Нерівності та числові проміжки

Нерівності та числові проміжки

Нерівності — це тема 9 класу, у якій техніка майже така сама, як у рівняннях, але одна деталь усе перевертає: множення чи ділення на від'ємне число змінює знак нерівності. Саме на цьому місці втрачають бали на ДПА й НМТ навіть ті учні, які рівняння розв'язують бездоганно. Друга частина теми — числові проміжки: навчитися записувати відповідь не словами, а стандартним позначенням і бачити її на числовій прямій. На заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо ці дві речі окремо, бо помилки в них теж різні за природою.

Що таке нерівність зі змінною

Означення. Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність вигляду \(ax + b > 0\) (або зі знаками \(<\), \(\geq\), \(\leq\)), де \(x\) — змінна, а \(a\) і \(b\) — задані числа.

Знаки \(>\) і \(<\) називають строгими, знаки \(\geq\) і \(\leq\) — нестрогими. Різниця не косметична: у нестрогій нерівності сама межа входить у відповідь, у строгій — ні. Саме звідси береться різниця між круглою і квадратною дужкою, про яку йтиметься нижче.

Означення. Розв'язком нерівності називають будь-яке значення змінної, при підстановці якого нерівність перетворюється на правильну числову нерівність. Розв'язати нерівність — означає знайти усі її розв'язки.

Ось перша принципова відмінність від лінійних рівнянь: рівняння зазвичай має один корінь, а нерівність — нескінченну множину розв'язків. Тому й відповідь виглядає інакше: не одне число, а цілий проміжок числової прямої.

Властивості числових нерівностей

Розв'язування нерівності — ланцюжок замін на рівносильну, простішу. Дозволені заміни описують три властивості.

Властивість 1. До обох частин нерівності можна додати одне й те саме число (або відняти його) — знак нерівності не змінюється. Якщо \(a > b\), то \(a + c > b + c\).

Наслідок — звичне правило перенесення: доданок можна перенести з однієї частини в іншу, змінивши його знак на протилежний. Знак самої нерівності при цьому лишається тим самим.

Властивість 2. Обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме додатне число — знак нерівності не змінюється. Якщо \(a > b\) і \(c > 0\), то \(ac > bc\).

Властивість 3. Обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме від'ємне число, але при цьому знак нерівності змінюється на протилежний. Якщо \(a > b\) і \(c < 0\), то \(ac < bc\).

Головне правило теми: знак від'ємного множника

Третю властивість варто винести окремо, бо це джерело приблизно половини всіх помилок у темі. Перевірмо її на конкретних числах, а не на буквах.

Візьмемо правильну нерівність \(5 > 2\) і помножимо обидві частини на \(-3\). Якби знак зберігався, ми отримали б \(-15 > -6\) — а це неправда, бо \(-15\) лежить на числовій прямій лівіше за \(-6\). Правильний результат: \(-15 < -6\), знак перевернувся.

Причина геометрична: множення на від'ємне дзеркально відображає числову пряму відносно нуля, і те, що було правіше, стає лівіше. Якщо розташування від'ємних чисел ще плутається, поверніться до статті про від'ємні числа та модуль.

Запам'ятати. Ділимо на \(-4\) — знак \(\geq\) стає \(\leq\). Множимо на \(-1\) — знак \(<\) стає \(>\). Додаємо або віднімаємо будь-яке число, навіть від'ємне, — знак не чіпаємо.

Правило стосується лише множення й ділення: перенесення доданка \(-8\) в іншу частину знак нерівності не перевертає.

Алгоритм розв'язування лінійної нерівності

• Крок 1. Якщо є дроби — помножити обидві частини на спільний знаменник (він додатний, тому знак не змінюється).
• Крок 2. Розкрити дужки, стежачи за знаком перед дужкою.
• Крок 3. Доданки зі змінною перенести в одну частину, числа — в іншу, змінюючи знак кожного перенесеного доданка.
• Крок 4. Звести подібні. Нерівність набуде вигляду \(ax > c\) (або з іншим знаком).
• Крок 5. Поділити обидві частини на \(a\). Якщо \(a < 0\) — перевернути знак нерівності.
• Крок 6. Записати відповідь у вигляді числового проміжку й перевірити її підстановкою контрольного числа.

