Коло і круг

Коло і круг: довжина, площа, сектор

Тема кола виглядає простою: дві формули, число \( \pi \) — і все. Але саме на ній учні втрачають бали на ДПА і ЗНО частіше, ніж на будь-якій іншій темі планіметрії. Причина майже завжди одна й та сама: плутанина між колом і кругом, а звідси — між формулою довжини та формулою площі. На заняттях у Tutor-Math ми починаємо цю тему не з формул, а з чіткого розділення цих двох понять — далі все стає на місця само.

Коло — це лінія, круг — це частина площини

Коло — множина всіх точок площини, рівновіддалених від заданої точки (центра). Круг — частина площини, обмежена колом, разом із самим колом.

Різниця буквально така сама, як між обручем і диском. Обруч — це коло: тонка лінія, у неї є довжина, але немає площі. Диск — це круг: у нього є площа, і його межею є коло.

Звідси одразу випливає, яку формулу коли брати:

• питають про довжину, периметр, «скільки дроту піде на обід колеса», «довжина огорожі навколо клумби» — це коло;
• питають про площу, «скільки фарби на диск», «скільки землі займає клумба» — це круг.

Одиниці вимірювання — надійний контроль: довжина вимірюється в см, м, км, площа — у см², м², км². Якщо у відповіді на питання про площу вийшли метри, а не квадратні метри, формулу взято не ту.

Радіус, діаметр, хорда, дуга

Чотири слова, які треба розрізняти без вагань:

• Радіус \( R \) — відрізок від центра до будь-якої точки кола. Усі радіуси одного кола рівні.
• Хорда — відрізок, що сполучає дві точки кола.
• Діаметр \( d \) — хорда, яка проходить через центр. Це найдовша з усіх хорд, і \( d = 2R \).
• Дуга — частина кола між двома його точками. Кожна хорда відтинає дві дуги: меншу й більшу.

Ще два поняття, потрібні для задач: сектор — частина круга між двома радіусами й дугою (шматок піци), сегмент — частина круга між хордою й дугою (те, що відрізали ножем по прямій).

Корисна властивість, яка часто рятує в задачах: радіус, проведений у середину хорди, перпендикулярний до неї. Це дає прямокутний трикутник, у якому гіпотенуза — радіус, а катети — половина хорди й відстань від центра до хорди. Далі працює теорема Піфагора, і невідома величина знаходиться за один крок.

Число π: звідки воно береться

Відношення довжини кола до його діаметра однакове для всіх кіл. Це число позначають грецькою буквою \( \pi \).

Це не домовленість і не наближення — це доведений факт. Візьміть тарілку, кришку від каструлі й колесо велосипеда, обміряйте ниткою довжину кожного кола й поділіть на діаметр — щоразу вийде приблизно 3,14. Саме тому \( \pi \) з'являється в обох формулах теми.

\( \pi \) — ірраціональне число: його не можна записати у вигляді дробу \( \frac{m}{n} \) з цілими чисельником і знаменником, а десятковий запис нескінченний і неперіодичний:

\[ \pi = 3{,}14159265358979\ldots \]

У школі використовують наближення \( \pi \approx 3{,}14 \), рідше \( \pi \approx \frac{22}{7} \). Важливе правило: якщо в умові не сказано «візьміть \( \pi \approx 3{,}14 \)», відповідь залишають із символом \( \pi \) — наприклад, \( 36\pi \) см². Це точна відповідь, а 113,04 — уже округлена.

Дві головні формули

Довжина кола:

\[ C = 2\pi R = \pi d \]

Площа круга:

\[ S = \pi R^2 = \frac{\pi d^2}{4} \]

Зверніть увагу на принципову різницю: у довжині радіус у першому степені, у площі — у другому. Практичний наслідок такий: якщо радіус збільшити вдвічі, довжина кола зросте вдвічі, а площа круга — вчетверо, бо \( (2R)^2 = 4R^2 \). Саме тому піца діаметром 40 см має майже вдвічі більшу площу, ніж піца 30 см (\( \frac{40^2}{30^2} \approx 1{,}78 \)), хоча діаметр більший лише на третину.

Обидві формули легко «розвертати». Якщо відома довжина — радіус знаходять як \( R = \dfrac{C}{2\pi} \); якщо відома площа — як \( R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}} \).

Дуга і сектор: усе через градусну міру

Ідея одна на дві формули: ціле коло — це 360°. Дуга в \( \alpha \) градусів становить \( \frac{\alpha}{360} \) частину кола, а сектор із таким самим кутом — \( \frac{\alpha}{360} \) частину круга. Тому:

\[ l = 2\pi R \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} \] \[ S_{\text{сект}} = \pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \]

Ніякої нової математики — це звичайне знаходження частини від цілого, та сама логіка, що й у задачах на відсотки, тільки замість сотих часток тут триста шістдесяті. Половина круга (180°) — це \( \frac{1}{2} \), чверть (90°) — \( \frac{1}{4} \), сектор 120° — рівно третина.

