Перетворення звичайного дробу в десятковий і навпаки
Звичайний і десятковий дріб — це два різні способи записати одне й те саме число. Запис \(\frac{3}{4}\) і запис \(0{,}75\) означають рівно одну величину, просто «одягнену» в різну форму. У 6 класі школяр уперше вчиться вільно переходити між цими формами, і саме тут з'являється несподіванка: одні дроби перетворюються в короткий охайний десятковий, а інші — у нескінченний періодичний, який ніколи не закінчується. На заняттях у Tutor-Math ми завжди починаємо не з правил, а з питання «чому так виходить» — бо коли учень розуміє причину, він перестає плутати випадки й починає передбачати відповідь ще до обчислень.
Розберемо тему повністю: як переводити в обидва боки, за яким критерієм дріб дає скінченний десятковий, як записувати період і як «згорнути» періодичний дріб назад у звичайний.
Звичайний дріб у десятковий: ділення чисельника на знаменник
Дробова риска — це знак ділення. Тому найуніверсальніший спосіб такий:
Щоб перетворити звичайний дріб у десятковий, поділи чисельник на знаменник «куточком», доводячи ділення до потрібної кількості знаків після коми.
Візьмемо \(\frac{3}{4}\). Ділимо 3 на 4. Ціла частина — 0, ставимо кому й далі зносимо нулі: 30 : 4 = 7 (остача 2), 20 : 4 = 5 (остача 0). Ділення завершилося:
\[ \frac{3}{4} = 0{,}75 \]
Так само \(\frac{1}{8} = 0{,}125\), \(\frac{5}{16} = 0{,}3125\). Метод працює завжди — але не завжди закінчується. Спробуйте поділити 1 на 3 і побачите, що остача 1 повторюється нескінченно.
Якщо базові поняття чисельника, знаменника й скорочення поки нечіткі, варто освіжити їх у матеріалі про звичайні дроби — без цього фундаменту тема перетворень «попливе».
Метод домноження знаменника до 10, 100 або 1000
Є другий спосіб, значно швидший, коли він застосовний. Десятковий дріб — це фактично дріб зі знаменником \(10\), \(100\), \(1000\) і т. д. Отже, якщо знаменник можна домножити до круглого числа, ділення взагалі не потрібне.
Домнож чисельник і знаменник на таке число, щоб знаменник став \(10^n\). Тоді чисельник — це просто цифри після коми.
Приклади:
- \(\frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100} = 0{,}28\)
- \(\frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{45}{100} = 0{,}45\)
- \(\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0{,}375\)
- \(\frac{11}{50} = \frac{11 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{22}{100} = 0{,}22\)
А от для \(\frac{1}{3}\) або \(\frac{5}{6}\) підібрати такий множник неможливо — і це не через брак кмітливості. Це принципова неможливість, і наступний розділ пояснює чому.
Ключове: коли дріб дає скінченний десятковий, а коли періодичний
Це найважливіша ідея всієї теми. Число \(10\) розкладається на прості множники як \(10 = 2 \cdot 5\). Відповідно \(100 = 2^2 \cdot 5^2\), \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\) — у будь-якому степені десятки є лише двійки й п'ятірки, і нічого більше.
Щоб знаменник можна було домножити до \(10^n\), він мусить бути дільником якогось \(10^n\). А дільник числа, що складається лише з двійок і п'ятірок, сам може містити лише двійки й п'ятірки. Звідси критерій:
Критерій. Нескоротний дріб \(\frac{a}{b}\) перетворюється у скінченний десятковий тоді й лише тоді, коли розклад знаменника \(b\) на прості множники містить лише двійки й п'ятірки, тобто \(b = 2^m \cdot 5^k\). Якщо є хоч один інший простий множник (3, 7, 11, 13, …) — десятковий дріб буде періодичним.