Крок 6 — не формальність, а найдешевша страховка. Візьміть будь-яке число з отриманого проміжку, підставте у вихідну нерівність і переконайтеся, що вона правильна. Потім візьміть число ззовні проміжку — нерівність має стати неправильною. Дві підстановки ловлять і загублений знак, і перевернутий не в той бік.

Числові проміжки: позначення й зображення

Відповідь до нерівності зручно записувати не словами, а проміжком. Усе позначення тримається на одному правилі.

Правило дужок. Квадратна дужка означає, що межа входить у проміжок (нестрогий знак \(\leq\), \(\geq\)). Кругла дужка означає, що межа не входить (строгий знак \(<\), \(>\)). Біля нескінченності \(\infty\) дужка завжди кругла.

На числовій прямій те саме показують точками: зафарбована точка — межа входить (квадратна дужка), порожня (виколота) точка — не входить (кругла дужка). Сам проміжок штрихують.

Основні види проміжків для \(a < b\):

• Відрізок \([a;\,b]\) — множина чисел \(x\), для яких \(a \leq x \leq b\). Обидві межі входять, обидві точки зафарбовані.
• Інтервал \((a;\,b)\) — множина чисел \(x\), для яких \(a < x < b\). Жодна межа не входить, обидві точки виколоті.
• Півінтервал \([a;\,b)\) — це \(a \leq x < b\); і \((a;\,b]\) — це \(a < x \leq b\). Одна межа входить, друга ні.
• Промінь \([a;\,+\infty)\) — це \(x \geq a\); \((-\infty;\,b]\) — це \(x \leq b\). Кажуть також «числовий промінь».
• Відкритий промінь \((a;\,+\infty)\) — це \(x > a\); \((-\infty;\,b)\) — це \(x < b\).
• Уся пряма \((-\infty;\,+\infty)\) — будь-яке дійсне число.

Як перевести відповідь у проміжок. Дивимось, куди «дивиться» знак. \(x > 4\) — числа праворуч від \(4\), межа не входить: \((4;\,+\infty)\). \(x \leq -2\) — числа ліворуч від \(-2\), межа входить: \((-\infty;\,-2]\).

Порядок запису завжди від меншого до більшого: спочатку ліва межа, потім права. Запис \((+\infty;\,4)\) не має сенсу.

Приклади з розв'язанням

Приклад 1. Базова нерівність. Розв'язати \(5x - 3 > 2x + 9\).

Переносимо \(2x\) ліворуч, \(-3\) праворуч:

\[ 5x - 2x > 9 + 3 \] \[ 3x > 12 \]

Ділимо на \(3\). Число додатне, тому знак зберігається:

\[ x > 4 \]

Перевірка. Візьмемо \(x = 5\) з проміжку: ліворуч \(5 \cdot 5 - 3 = 22\), праворуч \(2 \cdot 5 + 9 = 19\), і \(22 > 19\) — правильно. Візьмемо \(x = 3\) ззовні: ліворуч \(12\), праворуч \(15\), і \(12 > 15\) — неправильно, як і має бути. Межа \(x = 4\) дає \(17\) і \(17\) — рівність, тому \(4\) не входить.

Відповідь: \(x \in (4;\,+\infty)\).

Приклад 2. Ділення на від'ємне число. Розв'язати \(7 - 4x \geq 15\).

Переносимо \(7\) праворуч:

\[ -4x \geq 15 - 7 \] \[ -4x \geq 8 \]

Тепер ділимо обидві частини на \(-4\). Число від'ємне, тому знак \(\geq\) стає \(\leq\):

\[ x \leq -2 \]

Перевірка. При \(x = -3\): \(7 - 4 \cdot (-3) = 19 \geq 15\) — правильно. При \(x = 0\): \(7 \geq 15\) — неправильно. Межа \(x = -2\) дає \(7 + 8 = 15\), а \(15 \geq 15\) правильно, тому \(-2\) входить у відповідь і дужка квадратна.

