Лінійна функція та її графік

Лінійна функція та її графік

Лінійна функція — це перша функція, з якою учень зустрічається в 7 класі, і водночас та, до якої алгебра повертатиметься ще багато років. Її головна цінність не в складності (складного тут майже немає), а в тому, що вона вчить бачити зв'язок між формулою і картинкою: змінили одне число — і пряма нахилилася або поїхала вгору. На заняттях у Tutor-Math ми не починаємо з побудови графіків: спершу учень має чітко розуміти, що таке функція взагалі, інакше графік лишається просто малюнком на клітинках.

Що таке функція: аргумент, значення, область визначення

Означення. Функцією називають залежність, при якій кожному значенню однієї змінної відповідає рівно одне значення іншої змінної.

Незалежну змінну (ту, яку ми обираємо самі) називають аргументом і зазвичай позначають \(x\). Залежну змінну — значенням функції, її позначають \(y\) або \(f(x)\). Запис \(f(3) = 5\) читається так: «при аргументі, що дорівнює \(3\), функція набуває значення \(5\)».

Слова «рівно одне» — не формальність. Якщо якомусь \(x\) відповідають два різні \(y\), це вже не функція. Саме тому вертикальна пряма графіком функції не є.

Означення. Областю визначення функції називають множину всіх значень аргументу, при яких функцію можна обчислити. Позначають \(D(f)\).

Для лінійної функції область визначення — усі числа: у вираз \(kx + b\) можна підставити будь-яке \(x\). Обмеження з'являться пізніше, коли у формулі виникне знаменник або корінь.

Лінійна функція: означення та зміст коефіцієнтів

Означення. Лінійною називають функцію, яку можна задати формулою \(y = kx + b\), де \(x\) — аргумент, а \(k\) і \(b\) — задані числа.

\[ y = kx + b \]

Число \(k\) називають кутовим коефіцієнтом, число \(b\) — вільним членом. Кожне з них має цілком наочний зміст:

• \(b\) показує, на якій висоті графік перетинає вісь \(Oy\). Справді, при \(x = 0\) отримуємо \(y = k \cdot 0 + b = b\). Тобто графік завжди проходить через точку \((0;\ b)\).
• \(k\) відповідає за нахил. Якщо збільшити \(x\) на одиницю, значення \(y\) зміниться рівно на \(k\). Тому \(k\) ще називають швидкістю зростання функції.

Головна властивість. Графіком лінійної функції \(y = kx + b\) є пряма.

Це твердження в 7 класі приймають без доведення, але користуються ним постійно — саме воно робить побудову такою швидкою.

Як \(k\) впливає на поведінку прямої

Три випадки, які треба вміти розрізняти миттєво, ще до будь-яких обчислень:

• \(k > 0\) — функція зростає. Чим більший \(x\), тим більший \(y\); пряма піднімається зліва направо.
• \(k < 0\) — функція спадає. Чим більший \(x\), тим менший \(y\); пряма опускається зліва направо.
• \(k = 0\) — формула перетворюється на \(y = b\). Значення не залежить від аргументу, графік — горизонтальна пряма. Таку функцію називають сталою.

Величина \(|k|\) відповідає за крутизну: пряма \(y = 5x\) значно крутіша за \(y = 0{,}2x\), хоча обидві зростають. Коефіцієнт \(b\) на нахил не впливає — він лише піднімає чи опускає всю пряму паралельно самій собі.

Побудова графіка за двома точками

Через дві різні точки можна провести рівно одну пряму. Оскільки графік лінійної функції — пряма, для побудови достатньо двох точок. Порядок дій:

• Крок 1. Обрати два зручні значення \(x\) — такі, щоб \(y\) вийшло цілим. Найчастіше беруть \(x = 0\) і ще одне число.
• Крок 2. Обчислити відповідні значення \(y\) за формулою й записати їх у таблицю.
• Крок 3. Позначити обидві точки на координатній площині.
• Крок 4. Провести через них пряму по лінійці, продовживши в обидва боки за межі точок.
• Крок 5. Взяти третю точку й перевірити, чи лежить вона на побудованій прямій. Це страховка від помилки в обчисленнях.

Крок 5 пропускають майже всі — і дарма. Дві точки з'єднаються прямою завжди, навіть якщо одну з них порахувано неправильно; третя точка виявляє помилку одразу.

Приклад 1. Побудувати графік функції \(y = 2x - 3\)

Тут \(k = 2 > 0\), отже функція зростає; \(b = -3\), отже пряма перетинає вісь \(Oy\) у точці \(-3\).

Обираємо два значення аргументу: \(x = 0\) і \(x = 3\).

При \(x = 0\): \(y = 2 \cdot 0 - 3 = -3\), маємо точку \((0;\ -3)\).

При \(x = 3\): \(y = 2 \cdot 3 - 3 = 3\), маємо точку \((3;\ 3)\).

Проводимо пряму через \((0;\ -3)\) і \((3;\ 3)\). Перевірка третьою точкою: при \(x = 1\) маємо \(y = 2 \cdot 1 - 3 = -1\), і точка \((1;\ -1)\) справді лежить на побудованій прямій.

