Піраміда: об'єм і площа поверхні
Піраміда — тема, на якій стереометрія перестає бути «схожою на планіметрію». Формул тут усього дві: \(S_{біч} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot l\) і \(V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h\). Але щоб ними скористатися, треба спершу знайти апофему або висоту — а вони майже ніколи не дані прямо. У Tutor-Math ми вчимо одного прийому, який закриває більшість задач про піраміду: побачити всередині неї прямокутний трикутник і застосувати теорему Піфагора. Розберімо означення, апофему, обидві формули, зрізану піраміду й тетраедр — із шістьма прикладами, порахованими до кінця.
Означення піраміди та її елементи
Пірамідою називають многогранник, одна грань якого — многокутник (основа), а всі інші грані — трикутники зі спільною вершиною, що не лежить у площині основи.
Ця спільна точка — вершина піраміди. Трикутні грані утворюють бічну поверхню, їхні спільні сторони — бічні ребра.
Висота піраміди \(h\) — перпендикуляр, опущений із вершини на площину основи. Саме на площину: основа висоти може лежати всередині основи, на її стороні або взагалі поза нею, якщо піраміда сильно «завалена». Те, що такий перпендикуляр єдиний, — наслідок аксіом стереометрії.
Піраміду називають за основою: трикутна, чотирикутна, шестикутна, \(n\)-кутна. У \(n\)-кутної піраміди \(n+1\) вершина, \(2n\) ребер і \(n+1\) грань.
Правильна піраміда й апофема
Правильною називають піраміду, в основі якої лежить правильний многокутник, а висота проходить через центр цього многокутника.
Одна умова без другої не працює. Правильний шестикутник в основі ще нічого не гарантує: якщо вершина зміщена вбік, піраміда правильною не є.
З означення випливають три властивості, на яких тримаються всі задачі:
- усі бічні ребра рівні між собою;
- усі бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники;
- усі висоти цих трикутників, проведені з вершини піраміди, рівні між собою.
Апофема \(l\) правильної піраміди — це висота бічної грані, проведена з вершини піраміди до сторони основи.
Ось місце, де щороку губляться бали. Апофема — це не бічне ребро. Порівняйте:
- Бічне ребро йде з вершини піраміди у вершину основи. Це ребро многогранника, реальна лінія на каркасі.
- Апофема йде з вершини піраміди в середину сторони основи. Це відрізок усередині бічної грані, на каркасі його не видно.
Апофема завжди коротша за бічне ребро: вона є катетом у прямокутному трикутнику, гіпотенуза якого — бічне ребро, а другий катет — половина сторони основи. Якщо позначити бічне ребро \(b\), апофему \(l\), сторону основи \(a\), то
\[b^2 = l^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2.\]Практичне правило: «висота бічної грані» або «двогранний кут при основі» — це апофема; «кут між бічним ребром і основою» — це ребро. Плутанина цих слів дає відповідь, схожу на правильну, і тому особливо підступну.
Прямокутні трикутники всередині піраміди — головний прийом
Це найважливіший розділ статті. У задачі про правильну піраміду майже завжди дано дві величини, а треба третю — і зв'язок між ними дає один із двох прямокутних трикутників. Обидва мають спільний катет — висоту \(h\), і обидва лежать у вертикальних площинах.
Позначимо: \(r\) — радіус вписаного в основу кола (відстань від центра до середини сторони), \(R\) — радіус описаного кола (відстань від центра до вершини).
Трикутник 1 (через апофему): катети — висота \(h\) і радіус \(r\), гіпотенуза — апофема \(l\): \[l^2 = h^2 + r^2.\] Трикутник 2 (через бічне ребро): катети — висота \(h\) і радіус \(R\), гіпотенуза — бічне ребро \(b\): \[b^2 = h^2 + R^2.\]
Для квадрата зі стороною \(a\): \(r = \dfrac{a}{2}\), \(R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\). Для правильного трикутника зі стороною \(a\): \(r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}\), \(R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}\), причому \(R = 2r\).