Відповідь: \(x \in (-\infty;\,-2]\).

Приклад 3. Нерівність із дужками. Розв'язати \(3(x - 2) - 5 < 2(x + 4)\).

\[ 3x - 6 - 5 < 2x + 8 \] \[ 3x - 11 < 2x + 8 \] \[ 3x - 2x < 8 + 11 \] \[ x < 19 \]

Ділити тут не довелося, коефіцієнт при \(x\) уже дорівнює \(1\). Перевірка при \(x = 18\): ліворуч \(3 \cdot 16 - 5 = 43\), праворуч \(2 \cdot 22 = 44\), і \(43 < 44\) — правильно. При \(x = 19\) обидві частини дорівнюють \(46\), рівність — тому межа не входить.

Відповідь: \(x \in (-\infty;\,19)\).

Приклад 4. Дробові коефіцієнти. Розв'язати \(\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{4} \geq \dfrac{1}{2}\).

Найменший спільний знаменник чисел \(3\), \(4\) і \(2\) дорівнює \(12\). Множимо на \(12\) кожен доданок обох частин. Число \(12\) додатне — знак нерівності не змінюється:

\[ 4(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 6 \] \[ 8x - 4 - 3x - 6 \geq 6 \] \[ 5x - 10 \geq 6 \] \[ 5x \geq 16 \] \[ x \geq \frac{16}{5} = 3{,}2 \]

Перевірка при \(x = 4\): \(\dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{4} = \dfrac{5}{6}\), а \(\dfrac{5}{6} \geq \dfrac{1}{2}\) — правильно. При \(x = 3\): \(\dfrac{5}{3} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{12}\), і \(\dfrac{5}{12} \geq \dfrac{1}{2}\) — неправильно. На межі \(x = 3{,}2\) ліва частина дорівнює точно \(\dfrac{1}{2}\), тому межа входить. Якщо дії з дробами гальмують, варто повторити звичайні дроби.

Відповідь: \(x \in [3{,}2;\,+\infty)\).

Приклад 5. Знак перевертається на кроці ділення. Розв'язати \(-2(x - 3) > 5x - 8\).

\[ -2x + 6 > 5x - 8 \] \[ -2x - 5x > -8 - 6 \] \[ -7x > -14 \]

Ділимо на \(-7\) і перевертаємо знак:

\[ x < 2 \]

Тут легко зробити подвійну помилку: спершу забути перевернути знак, а потім ще й неправильно поділити \(-14\) на \(-7\). Правильно: \(-14 : (-7) = 2\), знак \(>\) стає \(<\). Перевірка при \(x = 1\): ліворуч \(-2 \cdot (-2) = 4\), праворуч \(5 - 8 = -3\), і \(4 > -3\) — правильно. При \(x = 3\): ліворуч \(0\), праворуч \(7\), і \(0 > 7\) — неправильно. При \(x = 2\) обидві частини дорівнюють \(2\), тобто рівність — межа не входить.

Відповідь: \(x \in (-\infty;\,2)\).

Приклад 6. Подвійна нерівність і цілі розв'язки. Розв'язати \(-3 < \dfrac{2x - 1}{3} \leq 1\) і вказати всі цілі розв'язки.

Множимо на \(3\) всі три частини одразу (число додатне, знаки зберігаються):

\[ -9 < 2x - 1 \leq 3 \]

Додаємо \(1\) до всіх трьох частин:

\[ -8 < 2x \leq 4 \]

Ділимо всі три частини на \(2\):

\[ -4 < x \leq 2 \]

Ліва межа зі строгим знаком — кругла дужка, права з нестрогим — квадратна. Отримали півінтервал \((-4;\,2]\). Перевірка меж: при \(x = -4\) середня частина дорівнює \(\dfrac{-9}{3} = -3\), а \(-3 < -3\) неправильно — \(-4\) не входить. При \(x = 2\) середня частина дорівнює \(\dfrac{3}{3} = 1\), а \(1 \leq 1\) правильно — \(2\) входить. Цілі числа з проміжку \((-4;\,2]\): \(-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\) — усього шість.