Відповідь: пряма, що проходить через точки \((0;\ -3)\) і \((3;\ 3)\).

Точки перетину з осями координат

Це два окремі запитання, які часто плутають:

• Перетин з віссю \(Oy\). На цій осі \(x = 0\), тому \(y = b\). Точка \((0;\ b)\), і шукати нічого не треба — \(b\) видно у формулі.
• Перетин з віссю \(Ox\). На цій осі \(y = 0\), тому треба розв'язати рівняння \(kx + b = 0\). Значення \(x\), яке при цьому виходить, називають нулем функції.

Приклад 2. Знайти точки перетину графіка \(y = 2x - 3\) з осями

З віссю \(Oy\): підставляємо \(x = 0\), одразу отримуємо \(y = -3\). Точка \((0;\ -3)\).

З віссю \(Ox\): розв'язуємо лінійне рівняння \(2x - 3 = 0\), звідки \(2x = 3\) і \(x = 1{,}5\). Точка \((1{,}5;\ 0)\).

Перевірка: \(2 \cdot 1{,}5 - 3 = 3 - 3 = 0\) — правильно.

Відповідь: \((0;\ -3)\) і \((1{,}5;\ 0)\).

Приклад 3. Дослідити функцію \(y = -\dfrac{1}{2}x + 4\)

Кутовий коефіцієнт \(k = -\dfrac{1}{2} < 0\), отже функція спадає. Вільний член \(b = 4\).

Складемо таблицю значень, обираючи парні \(x\), щоб не отримати дробів. При \(x = -2\): \(y = -\dfrac{1}{2} \cdot (-2) + 4 = 1 + 4 = 5\). При \(x = 0\): \(y = 4\). При \(x = 4\): \(y = -\dfrac{1}{2} \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2\).

Видно, що зі зростанням \(x\) значення \(y\) справді зменшуються: \(5 \to 4 \to 2\). Нуль функції: \(-\dfrac{1}{2}x + 4 = 0\), звідки \(\dfrac{1}{2}x = 4\) і \(x = 8\). Перевірка: \(-\dfrac{1}{2} \cdot 8 + 4 = -4 + 4 = 0\).

Відповідь: функція спадає; графік проходить через \((0;\ 4)\) і \((8;\ 0)\).

Пряма пропорційність — окремий випадок

Означення. Прямою пропорційністю називають функцію вигляду \(y = kx\), де \(k \neq 0\). Це лінійна функція, у якої \(b = 0\).

Оскільки \(b = 0\), графік перетинає вісь \(Oy\) у точці \(0\), тобто проходить через початок координат. Це дає економію: для побудови достатньо однієї додаткової точки, бо точка \((0;\ 0)\) відома заздалегідь.

Змістовно \(y = kx\) означає, що при збільшенні \(x\) у кілька разів у стільки ж разів збільшується \(y\). Саме таку залежність описує пропорція: подвоїли кількість — подвоїлася вартість.

Приклад 4. Графік прямої пропорційності проходить через точку \((3;\ -12)\). Знайти \(k\) і обчислити \(y\) при \(x = -2\)

Оскільки це пряма пропорційність, формула має вигляд \(y = kx\). Точка лежить на графіку, отже її координати задовольняють формулу:

\[ -12 = k \cdot 3 \quad \Longrightarrow \quad k = -4 \]

Перевірка: \(-4 \cdot 3 = -12\) — правильно. Формула функції: \(y = -4x\). Тепер підставляємо \(x = -2\):

\[ y = -4 \cdot (-2) = 8 \]

Відповідь: \(k = -4\), функція \(y = -4x\), при \(x = -2\) значення \(y = 8\).

Як знайти \(k\) і \(b\) за двома заданими точками

Якщо графік проходить через точку, то координати цієї точки перетворюють формулу на правильну рівність. Дві точки дають дві рівності — тобто систему двох рівнянь з невідомими \(k\) і \(b\). Найзручніше розв'язувати її способом віднімання: після нього \(b\) зникає сам собою.

Приклад 5. Графік лінійної функції проходить через точки \(A(-2;\ 1)\) і \(B(4;\ 10)\). Задати функцію формулою

Підставляємо координати кожної точки у \(y = kx + b\):

\[ \begin{cases} -2k + b = 1 \\ 4k + b = 10 \end{cases} \]

Віднімаємо перше рівняння від другого. Доданки з \(b\) взаємно знищуються:

\[ 4k - (-2k) = 10 - 1 \quad \Longrightarrow \quad 6k = 9 \quad \Longrightarrow \quad k = 1{,}5 \]

Підставляємо \(k = 1{,}5\) у перше рівняння: \(-2 \cdot 1{,}5 + b = 1\), тобто \(-3 + b = 1\), звідки \(b = 4\).

Перевірка обох точок: \(1{,}5 \cdot (-2) + 4 = -3 + 4 = 1\) — точка \(A\) підходить; \(1{,}5 \cdot 4 + 4 = 6 + 4 = 10\) — точка \(B\) теж.

Відповідь: \(y = 1{,}5x + 4\).