Слово «нескоротний» тут критично важливе. Дріб треба спершу скоротити, і лише потім дивитися на знаменник. Приклад: \(\frac{6}{15}\) — у знаменнику є трійка, здається, буде період. Але \(\frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0{,}4\) — скінченний. Трійка скоротилася й зникла. Перевіряти дільники швидко допомагають ознаки подільності.
Подивимося критерій у дії:
- \(40 = 2^3 \cdot 5\) — лише 2 і 5 \(\Rightarrow\) скінченний: \(\frac{17}{40} = 0{,}425\)
- \(16 = 2^4\) \(\Rightarrow\) скінченний: \(\frac{5}{16} = 0{,}3125\)
- \(50 = 2 \cdot 5^2\) \(\Rightarrow\) скінченний: \(\frac{11}{50} = 0{,}22\)
- \(6 = 2 \cdot 3\) — є трійка \(\Rightarrow\) періодичний: \(\frac{5}{6} = 0{,}8(3)\)
- \(12 = 2^2 \cdot 3\) — є трійка \(\Rightarrow\) періодичний: \(\frac{7}{12} = 0{,}58(3)\)
- \(7\) — просте, не 2 і не 5 \(\Rightarrow\) періодичний: \(\frac{1}{7} = 0{,}(142857)\)
- \(11\) \(\Rightarrow\) періодичний: \(\frac{2}{11} = 0{,}(18)\)
Є й приємний бонус: критерій підказує кількість знаків після коми. Якщо \(b = 2^m \cdot 5^k\), то знаків буде рівно стільки, скільки дорівнює більший із показників \(m\) і \(k\). Для \(40 = 2^3 \cdot 5^1\) більший показник — 3, і справді \(0{,}425\) має три знаки. Для \(16 = 2^4\) — чотири знаки: \(0{,}3125\).
Періодичні дроби: чистий і мішаний період
Якщо ділення не закінчується, цифри після коми починають повторюватися групою. Ця група називається періодом і записується в круглих дужках.
\[ \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3) \qquad \frac{2}{11} = 0{,}181818\ldots = 0{,}(18) \]
Періодичні дроби бувають двох типів:
- Чистий періодичний — період починається одразу після коми: \(\frac{1}{3} = 0{,}(3)\), \(\frac{4}{9} = 0{,}(4)\), \(\frac{2}{11} = 0{,}(18)\), \(\frac{1}{7} = 0{,}(142857)\), \(\frac{41}{333} = 0{,}(123)\).
- Мішаний періодичний — між комою й періодом стоять «непередперіодичні» цифри: \(\frac{5}{6} = 0{,}8(3)\), \(\frac{1}{6} = 0{,}1(6)\), \(\frac{7}{12} = 0{,}58(3)\), \(\frac{1}{12} = 0{,}08(3)\), \(\frac{7}{30} = 0{,}2(3)\).
Тип теж читається зі знаменника. Якщо в нескоротному дробі знаменник зовсім не має двійок і п'ятірок (9, 11, 7, 333) — період чистий. Якщо двійки чи п'ятірки є, але поряд з іншими множниками (6, 12, 30, 44) — період мішаний, а кількість цифр до періоду дорівнює більшому показнику при 2 чи 5. Для \(12 = 2^2 \cdot 3\) показник двійки — 2, тому \(\frac{1}{12} = 0{,}08(3)\): дві цифри до періоду.
Десятковий дріб у звичайний
Скінченний десятковий. Тут усе просто й механічно:
Запиши цифри після коми в чисельник, а в знаменник — одиницю з такою кількістю нулів, скільки було цифр після коми. Потім скороти дріб.
\[ 0{,}28 = \frac{28}{100} = \frac{7}{25} \qquad 0{,}375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8} \qquad 0{,}0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16} \]
Якщо є ціла частина, її або залишають, отримуючи мішане число, або переводять у неправильний дріб: \(1{,}24 = 1\frac{24}{100} = 1\frac{6}{25} = \frac{31}{25}\). Техніку скорочення й дій з такими дробами детально розібрано в статті про види звичайних дробів і операції з ними.
