Раціональні дроби: скорочення та дії
У 8 класі дроби раптом «оживають»: замість звичних \(\frac{3}{4}\) чи \(\frac{7}{12}\) у чисельнику й знаменнику з'являються букви. Так з'являються раціональні дроби — і разом з ними нове питання, якого не було в арифметиці: а чи взагалі існує цей дріб при заданому значенні змінної? На заняттях у Tutor-Math ми починаємо тему саме з цього питання, бо саме воно, а не техніка обчислень, найчастіше стає причиною втрачених балів на контрольній.
Розберемо тему повністю: означення й область допустимих значень, основну властивість дробу, скорочення через розкладання на множники, чотири дії та багатоповерхові дроби.
Означення та область допустимих значень
Раціональний дріб — це вираз виду \(\frac{A}{B}\), де \(A\) і \(B\) — многочлени, причому \(B\) не є тотожним нулем.
Приклади раціональних дробів: \(\frac{x+1}{x-3}\), \(\frac{2a^2-5}{a}\), \(\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}\). Ділити на нуль не можна ніколи — ані в арифметиці, ані в алгебрі. Звідси головне поняття теми:
Область допустимих значень (ОДЗ) раціонального дробу — це всі значення змінної, при яких знаменник не дорівнює нулю.
Щоб знайти ОДЗ, треба прирівняти знаменник до нуля, розв'язати рівняння й виключити знайдені корені. Для дробу \(\frac{x+1}{x-3}\): \(x-3=0 \Rightarrow x=3\), отже ОДЗ: \(x \neq 3\). Для дробу \(\frac{5}{x^2-4}\): \(x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2\), отже ОДЗ: \(x \neq 2\) і \(x \neq -2\).
ОДЗ записують до будь-яких перетворень і за вихідним виразом. Це принципово: після скорочення знаменник змінюється, «небезпечні» значення зникають із запису — але не зникають із задачі.
Основна властивість дробу і скорочення
Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на один і той самий ненульовий многочлен, отримаємо дріб, тотожно рівний даному: \(\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}\), де \(C \neq 0\).
Ділення на спільний множник і називають скороченням. Алгоритм завжди однаковий:
- записати ОДЗ за вихідним знаменником;
- розкласти чисельник і знаменник на множники;
- викреслити спільні множники.
Другий крок — найважчий, і саме на ньому тема впирається в попередній матеріал. Знадобляться винесення спільного множника за дужки та групування з теми розкладання многочленів на множники, а також формули скороченого множення — насамперед різниця квадратів \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) і квадрат суми чи різниці. Без них скорочення перетворюється на вгадування.
Скорочувати можна лише множники, а не доданки
Це головна помилка всієї теми, і вона коштує учням більше балів, ніж усі обчислювальні описки разом. Викреслювати дозволено тільки те, що перемножується з рештою виразу. Те, що додається, викреслювати не можна ніколи.
Скорочення — це ділення чисельника й знаменника цілком на спільний множник. Якщо чисельник або знаменник є сумою, спершу розклади його на множники — і лише тоді скорочуй.
Переконаємось на числах. Візьмемо вираз \(\frac{a+b}{a}\) і підставимо \(a=2\), \(b=4\):
\[ \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
А «скорочення» букви \(a\) дало б відповідь \(b=4\). Три не дорівнює чотирьом — отже, таке викреслювання просто неправильне.
Ще один типовий випадок. Вираз \(\frac{x^2+4}{x+4}\) скоротити не можна: у чисельнику сума, у знаменнику сума, спільного множника немає. Перевірка при \(x=2\): \(\frac{4+4}{2+4}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\), тоді як «викреслена четвірка» обіцяла б \(\frac{x^2}{x}=x=2\). А от схожий на вигляд дріб \(\frac{x^2+4x}{x+4}\) скорочується законно, бо чисельник розкладається: \(\frac{x(x+4)}{x+4}=x\) при \(x \neq -4\).
Додавання і віднімання
Дроби з однаковими знаменниками: \(\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}\). Дроби з різними знаменниками спершу зводять до спільного знаменника.
Спільний знаменник шукають так: розкладають кожен знаменник на множники й беруть кожен множник у найбільшому степені, у якому він трапляється. Потім для кожного дробу знаходять додатковий множник — те, чого не вистачає його знаменнику до спільного, — і домножають на нього чисельник.
Головна пастка — знак. При відніманні мінус діє на весь чисельник другого дробу, тому його обов'язково беруть у дужки: \(\frac{A}{C} - \frac{B+D}{C} = \frac{A-(B+D)}{C} = \frac{A-B-D}{C}\).