Взаємне розміщення двох прямих

Порівнюючи дві лінійні функції \(y = k_1x + b_1\) і \(y = k_2x + b_2\), відповідь дає лише порівняння коефіцієнтів:

• \(k_1 = k_2\) і \(b_1 \neq b_2\) — прямі паралельні. Нахил однаковий, висота різна, спільних точок немає.
• \(k_1 = k_2\) і \(b_1 = b_2\) — це одна й та сама пряма (функції збігаються).
• \(k_1 \neq k_2\) — прямі перетинаються рівно в одній точці.

Щоб знайти точку перетину, прирівнюють праві частини: у спільній точці значення обох функцій однакові.

Приклад 6. Дослідити взаємне розміщення прямих \(y = 3x - 5\), \(y = 3x + 2\) і \(y = -x + 7\)

Перші дві функції мають однаковий кутовий коефіцієнт \(k = 3\), але різні вільні члени (\(-5\) і \(2\)). Отже, ці прямі паралельні й не перетинаються.

У третьої функції \(k = -1 \neq 3\), тому вона перетинає кожну з двох перших. Знайдемо точку перетину \(y = 3x - 5\) і \(y = -x + 7\):

\[ 3x - 5 = -x + 7 \quad \Longrightarrow \quad 4x = 12 \quad \Longrightarrow \quad x = 3 \]

Обчислюємо \(y\) за будь-якою з формул: \(y = 3 \cdot 3 - 5 = 4\). Перевірка за другою формулою: \(y = -3 + 7 = 4\) — збіглося.

Відповідь: \(y = 3x - 5\) і \(y = 3x + 2\) паралельні; \(y = 3x - 5\) і \(y = -x + 7\) перетинаються в точці \((3;\ 4)\).

Типові помилки

• Плутають, за що відповідає \(k\), а за що \(b\). \(b\) — це те, що лишається при \(x = 0\), тобто висота перетину з віссю \(Oy\); \(k\) — нахил.
• Креслять пряму від руки. Точність втрачається саме тут: дві акуратні точки й лінійка дають кращий результат, ніж п'ять точок на око.
• Обирають незручні значення аргументу. Для \(y = -\dfrac{1}{2}x + 4\) підстановка \(x = 1\) дає дробове \(y\). Значення треба підбирати так, щоб \(y\) вийшло цілим.
• Шукаючи перетин з віссю \(Ox\), прирівнюють до нуля \(x\) замість \(y\). На осі \(Ox\) нулю дорівнює саме ордината, тому розв'язують \(kx + b = 0\).
• Вважають, що при \(k < 0\) графік лежить нижче осі \(Ox\). Знак \(k\) визначає лише напрям нахилу: пряма \(y = -2x + 100\) спадає, але при малих \(x\) проходить дуже високо.
• Помилка знака при підстановці від'ємної координати. У прикладі 4 запис \(-4 \cdot (-2)\) дає \(+8\), а не \(-8\).
• Плутають паралельність із рівністю прямих. Якщо збіглися і \(k\), і \(b\) — це не дві паралельні прямі, а одна.

Висновок

Лінійна функція \(y = kx + b\) — фундамент усієї шкільної теми функцій. Достатньо впевнено розуміти зміст двох коефіцієнтів, уміти будувати пряму за двома точками й переходити від графіка до формули та навпаки. Далі ці ж навички працюють у квадратичній функції, у графічному розв'язуванні систем і в задачах з фізики про рівномірний рух.

Якщо графіки поки що «не читаються», а завдання на пошук \(k\) і \(b\) викликають ступор — це майже завжди питання кількох розібраних прикладів під наглядом викладача. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: на ньому ми з'ясуємо, де саме розірвався логічний ланцюжок, і складемо план, як його відновити.

Чим лінійна функція відрізняється від лінійного рівняння?

Рівняння \(2x - 3 = 0\) має єдине питання: при якому \(x\) рівність правильна. Функція \(y = 2x - 3\) описує цілу залежність — для кожного \(x\) своє \(y\). Зв'язок між ними прямий: корінь рівняння \(2x - 3 = 0\) — це абсциса точки, де графік функції перетинає вісь \(Ox\).

Скільки точок потрібно для побудови графіка?

Мінімум дві, бо через дві різні точки проходить рівно одна пряма. Але третю точку варто обчислити й нанести як перевірку: якщо вона не лягла на пряму, десь є арифметична помилка.

Чи є \(y = 5\) лінійною функцією?

Так. Це випадок \(k = 0\), \(b = 5\), тобто \(y = 0 \cdot x + 5\). Графік — горизонтальна пряма на висоті \(5\). А от \(x = 5\) функцією не є: це вертикальна пряма, де одному значенню \(x\) відповідає безліч значень \(y\).

Як без побудови зрозуміти, чи перетинаються дві прямі?

Порівняти кутові коефіцієнти. Якщо \(k\) різні — прямі обов'язково перетинаються, причому рівно в одній точці. Якщо \(k\) однакові, а \(b\) різні — прямі паралельні. Якщо збігаються обидва коефіцієнти — це одна пряма.