Лінійні рівняння та їх розв'язування
Лінійне рівняння — перша тема 7 класу, де від учня вимагають не порахувати, а міркувати: не «скільки буде», а «яке число зробить рівність правильною». Технічно тут немає нічого складного — чотири дії й трохи акуратності. Але саме на лінійних рівняннях будується вся подальша алгебра: системи, нерівності, квадратні рівняння, задачі на рух і на суміші. На заняттях у Tutor-Math ми не поспішаємо до складних прикладів, доки учень не пояснює чому кожен крок дозволений — бо механічно завчений алгоритм ламається на першому ж нестандартному рівнянні.
Що таке лінійне рівняння
Означення. Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння вигляду \(ax + b = 0\), де \(x\) — змінна, а \(a\) і \(b\) — задані числа (коефіцієнти).
Число \(a\) називають коефіцієнтом при змінній, число \(b\) — вільним членом. Головна прикмета лінійного рівняння: змінна входить у нього лише в першому степені, без квадратів, без кореня і не в знаменнику. Рівняння \(3x - 12 = 0\) лінійне, а \(x^2 - 4 = 0\) — уже ні, це квадратне рівняння.
Означення. Коренем рівняння називають те значення змінної, при підстановці якого рівняння перетворюється на правильну числову рівність. Розв'язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.
Зверніть увагу на слово «всі»: знайти один корінь мало, відповідь має містити повну інформацію про те, скільки їх узагалі. Саме цьому присвячено розділ про три випадки — і саме його найчастіше пропускають.
Перевірити корінь можна завжди й самостійно. Для рівняння \(3x - 12 = 0\) число \(4\) є коренем, бо \(3 \cdot 4 - 12 = 0\) — правильна рівність. А число \(5\) коренем не є, бо \(3 \cdot 5 - 12 = 3 \neq 0\).
Рівносильні перетворення
Розв'язування — це ланцюжок замін: складне рівняння поступово замінюємо простішим, але таким, що має ті самі корені. Такі рівняння називають рівносильними.
Властивість 1. До обох частин рівняння можна додати одне й те саме число (або відняти його) — корені не зміняться.
Властивість 2. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля — корені не зміняться.
З першої властивості випливає найпопулярніше шкільне правило: доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний. Це не окреме магічне правило, а скорочений запис. Коли з \(5x - 8 = 2x + 7\) ми отримуємо \(5x - 2x = 7 + 8\), насправді ми відняли \(2x\) від обох частин і додали \(8\) до обох частин. Розуміння цього рятує від найчастішої помилки в темі — втрати знака.
Застереження в другій властивості варто прочитати двічі: множник має бути ненульовим. Множення обох частин на нуль перетворює будь-яке рівняння на рівність \(0 = 0\), яка правильна завжди й не несе жодної інформації. Тому ділити на вираз зі змінною (наприклад, на \(x\)) не можна: ми не знаємо, чи не дорівнює він нулю. Якщо знаки перед числами ще плутаються, варто повторити додатні й від'ємні числа.
Алгоритм розв'язування
Загальний порядок дій однаковий майже для всіх рівнянь 7 класу:
- Крок 1. Якщо є дроби — помножити обидві частини на спільний знаменник і позбутися їх.
- Крок 2. Розкрити дужки, уважно стежачи за знаком перед дужкою.
- Крок 3. Перенести всі доданки зі змінною в ліву частину, усі числа — у праву, змінюючи знаки при перенесенні.
- Крок 4. Звести подібні доданки. Рівняння набуде вигляду \(ax = c\).
- Крок 5. Якщо \(a \neq 0\), поділити обидві частини на \(a\). Якщо \(a = 0\) — перейти до розбору трьох випадків (див. нижче).
- Крок 6. Підставити знайдений корінь у вихідне рівняння й перевірити.
Крок 6 не є формальністю. Перевіряти треба саме у вихідному рівнянні, а не в тому, що вийшло після перетворень: якщо помилка сталася на кроці 2, перевірка в перетвореному рівнянні її не помітить.
Три випадки: скільки коренів має лінійне рівняння
Після зведення подібних будь-яке лінійне рівняння набуває вигляду \(ax = c\). Далі все залежить від того, чому дорівнює \(a\). Це ключовий розділ теми — саме тут учні втрачають бали на контрольних, бо звикли, що відповідь завжди одне число.
Випадок 1: \(a \neq 0\) — єдиний корінь
Якщо коефіцієнт при змінній не дорівнює нулю, обидві частини можна поділити на \(a\):
\[ ax = c \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{c}{a} \]Рівняння має рівно один корінь. Це звичайна ситуація — приблизно дев'ять прикладів із десяти саме такі.
