); \(1{,}12^4 = 1{,}2544^2 = 1{,}57351936\); \(1{,}12^5 = 1{,}57351936 \cdot 1{,}12 = 1{,}7623416832\). Тоді \(A_5 = 20000 \cdot 1{,}7623416832 = 35246{,}83\) грн.
Для порівняння: простий відсоток дав би \(20000 + 5 \cdot 2400 = 32000\) грн. Різниця у 3246,83 грн — це і є ефект множення замість додавання. Схожі задачі на відсоткові розрахунки розібрано в матеріалі про задачі на відсотки.
Відповідь: близько 35 246,83 грн.
Порівняння з арифметичною прогресією
Обидві прогресії будуються за одним принципом «крок від попереднього члена», але крок різний: в арифметичній додають різницю \(d\), у геометричній множать на знаменник \(q\).
- \(n\)-й член: \(a_n = a_1 + d(n-1)\) проти \(b_n = b_1 q^{n-1}\).
- Сума: \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\) проти \(S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}\).
- Характеристична властивість: \(a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\) (середнє арифметичне) проти \(b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}\) (середнє геометричне).
- Нескінченна сума в арифметичній прогресії не існує ніколи (крім тривіального нульового випадку), у геометричній — існує при \(|q|<1\).
Деталі першої з них — у статті про арифметичну прогресію. Практична порада: якщо в умові послідовність задана числами, порахуйте і різницю сусідніх, і їхнє відношення — стале значення покаже тип прогресії.
Типові помилки
- Формула нескінченної суми без перевірки \(|q| < 1\). Найгрубіша помилка теми: підстановка \(q = 2\) чи \(q = -3\) дає число, яке не має сенсу.
- Показник \(n\) замість \(n-1\). Контроль: при \(n=1\) формула має повертати \(b_1\).
- Ділення на \(q-1\) при \(q=1\). Випадок однакових членів рахують окремо: \(S_n = b_1 n\).
- «Спадна» = «зменшується». При від'ємному \(q\) члени чергують знак, але прогресія все одно нескінченно спадна, якщо \(|q|<1\).
- Втрата другого кореня. З рівняння \(q^2 = 9\) випливає \(q = 3\) або \(q = -3\); відкидати від'ємний корінь без обґрунтування не можна.
- Знак у степені з від'ємним \(q\). \((-2)^4 = 16\), а \(-2^4 = -16\) — дужки обов'язкові.
- Плутанина \(b_1\) і \(A_0\) у задачах на відсотки. Визначайте одразу, що є першим членом: початковий вклад чи сума після першого року.
Висновок
Геометрична прогресія тримається на трьох формулах: \(b_n = b_1 q^{n-1}\), \(S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}\) і \(S = \dfrac{b_1}{1-q}\) при \(|q|<1\). Перші дві — техніка, третя вимагає щоразу перевіряти умову збіжності. Якщо навчитися бачити прогресію в задачі про вклад чи в періодичному дробі, тема з абстрактної стає інструментом.
Не виходить упевнено розв'язувати задачі на прогресії перед контрольною чи НМТ? Запишіться на пробне заняття — розберемо ваші конкретні складнощі й побудуємо план підготовки.
Чим геометрична прогресія відрізняється від арифметичної?
В арифметичній до попереднього члена додають сталу різницю \(d\), у геометричній попередній член множать на сталий знаменник \(q\). Через це арифметична зростає лінійно, а геометрична — у геометричному темпі, значно швидше. Щоб визначити тип за числами, порахуйте різницю сусідніх членів і їхнє відношення: стале значення вкаже на потрібну прогресію.
Чому нескінченна сума існує лише при \(|q| < 1\)?
У формулі \(S_n = \dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}\) поведінка суми залежить від \(q^n\). Якщо \(|q|<1\), то \(q^n\) прямує до нуля і сума наближається до скінченного числа \(\dfrac{b_1}{1-q}\). Якщо ж \(|q| \ge 1\), то \(q^n\) не згасає, часткові суми необмежено зростають або коливаються, і границі немає.
Чи може знаменник прогресії бути від'ємним або дробовим?
Так, будь-яким, крім нуля. При від'ємному \(q\) члени по черзі змінюють знак — наприклад, \(16; -8; 4; -2\) при \(q=-0{,}5\). Дробовий \(q\) за модулем менший за одиницю дає спадну за модулем прогресію, для якої існує нескінченна сума.
Як перевести періодичний дріб у звичайний через прогресію?
Період запишіть як нескінченну суму: \(0{,}(27) = 0{,}27 + 0{,}0027 + \ldots\), де \(b_1 = \dfrac{27}{100}\), \(q = \dfrac{1}{100}\). Тоді \(S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}\). Якщо перед періодом є неперіодична частина, її додають окремо.