Кути теж живуть у цих трикутниках. Кут нахилу бічної грані до основи \(\beta\) — це кут трикутника 1: \(\cos\beta = \dfrac{r}{l}\), \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{h}{r}\). Кут нахилу бічного ребра \(\alpha\) — кут трикутника 2: \(\cos\alpha = \dfrac{R}{b}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{h}{R}\). Оскільки \(R > r\), маємо \(\alpha < \beta\): ребро нахилене пологіше, ніж грань.
Алгоритм для будь-якої задачі: намалювати основу окремо, знайти \(r\) і \(R\), потім вибрати той із двох трикутників, у якому дві величини вже відомі.
Площа поверхні
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему: \[S_{біч} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot l.\] Повна поверхня — бічна плюс основа (одна, не дві!): \[S_{повн} = S_{біч} + S_{осн}.\]
Формула виводиться за одну секунду. Бічна поверхня складається з \(n\) рівних трикутників; площа кожного — половина сторони основи на апофему: \(\frac{1}{2}a \cdot l\). Сума всіх: \(\frac{1}{2}l \cdot (a + a + \dots) = \frac{1}{2}l \cdot P_{осн}\). Це той самий підхід, що й у площі трикутника, тільки повторений \(n\) разів.
Важливе застереження: формула працює лише для правильної піраміди, бо тільки там усі апофеми однакові. Для довільної піраміди доводиться рахувати кожну грань окремо.
Об'єм піраміди і звідки береться одна третина
Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту: \[V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h.\]
Порівняйте з призмою: там \(V = S_{осн} \cdot h\). Отже, піраміда становить рівно третину призми з такою самою основою й такою самою висотою. Це не наближення й не збіг.
Найпростіше побачити це на трикутній призмі. Її можна розрізати рівно на три тетраедри, і виявляється, що всі три мають однаковий об'єм — попарно вони мають рівні основи й спільні висоти. Три однакові частини складають призму, отже кожна дорівнює \(\frac{1}{3}S_{осн}h\). Довільна \(n\)-кутна піраміда розбивається на трикутні, тому коефіцієнт \(\frac{1}{3}\) переноситься на всі піраміди — зокрема й на похилі.
Друга наочна модель — куб із ребром \(a\). З'єднайте його центр з усіма вершинами: куб розпадеться на шість однакових пірамід з висотою \(\frac{a}{2}\). Об'єм кожної має дорівнювати \(\frac{a^3}{6}\), і формула це підтверджує: \(\frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}\).
Тетраедр
Тетраедр — трикутна піраміда, найпростіший многогранник узагалі: 4 вершини, 6 ребер, 4 грані. Будь-яку з чотирьох граней можна вважати основою — це зручно, коли одна з них прямокутна або її площа рахується легше.
Правильний тетраедр — той, у якого всі шість ребер рівні, тобто всі грані є рівносторонніми трикутниками. Для ребра \(a\):
\[S_{повн} = a^2\sqrt{3}, \qquad h = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}, \qquad V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}.\]Зверніть увагу: правильний тетраедр — правильна трикутна піраміда, але не навпаки. У правильної трикутної піраміди бічні ребра можуть бути якими завгодно довгими.
Зрізана піраміда
Зрізаною пірамідою називають частину піраміди між основою і січною площиною, паралельною основі.
Основи зрізаної піраміди — подібні многокутники, бічні грані — трапеції. У правильної зрізаної піраміди апофема — це висота бічної трапеції, і вона знаходиться з прямокутного трикутника з катетами \(h\) і \(\frac{a-b}{2}\), де \(a\) і \(b\) — сторони основ.
\[S_{біч} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l, \qquad V = \frac{h}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right).\]Формула об'єму виглядає страшно, але має просту перевірку. Якщо \(S_2 = S_1\), виходить \(\frac{h}{3} \cdot 3S_1 = S_1 h\) — об'єм призми. Якщо \(S_2 = 0\), виходить \(\frac{1}{3}S_1 h\) — об'єм повної піраміди. Обидва граничні випадки збігаються, отже формула записана правильно.
Приклад 1. Апофема, ребро, поверхня й об'єм
У правильній чотирикутній піраміді сторона основи \(a = 10\) см, висота \(h = 12\) см. Знайти апофему, бічне ребро, повну поверхню й об'єм.