Періодичний десятковий. Тут потрібен прийом із множенням на \(10^n\). Ідея: домножити число так, щоб нескінченні «хвости» у двох виразах збіглися й при відніманні знищилися.
Познач дріб через \(x\). Домнож на \(10^n\) так, щоб кома опинилася перед періодом, і на \(10^{n+p}\) так, щоб кома стала після першого періоду (\(p\) — довжина періоду). Відніми перше від другого — періоди зникнуть.
Для чистого періоду це дає знайоме правило: у чисельнику — період, у знаменнику — стільки дев'яток, скільки цифр у періоді. \(0{,}(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\), \(0{,}(72) = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}\), \(0{,}(123) = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}\).
Приклади з покроковим розв'язанням
Приклад 1. Перетворити \(\frac{17}{40}\) у десятковий.
Крок 1. Розкладаємо знаменник: \(40 = 2^3 \cdot 5\). Лише двійки й п'ятірка, отже, дріб скінченний.
Крок 2. Більший показник — 3, тому доводимо знаменник до \(1000\): множник \(1000 : 40 = 25\).
Крок 3. \(\frac{17}{40} = \frac{17 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{425}{1000} = 0{,}425\).
Відповідь: \(0{,}425\).
Приклад 2. Перетворити \(\frac{5}{6}\) у десятковий.
Крок 1. \(6 = 2 \cdot 3\). Є множник 3 — дріб буде періодичним. Двійка присутня в першому степені, тому одна цифра стоятиме до періоду (період мішаний).
Крок 2. Ділимо 5 на 6: \(50 : 6 = 8\), остача 2. Далі \(20 : 6 = 3\), остача 2. Остача повторилася — трійка піде нескінченно.
Крок 3. Записуємо: \(0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)\).
Відповідь: \(0{,}8(3)\).
Приклад 3. Перетворити \(\frac{1}{7}\) у десятковий.
Крок 1. \(7\) — просте число, відмінне від 2 і 5, тож період буде, причому чистий.
Крок 2. Ділимо: остачі йдуть 1, 3, 2, 6, 4, 5, а цифри — 1, 4, 2, 8, 5, 7. Після шостого кроку остача знову 1, і цикл замикається.
Крок 3. \(\frac{1}{7} = 0{,}142857142857\ldots = 0{,}(142857)\). Довжина періоду — 6 цифр.
Відповідь: \(0{,}(142857)\).
Приклад 4. Перетворити \(0{,}375\) у звичайний дріб.
Крок 1. Після коми три цифри, тому знаменник \(1000\): \(0{,}375 = \frac{375}{1000}\).
Крок 2. Скорочуємо на 25: \(\frac{375}{1000} = \frac{15}{40}\), потім на 5: \(\frac{15}{40} = \frac{3}{8}\).
Крок 3. Перевірка: \(3 : 8 = 0{,}375\).
Відповідь: \(\frac{3}{8}\).
Приклад 5. Перетворити \(0{,}5(81)\) у звичайний дріб.
Крок 1. Нехай \(x = 0{,}5818181\ldots\) До періоду одна цифра, довжина періоду — дві.
Крок 2. \(10x = 5{,}818181\ldots\) (кома перед періодом), \(1000x = 581{,}818181\ldots\) (кома після першого періоду).
Крок 3. Віднімаємо: \(1000x - 10x = 581{,}8181\ldots - 5{,}8181\ldots = 576\), тобто \(990x = 576\).
Крок 4. \(x = \frac{576}{990} = \frac{32}{55}\) (скоротили на 18). Перевірка діленням: \(32 : 55 = 0{,}5818\ldots\)
Відповідь: \(\frac{32}{55}\).