Є ще зручний зв'язок між дугою і сектором, який економить час:

\[ S_{\text{сект}} = \frac{l R}{2} \]

Якщо довжину дуги вже порахували, площу сектора можна отримати одним множенням, не повертаючись до градусів.

Кільце і сегмент

Кільце — це те, що залишиться від великого круга, якщо вирізати з нього менший концентричний. Площа рахується відніманням:

\[ S_{\text{кільця}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \]

Тут головне не піддатися спокусі написати \( \pi(R-r)^2 \) — це зовсім інше число.

Сегмент — частина круга, відрізана хордою. Для сегмента, меншого за півкруг, площа дорівнює площі сектора мінус площа трикутника, утвореного двома радіусами й хордою:

\[ S_{\text{сегм}} = S_{\text{сект}} - S_{\triangle} \]

Трикутник тут рівнобедрений із бічними сторонами \( R \), тому його площу зручно рахувати як \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha \) — це стандартна формула площі через дві сторони й кут між ними, детальніше про неї в статті про площу трикутника. Якщо сегмент більший за півкруг, площу трикутника не віднімають, а додають.

Приклад 1. Довжина кола і площа круга

Радіус круга дорівнює 6 см. Знайти довжину кола і площу круга; \( \pi \approx 3{,}14 \).

• Довжина: \( C = 2\pi R = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6 = 37{,}68 \) см. Точне значення — \( 12\pi \) см.
• Площа: \( S = \pi R^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04 \) см². Точне значення — \( 36\pi \) см².

Відповідь: \( C = 12\pi \approx 37{,}68 \) см, \( S = 36\pi \approx 113{,}04 \) см².

Приклад 2. Зворотна задача: знайти радіус

Довжина кола дорівнює 62,8 м. Знайти радіус і площу круга; \( \pi \approx 3{,}14 \).

• З формули \( C = 2\pi R \) маємо \( R = \dfrac{C}{2\pi} = \dfrac{62{,}8}{6{,}28} = 10 \) м.
• Площа: \( S = \pi R^2 = 3{,}14 \cdot 100 = 314 \) м².
• Перевірка: \( 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8 \) — збігається з умовою.

Відповідь: \( R = 10 \) м, \( S = 314 \) м².

Приклад 3. Дуга і сектор

У крузі радіуса 9 см проведено два радіуси під кутом 120°. Знайти довжину дуги і площу сектора; \( \pi \approx 3{,}14 \).

Кут 120° — це \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \) повного кола.

• Дуга: \( l = 2\pi \cdot 9 \cdot \dfrac{1}{3} = 6\pi \approx 6 \cdot 3{,}14 = 18{,}84 \) см.
• Сектор: \( S = \pi \cdot 81 \cdot \dfrac{1}{3} = 27\pi \approx 84{,}78 \) см².
• Перевірка через зв'язок \( S = \dfrac{lR}{2} = \dfrac{18{,}84 \cdot 9}{2} = 84{,}78 \) см² — той самий результат.

Відповідь: \( l = 6\pi \approx 18{,}84 \) см, \( S_{\text{сект}} = 27\pi \approx 84{,}78 \) см².

Приклад 4. Площа кільця (бігова доріжка)

Круглий стадіон має зовнішній радіус 25 м і внутрішній 20 м. Яку площу займає бігова доріжка?

• \( S = \pi(R^2 - r^2) = \pi(625 - 400) = 225\pi \) м².
• Наближено: \( 225 \cdot 3{,}14 = 706{,}5 \) м².
• Порівняйте з хибним варіантом \( \pi(R-r)^2 = \pi \cdot 25 \approx 78{,}5 \) м² — помилка майже в дев'ять разів.

Відповідь: \( 225\pi \approx 706{,}5 \) м².

Приклад 5. Площа сегмента

У крузі радіуса 6 см хорда стягує дугу 90°. Знайти площу меншого сегмента.

• Площа сектора: \( S_{\text{сект}} = \pi \cdot 36 \cdot \dfrac{90}{360} = 9\pi \approx 28{,}26 \) см².
• Трикутник із двома радіусами й хордою прямокутний, катети по 6 см: \( S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \) см².
• Сегмент: \( S = 9\pi - 18 \approx 28{,}26 - 18 = 10{,}26 \) см².

Перевірка на здоровий глузд: сегмент має бути меншим за сектор, і 10,26 менше за 28,26 — усе логічно.