Множення і ділення
\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\), а \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}\).
Практичне правило: не перемножуйте дужки. Розкладіть усе на множники, запишіть один спільний дріб і скоротіть — після скорочення множити буде майже нічого.
При діленні ОДЗ розширюється. Крім знаменників усіх дробів, до нуля не має дорівнювати ще й чисельник дільника — бо після перевертання він стає знаменником. Це місце пропускають найчастіше.
Складений (багатоповерховий) дріб
Складений дріб — це дріб, у чисельнику або знаменнику якого теж стоять дроби. Схема роботи проста: головна дробова риска — це знак ділення.
Зведи чисельник до одного дробу, знаменник — до одного дробу, а потім поділи перший на другий, тобто помнож на обернений.
Приклад 1. Скорочення через формули
Скоротити \(\dfrac{x^2-25}{x^2+10x+25}\).
ОДЗ: \(x^2+10x+25=(x+5)^2 \neq 0\), тобто \(x \neq -5\). Розкладаємо:
\[ \frac{x^2-25}{x^2+10x+25} = \frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)^2} = \frac{x-5}{x+5} \]
Перевірка при \(x=2\): вихідний дріб \(\frac{4-25}{4+20+25}=\frac{-21}{49}=-\frac{3}{7}\), результат \(\frac{2-5}{2+5}=-\frac{3}{7}\). Збіглося.
Відповідь: \(\dfrac{x-5}{x+5}\) при \(x \neq -5\).
Приклад 2. Винесення множника плюс формула
Скоротити \(\dfrac{3a^2-12}{a^2+4a+4}\).
ОДЗ: \((a+2)^2 \neq 0\), тобто \(a \neq -2\). У чисельнику спершу виносимо 3, потім застосовуємо різницю квадратів:
\[ \frac{3a^2-12}{a^2+4a+4} = \frac{3(a^2-4)}{(a+2)^2} = \frac{3(a-2)(a+2)}{(a+2)^2} = \frac{3(a-2)}{a+2} \]
Відповідь: \(\dfrac{3(a-2)}{a+2}\) при \(a \neq -2\).
Приклад 3. Віднімання з різними знаменниками
Спростити \(\dfrac{2}{x-3} - \dfrac{12}{x^2-9}\).
Розкладаємо другий знаменник: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). ОДЗ: \(x \neq 3\), \(x \neq -3\). Спільний знаменник — \((x-3)(x+3)\); додатковий множник першого дробу — \((x+3)\):
\[ \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x+6-12}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x-6}{(x-3)(x+3)} \]
Чисельник розкладається: \(2x-6=2(x-3)\), тож скорочуємо на \((x-3)\):
\[ \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x+3} \]
Перевірка при \(x=5\): \(\frac{2}{2}-\frac{12}{16}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\), а \(\frac{2}{5+3}=\frac{1}{4}\). Збіглося.
Відповідь: \(\dfrac{2}{x+3}\) при \(x \neq \pm 3\).
Приклад 4. Ділення дробів
Виконати дію \(\dfrac{x^2-4}{3x} : \dfrac{x+2}{6x^2}\).
ОДЗ: \(3x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\); \(6x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\); і додатково чисельник дільника \(x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\). Замінюємо ділення множенням на обернений дріб:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{3x} \cdot \frac{6x^2}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2) \cdot 6x^2}{3x(x+2)} = 2x(x-2) \]
Перевірка при \(x=3\): \(\frac{9-4}{9} : \frac{5}{54} = \frac{5}{9} \cdot \frac{54}{5} = 6\), а \(2 \cdot 3 \cdot 1 = 6\). Збіглося.
Відповідь: \(2x(x-2)=2x^2-4x\) при \(x \neq 0\), \(x \neq -2\).
Приклад 5. Складений дріб
Спростити \(\dfrac{x - \dfrac{9}{x}}{1 + \dfrac{3}{x}}\).
ОДЗ: \(x \neq 0\) (є дріб зі знаменником \(x\)) і \(1+\frac{3}{x} \neq 0\), тобто \(\frac{x+3}{x} \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\). Зводимо кожен «поверх» до одного дробу:
\[ x - \frac{9}{x} = \frac{x^2-9}{x}, \qquad 1 + \frac{3}{x} = \frac{x+3}{x} \]
\[ \frac{x^2-9}{x} : \frac{x+3}{x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x} \cdot \frac{x}{x+3} = x-3 \]
Перевірка при \(x=6\): \(\left(6-\frac{9}{6}\right) : \left(1+\frac{3}{6}\right) = \frac{9}{2} : \frac{3}{2} = 3\), а \(6-3=3\). Збіглося.