Типові помилки
- Застосовувати критерій до нескороченого дробу. У \(\frac{6}{15}\) знаменник має трійку, але після скорочення виходить \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) — скінченний. Спочатку скорочення, потім розклад.
- Плутати кому й крапку в записі. В українській школі десятковий дріб пишеться через кому: \(0{,}75\), а не \(0.75\).
- Округлювати замість запису періоду. \(\frac{1}{3}\) — це \(0{,}(3)\), а не \(0{,}33\). Округлення допустиме лише тоді, коли його прямо просять у завданні.
- Ставити в дужки не той фрагмент. У \(\frac{5}{6} = 0{,}8(3)\) вісімка в період не входить. Запис \(0{,}(83)\) означав би зовсім інше число — \(\frac{83}{99}\).
- Забувати нулі при переведенні в звичайний дріб. \(0{,}07 = \frac{7}{100}\), а не \(\frac{7}{10}\): цифр після коми дві, отже, і нулів два.
- Не скорочувати кінцевий результат. Відповідь \(\frac{375}{1000}\) формально правильна, але за нескорочений дріб знімають бали.
- Вважати, що довжина періоду дорівнює знаменнику. У \(\frac{1}{7}\) період має 6 цифр, у \(\frac{2}{11}\) — лише 2. Зв'язок є, але він не такий прямий.
Висновок
Перетворення дробів — тема, де майже все тримається на одній ідеї: десяткова система побудована на числі \(10 = 2 \cdot 5\). Знаменник, зібраний тільки з двійок і п'ятірок, «вписується» в неї й дає скінченний дріб. Будь-який інший простий множник породжує період. Учень, який засвоїв цей критерій, більше не гадає й не зубрить окремі випадки — він дивиться на знаменник і відразу знає, чого чекати.
Ця тема ще й закладає базу під 7–9 класи: раціональні числа, дії з десятковими дробами, відсотки, наближені обчислення. Прогалина тут відгукується роками. Якщо школяр плутає типи періоду, губить нулі або механічно округлює замість коректного запису — запишіться на пробне заняття в Tutor-Math. Викладач за одну зустріч діагностує реальну причину помилок і вибудує коротку послідовність вправ, яка закриє прогалину, а не замаскує її.
Чому \(\frac{1}{3}\) не можна записати точним десятковим дробом?
Бо знаменник 3 не є добутком двійок і п'ятірок. Скінченний десятковий дріб — це завжди дріб зі знаменником \(10^n = 2^n \cdot 5^n\), а трійку в такий знаменник не «вмістити» жодним домноженням. Тому ділення 1 на 3 ніколи не завершується: \(\frac{1}{3} = 0{,}(3)\).
Як швидко визначити, чи буде період, не виконуючи ділення?
Скоротіть дріб і розкладіть знаменник на прості множники. Якщо там лише 2 і 5 — десятковий дріб скінченний. Якщо є хоч один інший простий множник — буде період. Наприклад, \(\frac{9}{20}\): \(20 = 2^2 \cdot 5\), отже, скінченний (\(0{,}45\)); \(\frac{7}{12}\): \(12 = 2^2 \cdot 3\), отже, періодичний (\(0{,}58(3)\)).
Чим чистий періодичний дріб відрізняється від мішаного?
У чистого період починається одразу після коми: \(0{,}(18) = \frac{2}{11}\). У мішаного між комою й періодом є інші цифри: \(0{,}8(3) = \frac{5}{6}\). Тип визначається знаменником: якщо він не містить 2 і 5 зовсім — період чистий; якщо містить їх разом з іншими множниками — мішаний.
Як перевести періодичний дріб назад у звичайний?
Позначте дріб через \(x\) і домножте на такі степені десятки, щоб періоди в двох виразах збіглися, а потім відніміть. Для чистого періоду є коротке правило: чисельник — це період, знаменник — стільки дев'яток, скільки цифр у періоді. Наприклад, \(0{,}(72) = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}\).