Основа — квадрат, тому \(r = \frac{a}{2} = 5\) см, \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\) см.
Трикутник 1: \(l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\) см.
Трикутник 2: \(b = \sqrt{12^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 + 50} = \sqrt{194} \approx 13{,}93\) см. Бачите: ребро довше за апофему, як і має бути.
\(P_{осн} = 40\) см, тож \(S_{біч} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 13 = 260\) см², \(S_{осн} = 100\) см², \(S_{повн} = 360\) см².
\(V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400\) см³.
Відповідь: \(l = 13\) см, \(b = \sqrt{194} \approx 13{,}93\) см, \(S_{повн} = 360\) см², \(V = 400\) см³.
Приклад 2. Дано бічне ребро — шукаємо все інше
У правильній трикутній піраміді сторона основи \(a = 6\) см, бічне ребро \(b = 5\) см. Знайти повну поверхню й об'єм.
Апофему тут зручніше знайти не через висоту, а всередині бічної грані: вона рівнобедрена зі сторонами \(5, 5, 6\), тому \(l = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\) см.
\(S_{біч} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 4 = 36\) см². Основа — рівносторонній трикутник: \(S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\) см². Тоді \(S_{повн} = 36 + 9\sqrt{3} \approx 51{,}59\) см².
Тепер висота. Для рівностороннього трикутника \(r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\), і з трикутника 1: \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{16 - 3} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) см.
Перевірка через трикутник 2: \(R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\), тоді \(b = \sqrt{13 + 12} = \sqrt{25} = 5\) — збігається з умовою.
\(V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{13} = 3\sqrt{39} \approx 18{,}73\) см³.
Відповідь: \(S_{повн} = 36 + 9\sqrt{3} \approx 51{,}59\) см², \(V = 3\sqrt{39} \approx 18{,}73\) см³.
Приклад 3. Кут нахилу бічної грані
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом \(60^\circ\). Знайти повну поверхню й об'єм.
Кут нахилу грані живе в трикутнику 1, де прилеглий катет — це \(r = 3\) см.
\(l = \dfrac{r}{\cos 60^\circ} = \dfrac{3}{0{,}5} = 6\) см; \(h = r \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20\) см.
\(S_{біч} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 72\) см², \(S_{осн} = 36\) см², \(S_{повн} = 108\) см².
\(V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \approx 62{,}35\) см³.
Відповідь: \(S_{повн} = 108\) см², \(V = 36\sqrt{3} \approx 62{,}35\) см³.
Приклад 4. Обернена задача
Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює 48 см³, висота — 4 см. Знайти повну поверхню.
З формули об'єму: \(S_{осн} = \dfrac{3V}{h} = \dfrac{144}{4} = 36\) см², отже сторона квадрата \(a = 6\) см.
\(r = 3\) см, апофема \(l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\) см.
\(S_{біч} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60\) см², \(S_{повн} = 60 + 36 = 96\) см².
Відповідь: 96 см².
Приклад 5. Правильний тетраедр
Знайти повну поверхню й об'єм правильного тетраедра з ребром 6 см.
Усі чотири грані — рівносторонні трикутники зі стороною 6: \(S_{повн} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 36\sqrt{3} \approx 62{,}35\) см².
Висота: \(h = \dfrac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90\) см.
\(V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 18\sqrt{2} \approx 25{,}46\) см³.
Перевірка за готовою формулою: \(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2}\) — збігається.
Відповідь: \(S_{повн} = 36\sqrt{3} \approx 62{,}35\) см², \(V = 18\sqrt{2} \approx 25{,}46\) см³.
Приклад 6. Зрізана піраміда
У правильній зрізаній чотирикутній піраміді сторони основ дорівнюють 10 см і 4 см, висота — 4 см. Знайти повну поверхню й об'єм.
Апофема: катети прямокутного трикутника — це \(h = 4\) і \(\frac{a-b}{2} = 3\), тому \(l = \sqrt{16 + 9} = 5\) см.
\(P_1 = 40\) см, \(P_2 = 16\) см, тож \(S_{біч} = \frac{1}{2}(40 + 16) \cdot 5 = 140\) см².