Відповідь: \(x \in (-4;\,2]\); цілі розв'язки: \(-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\).

Типові помилки

• Не перевернули знак при діленні на від'ємне. З \(-4x \geq 8\) пишуть \(x \geq -2\) замість правильного \(x \leq -2\). Це помилка номер один у темі. Контроль простий: підставте \(x = 0\) у вихідну нерівність \(7 - 4x \geq 15\) — отримаємо \(7 \geq 15\), неправда, отже нуль у відповідь входити не повинен, а в записі \(x \geq -2\) він входить.
• Перевернули знак при перенесенні доданка. Зворотна крайність: з \(5x - 3 > 2x + 9\) пишуть \(3x < 12\). Перенесення — це додавання числа до обох частин, знак нерівності воно не змінює ніколи. Перевертає лише множення чи ділення на від'ємне.
• Переплутані круглі й квадратні дужки. Відповідь \(x \leq -2\) записують як \((-\infty;\,-2)\), втрачаючи саму точку \(-2\). Нестрогий знак — квадратна дужка, крапка на прямій зафарбована.
• Квадратна дужка біля нескінченності. Запис \([3;\,+\infty]\) неправильний за будь-якого знака: біля \(\infty\) дужка завжди кругла.
• Проміжок записаний у зворотному порядку. Замість \((-\infty;\,2)\) пишуть \((2;\,-\infty)\). Зліва завжди менша межа.
• Неповне множення на спільний знаменник. У нерівності з дробами множать лише дробові доданки, а цілі забувають. Множити треба кожен доданок обох частин.
• Обидві частини поділили на вираз зі змінною. Ділити на \(x\) не можна: ми не знаємо його знака, а отже не знаємо, перевертати знак нерівності чи ні.

Висновок

Тема тримається на двох навичках. Перша — механіка розв'язування, майже ідентична рівнянням, з єдиним винятком у вигляді від'ємного множника. Друга — акуратний запис відповіді проміжком: кругла дужка для строгого знака, квадратна для нестрогого, кругла біля нескінченності завжди. Наступний крок у програмі 9 класу — системи нерівностей, де кожну нерівність розв'язують окремо, а потім шукають переріз проміжків. Без упевненого володіння проміжками там не обійтися.

Якщо знак нерівності досі «живе своїм життям», найшвидший спосіб це закрити — розібрати десяток прикладів із проговорюванням уголос, чому знак у кожному кроці лишився або перевернувся. Запишіться на пробне заняття: викладач Tutor-Math за одну зустріч побачить, у якому саме місці ламається логіка, і складе план роботи.

Часті питання

Коли знак нерівності змінюється на протилежний?

Лише в одному випадку: коли обидві частини нерівності множать або ділять на від'ємне число. При додаванні чи відніманні будь-якого числа, а також при перенесенні доданків знак нерівності залишається тим самим.

Чим відрізняється відрізок від інтервалу?

Відрізок \([a;\,b]\) містить обидві межі, йому відповідають нестрогі знаки \(a \leq x \leq b\), а на числовій прямій крайні точки зафарбовані. Інтервал \((a;\,b)\) меж не містить, знаки строгі \(a < x < b\), точки виколоті. Якщо одна межа входить, а друга ні — це півінтервал.

Чому біля нескінченності завжди кругла дужка?

Тому що \(\infty\) — не число, а позначення необмеженості проміжку. Не існує числа, яке дорівнює нескінченності, тому й «включити» цю межу неможливо. Запис виду \([2;\,+\infty]\) вважається помилкою.

Скільки розв'язків має лінійна нерівність?

Зазвичай нескінченно багато — цілий проміжок. Але бувають і крайні випадки: якщо після зведення подібних змінна зникає й лишається правильна числова нерівність (наприклад \(0 > -5\)), розв'язком є будь-яке число, тобто \((-\infty;\,+\infty)\). Якщо ж лишається неправильна нерівність (наприклад \(0 > 5\)), розв'язків немає.