Випадок 2: \(a = 0\) і \(c = 0\) — нескінченно багато коренів
Рівняння набуває вигляду \(0 \cdot x = 0\). Але добуток нуля на будь-яке число дорівнює нулю, тому рівність правильна при будь-якому \(x\).
Якщо \(a = 0\) і \(c = 0\), рівняння має нескінченно багато коренів: коренем є будь-яке число. Таке рівняння називають тотожністю.
Практично це означає, що ліва й права частини — один і той самий вираз, просто записаний по-різному. Відповідь записують так: «\(x\) — будь-яке число».
Випадок 3: \(a = 0\), але \(c \neq 0\) — коренів немає
Рівняння набуває вигляду \(0 \cdot x = c\), де \(c\) не нуль. Ліва частина дорівнює нулю при будь-якому \(x\), а права — ні. Рівність не виконується ніколи.
Якщо \(a = 0\), а \(c \neq 0\), рівняння не має коренів.
Найпоширеніша помилка тут — спроба «поділити на \(a\)», тобто на нуль. Ділення на нуль не визначене, тому в цьому випадку ділити не можна взагалі: висновок робиться з самого вигляду рівняння.
Коротко всю картину можна тримати в голові так: дивимося на \(a\). Не нуль — один корінь. Нуль і праворуч нуль — коренів безліч. Нуль, а праворуч не нуль — коренів немає.
Рівняння з дробовими коефіцієнтами
Дроби прибираються одним рухом: знаходимо спільний знаменник усіх дробів і множимо на нього кожен доданок обох частин — за другою властивістю корені не зміняться.
Правило. Щоб позбутися дробів, помножте обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник. Множити треба кожен доданок, включно з тими, що дробів не містять.
Саме тут ховається класична помилка: учень множить дробові доданки, а цілі забуває. Якщо пошук спільного знаменника викликає труднощі, поверніться до звичайних дробів. Десяткові коефіцієнти прибираються так само — множенням на \(10\), \(100\) чи \(1000\); детальніше про це в статті про десяткові дроби.
Приклади з розв'язанням
Приклад 1. Змінна в обох частинах. Розв'язати \(5x - 8 = 2x + 7\).
Переносимо \(2x\) ліворуч, а \(-8\) праворуч, змінюючи знаки:
\[ 5x - 2x = 7 + 8 \] \[ 3x = 15 \] \[ x = 5 \]Перевірка у вихідному рівнянні: ліворуч \(5 \cdot 5 - 8 = 17\), праворуч \(2 \cdot 5 + 7 = 17\). Рівність виконується.
Відповідь: \(x = 5\).
Приклад 2. Рівняння з дужками. Розв'язати \(3(x - 4) = 5x + 2\).
Розкриваємо дужки й переносимо:
\[ 3x - 12 = 5x + 2 \] \[ 3x - 5x = 2 + 12 \] \[ -2x = 14 \] \[ x = -7 \]Перевірка: ліворуч \(3 \cdot (-7 - 4) = 3 \cdot (-11) = -33\), праворуч \(5 \cdot (-7) + 2 = -35 + 2 = -33\). Збігається.
Відповідь: \(x = -7\).
Приклад 3. Дробові коефіцієнти. Розв'язати \(\dfrac{x + 2}{3} - \dfrac{x - 1}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Найменший спільний знаменник чисел \(3\), \(4\) і \(2\) дорівнює \(12\). Множимо на \(12\) кожен доданок:
\[ 4(x + 2) - 3(x - 1) = 6 \] \[ 4x + 8 - 3x + 3 = 6 \] \[ x + 11 = 6 \] \[ x = -5 \]Зверніть увагу на знак у другій дужці: перед дробом стоїть мінус, тому \(-3 \cdot (-1) = +3\). Перевірка: \(\dfrac{-5 + 2}{3} - \dfrac{-5 - 1}{4} = \dfrac{-3}{3} - \dfrac{-6}{4} = -1 + 1{,}5 = 0{,}5\). Це і є \(\dfrac{1}{2}\).
Відповідь: \(x = -5\).
Приклад 4. Нескінченно багато коренів. Розв'язати \(2(x + 3) - 5 = 2x + 1\).
\[ 2x + 6 - 5 = 2x + 1 \] \[ 2x + 1 = 2x + 1 \] \[ 2x - 2x = 1 - 1 \] \[ 0 \cdot x = 0 \]Маємо випадок 2. Перевірка: при \(x = 0\) ліворуч \(2 \cdot 3 - 5 = 1\), праворуч \(1\); при \(x = 7\) ліворуч \(2 \cdot 10 - 5 = 15\), праворуч \(15\). Підходить будь-яке число.