Відповідь: \( 9\pi - 18 \approx 10{,}26 \) см².

Приклад 6. Скільки обертів робить колесо

Діаметр колеса велосипеда 66 см. Скільки повних обертів воно зробить на дистанції 1 км?

• За один оберт колесо проходить довжину свого кола: \( C = \pi d = 3{,}14 \cdot 0{,}66 = 2{,}0724 \) м.
• Кількість обертів: \( 1000 : 2{,}0724 \approx 482{,}5 \).
• Повних обертів, отже, 482.

Відповідь: 482 повні оберти.

Типові помилки

• Плутанина кола і круга. «Знайдіть площу кола» — некоректне формулювання, у лінії немає площі. Якщо в задачі йдеться про площу, мова про круг, і працює формула \( \pi R^2 \).
• Підстановка діаметра замість радіуса. Найчастіша арифметична помилка теми. В умові дано \( d = 10 \), учень пише \( S = \pi \cdot 100 \) замість \( \pi \cdot 25 \) — відповідь одразу вчетверо більша. Перший крок будь-якої задачі: перевести діаметр у радіус.
• Формула \( \pi(R-r)^2 \) для кільця. Квадрат різниці не дорівнює різниці квадратів. Правильно — \( \pi(R^2-r^2) \).
• Округлення на кожному кроці. Якщо \( \pi \) замінити на 3,14 на початку, а потім ще двічі округлити проміжні результати, похибка накопичується. Рахуйте символьно (\( 12\pi \), \( 27\pi \)), а число підставляйте наприкінці.
• Втрата одиниць вимірювання. Довжина — см, площа — см². Забутий квадрат в одиницях на ЗНО коштує бала так само, як помилка в обчисленнях.
• Ділення на 360 замість множення на \( \frac{\alpha}{360} \). Сектор 120° — це не \( \frac{S}{360} \), а \( S \cdot \frac{120}{360} \), тобто третина круга.
• Різні одиниці в одній задачі. Діаметр у сантиметрах, дистанція в кілометрах — перед діленням усе треба звести до однієї одиниці, інакше відповідь відрізнятиметься в сотні разів.

Висновок

Уся тема тримається на трьох речах: розділення кола і круга, дві базові формули \( C = 2\pi R \) та \( S = \pi R^2 \), і принцип «\( \frac{\alpha}{360} \) від цілого» для дуг та секторів. Кільце й сегмент — це вже не нові формули, а віднімання: більше мінус менше. Коло стабільно з'являється на ДПА і ЗНО, тому воно й потрапило в наш огляд головних тем геометрії для іспитів.

Якщо дитина плутає, коли множити на \( R \), а коли на \( R^2 \), або губиться в задачах на сектор — це питання практики й системи, а не здібностей. На індивідуальних заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо тему на реальних задачах: колеса, клумби, труби, круглі басейни. Запишіться на пробне заняття — і формули перестануть бути набором літер.

Чим коло відрізняється від круга?

Коло — це лінія, множина точок, рівновіддалених від центра. У кола є довжина \( C = 2\pi R \), але немає площі. Круг — це частина площини, обмежена колом; у круга є площа \( S = \pi R^2 \). Простіша аналогія: коло — обруч, круг — диск. Тому вираз «площа кола» некоректний, правильно казати «площа круга».

Чому число π нескінченне?

Бо \( \pi \) — ірраціональне число: воно не дорівнює жодному дробу \( \frac{m}{n} \) з цілими \( m \) і \( n \). Це строго доведено ще у XVIII столітті. Десятковий запис такого числа обов'язково нескінченний і неперіодичний: \( 3{,}14159265\ldots \). У школі беруть наближення \( \pi \approx 3{,}14 \), а точну відповідь залишають із символом \( \pi \).

Як знайти площу сектора, якщо відомий кут?

Сектор з кутом \( \alpha \) градусів становить \( \frac{\alpha}{360} \) частину круга, тому \( S_{\text{сект}} = \pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \). Наприклад, для \( R = 9 \) см і \( \alpha = 120^\circ \) отримуємо \( \pi \cdot 81 \cdot \frac{1}{3} = 27\pi \approx 84{,}78 \) см². Якщо довжина дуги вже відома, швидше скористатися формулою \( S = \frac{lR}{2} \).

Що робити, якщо в умові даний діаметр, а не радіус?

Одразу перевести: \( R = \frac{d}{2} \), і далі працювати з радіусом. Альтернативно можна користуватися формулами через діаметр: \( C = \pi d \) і \( S = \frac{\pi d^2}{4} \). Найпоширеніша помилка теми — підставити діаметр у формулу площі замість радіуса: відповідь виходить рівно вчетверо більшою за правильну.