\(S_1 = 100\) см², \(S_2 = 16\) см², отже \(S_{повн} = 140 + 100 + 16 = 256\) см².
\(V = \dfrac{4}{3}\left(100 + 16 + \sqrt{100 \cdot 16}\right) = \dfrac{4}{3}(100 + 16 + 40) = \dfrac{4}{3} \cdot 156 = 208\) см³.
Відповідь: \(S_{повн} = 256\) см², \(V = 208\) см³.
Типові помилки
- Підставляють бічне ребро замість апофеми у формулу \(S_{біч} = \frac{1}{2}P_{осн}l\). Відповідь виходить завищеною і схожою на правду. Запам'ятайте: у формулі бічної поверхні стоїть апофема, і тільки вона.
- Додають дві основи, як у призмі: \(S_{повн} = S_{біч} + 2S_{осн}\). У піраміди основа одна.
- Забувають одну третину в об'ємі й пишуть \(V = S_{осн}h\). Це об'єм призми, він утричі більший.
- Плутають \(r\) і \(R\). До середини сторони — \(r\), до вершини — \(R\). Для квадрата зі стороною \(a\) це \(\frac{a}{2}\) і \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), різниця приблизно в 1,41 раза.
- Вважають, що апофема — це висота піраміди. Ні: висота йде в центр основи, апофема — в середину сторони, і разом вони утворюють катет та гіпотенузу трикутника 1.
- Беруть кут нахилу ребра там, де дано кут нахилу грані (і навпаки). Грань — трикутник з \(r\), ребро — трикутник з \(R\).
- Усереднюють основи у зрізаній піраміді: \(V \ne \frac{h}{3}\cdot\frac{S_1+S_2}{2}\). Середній доданок — це \(\sqrt{S_1S_2}\), а не середнє арифметичне.
Висновок
Піраміда вимагає не пам'яті, а дисципліни креслення. Дві формули, \(S_{біч} = \frac{1}{2}P_{осн}l\) і \(V = \frac{1}{3}S_{осн}h\), запам'ятовуються за хвилину. Решта роботи — це щоразу той самий крок: знайти в піраміді потрібний прямокутний трикутник, підписати в ньому \(h\), \(r\) або \(R\) і застосувати теорему Піфагора. Якщо цей крок доведено до автоматизму, задачі НМТ про піраміду перестають бути складними.
Якщо апофема й бічне ребро досі зливаються в одне, розібратися швидше за все вийде з викладачем біля дошки з малюнком. Запишіться на пробне заняття — за одну зустріч розберемо ваш тип задач і поставимо алгоритм.
Чим апофема відрізняється від бічного ребра?
Бічне ребро сполучає вершину піраміди з вершиною основи, апофема — вершину піраміди із серединою сторони основи. Апофема є висотою бічної грані й завжди коротша за бічне ребро, бо вона катет у прямокутному трикутнику, де ребро — гіпотенуза: \(b^2 = l^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\). У формулі \(S_{біч} = \frac{1}{2}P_{осн}l\) використовується саме апофема.
Чому об'єм піраміди втричі менший за об'єм призми?
Трикутну призму можна розрізати рівно на три тетраедри однакового об'єму, кожен з яких — піраміда з тією ж основою і висотою. Отже, кожен становить третину призми. Довільна піраміда розбивається на трикутні, тому коефіцієнт \(\frac{1}{3}\) справедливий для всіх пірамід, включно з похилими.
Як знайти висоту правильної піраміди, якщо дано бічне ребро?
Через прямокутний трикутник «висота — радіус описаного кола основи — бічне ребро»: \(h = \sqrt{b^2 - R^2}\). Для квадратної основи зі стороною \(a\) беремо \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), для рівносторонньої — \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\).
Чи є правильна трикутна піраміда правильним тетраедром?
Не обов'язково. У правильної трикутної піраміди основа — рівносторонній трикутник, а бічні ребра рівні між собою, але можуть відрізнятися від сторони основи. Правильний тетраедр — окремий випадок, коли всі шість ребер рівні, і тоді всі чотири грані є рівносторонніми трикутниками.