Відповідь: \(x\) — будь-яке число (нескінченно багато коренів).
Приклад 5. Коренів немає. Розв'язати \(4(x - 2) = 4x + 5\).
\[ 4x - 8 = 4x + 5 \] \[ 4x - 4x = 5 + 8 \] \[ 0 \cdot x = 13 \]Ліва частина дорівнює нулю при будь-якому \(x\), а права дорівнює \(13\). Рівність неможлива. Ділити на нуль тут не можна — висновок робимо одразу.
Відповідь: коренів немає.
Приклад 6. Текстова задача. У першому баку \(180\) л води, у другому — \(60\) л. З першого бака щохвилини витікає \(8\) л, а в другий щохвилини вливається \(4\) л. Через скільки хвилин води в баках стане порівну?
Позначимо через \(t\) кількість хвилин. Тоді через \(t\) хвилин у першому баку буде \(180 - 8t\) літрів, у другому — \(60 + 4t\) літрів. Умова «порівну» дає рівняння:
\[ 180 - 8t = 60 + 4t \] \[ 180 - 60 = 4t + 8t \] \[ 120 = 12t \] \[ t = 10 \]Перевірка за змістом задачі: через \(10\) хвилин у першому баку залишиться \(180 - 8 \cdot 10 = 100\) л, у другому стане \(60 + 4 \cdot 10 = 100\) л. Води порівну, і обидва значення додатні — розв'язок має фізичний зміст.
Відповідь: через \(10\) хвилин.
Типові помилки
- Втрата знака при перенесенні. З \(5x - 8 = 2x + 7\) отримують \(5x - 2x = 7 - 8\). Перенесений доданок завжди змінює знак; якщо сумніваєтесь, виконайте дію явно — відніміть \(2x\) від обох частин.
- Ділення на нуль. Дійшовши до \(0 \cdot x = 13\), учень пише \(x = 13 : 0\). Ділити на нуль не можна ніколи — у цьому випадку відповідь «коренів немає» читається безпосередньо з рівняння.
- Неповне множення на спільний знаменник. У рівнянні \(\dfrac{x}{3} + 2 = \dfrac{x}{6}\) множать на \(6\) лише дроби й отримують \(2x + 2 = x\) замість правильного \(2x + 12 = x\). Множити треба кожен доданок обох частин без винятку.
- Мінус перед дужкою. Запис \(-3(x - 1) = -3x - 3\) невірний: правильно \(-3x + 3\). Мінус перед дужкою змінює знак кожного доданка всередині.
- Відповідь «\(0\)» замість «коренів немає». Це різні речі: \(x = 0\) означає, що корінь існує й дорівнює нулю, а «коренів немає» — що жодне число не підходить.
Висновок
Уся тема тримається на трьох речах: розуміти, що таке рівносильне перетворення; вміти акуратно розкрити дужки й перенести доданки; знати три випадки залежно від коефіцієнта \(a\). Перші дві навички напрацьовуються практикою, третя — розумінням. Далі ці ж прийоми переносяться на нерівності й системи рівнянь, а вміння скласти рівняння за текстом стане в пригоді й у темі пропорції.
Якщо рівняння з дробами поки що викликають ступор, найшвидший шлях — розібрати десяток прикладів із поясненням кожного кроку вголос. Запишіться на пробне заняття: викладач Tutor-Math за одну зустріч побачить, де саме рветься логіка, і складе план роботи.
Часті питання
Чи може лінійне рівняння мати два корені?
Ні. Лінійне рівняння має або рівно один корінь, або жодного, або нескінченно багато. Рівно два різні корені — прикмета квадратного рівняння, де змінна входить у другому степені.
Як зрозуміти, що рівняння не має коренів?
Довести перетвореннями до вигляду \(ax = c\). Якщо змінна повністю зникла і залишилася неправильна числова рівність, наприклад \(0 = 13\), коренів немає. Якщо ж залишилася правильна рівність \(0 = 0\), навпаки — коренем є будь-яке число.
Навіщо переносити доданки, якщо можна просто вгадати корінь?
Вгадування працює лише для простих цілих коренів. Уже в рівнянні \(7x + 4 = 3x - 5\) корінь дорівнює \(-2{,}25\), і вгадати його неможливо. Алгоритм дає відповідь завжди, незалежно від того, ціле число вийде чи дробове.
Чи можна ділити обидві частини рівняння на \(x\)?
Ні. Ділити дозволено лише на число, відмінне від нуля, а про \(x\) ми заздалегідь не знаємо, чи не дорівнює він нулю. Такий поділ може «загубити» корінь \(x = 0\). Замість цього доданки зі змінною переносять в один бік і виносять \(x\) за дужки.