Відповідь: \(x-3\) при \(x \neq 0\), \(x \neq -3\).
Приклад 6. Скорочення разом з додаванням
Спростити \(\dfrac{x^2-16}{x^2-8x+16} + \dfrac{8}{x-4}\).
ОДЗ: \(x \neq 4\). Перший дріб скорочуємо: \(\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)^2} = \frac{x+4}{x-4}\). Тепер знаменники однакові:
\[ \frac{x+4}{x-4} + \frac{8}{x-4} = \frac{x+12}{x-4} \]
Перевірка при \(x=6\): \(\frac{20}{4}+\frac{8}{2}=5+4=9\), а \(\frac{18}{2}=9\). Збіглося.
Відповідь: \(\dfrac{x+12}{x-4}\) при \(x \neq 4\).
Типові помилки
- Скорочення доданків. Найгрубіша помилка теми: \(\frac{x+5}{x+7}\) «скорочують» на \(x\) і пишуть \(\frac{5}{7}\). Підставте \(x=3\): \(\frac{8}{10}=0{,}8\), а не \(\frac{5}{7}\approx 0{,}714\). Викреслювати можна лише множники.
- ОДЗ шукають за кінцевим виразом. Дріб \(\frac{x^2-9}{x-3}\) дорівнює \(x+3\), але при \(x=3\) вихідний вираз не існує. ОДЗ визначається до перетворень.
- Забутий мінус при відніманні. Записують \(\frac{a}{c}-\frac{b+d}{c}=\frac{a-b+d}{c}\) замість \(\frac{a-b-d}{c}\). Чисельник другого дробу завжди беруть у дужки.
- Не враховують чисельник дільника. У прикладі \(\ldots : \frac{x+2}{6x^2}\) забувають умову \(x \neq -2\), хоча ділити на нульовий дріб не можна.
- Перемножують дужки замість скорочення. Розкриті дужки на кшталт \((x-2)(x+2)(x+5)\) роблять скорочення неможливим — множники треба зберігати.
- Множення «навхрест» замість додавання. Прийом із розв'язування пропорцій переносять на суму дробів, хоча він працює лише в рівняннях.
Висновок
Раціональні дроби тримаються на трьох речах: ОДЗ пишемо завжди й за вихідним виразом, розкладаємо на множники перед будь-якою дією, скорочуємо тільки множники. Хто засвоїв ці три звички у 8 класі, спокійно проходить дробово-раціональні рівняння, а далі — функції та ЗНО. Якщо арифметична база ще хитка, варто повторити звичайні дроби: правила там ті самі, лише замість букв стоять числа.
Якщо скорочення дається важко, а знаки при відніманні постійно «тікають», запишіться на пробне заняття — розберемо вашу конкретну прогалину й закріпимо її на задачах вашого рівня.
Що таке ОДЗ і навіщо його писати?
ОДЗ — це всі значення змінної, при яких знаменник не дорівнює нулю. Писати його потрібно тому, що після скорочення «заборонені» значення зникають із запису, але вираз при них так і не існує. Наприклад, \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\), однак при \(x=3\) вихідний дріб не має змісту. У завданнях на спрощення відповідь без ОДЗ вважається неповною.
Чому не можна скорочувати \(\frac{x+5}{x+7}\) на \(x\)?
Бо \(x\) тут доданок, а не множник. Скорочення — це ділення чисельника й знаменника цілком, а сума на \(x\) без остачі не ділиться. Перевірка при \(x=3\) дає \(\frac{8}{10}=0{,}8\), тоді як «скорочений» варіант \(\frac{5}{7}\approx 0{,}714\). Скорочувати можна лише після розкладання на множники.
Як знайти спільний знаменник раціональних дробів?
Розкладіть кожен знаменник на множники й візьміть кожен множник у найбільшому степені, який трапляється. Для \(x-3\) і \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) спільним буде \((x-3)(x+3)\). Далі знайдіть додатковий множник для кожного дробу — те, чого бракує його знаменнику до спільного, — і домножте на нього чисельник.
Як спростити багатоповерховий дріб?
Головна дробова риска — це знак ділення. Зведіть чисельник до одного дробу, знаменник до одного дробу, а потім помножте перший на обернений до другого. Наприклад, \(\left(x-\frac{9}{x}\right):\left(1+\frac{3}{x}\right)=\frac{x^2-9}{x} \cdot \frac{x}{x+3}=x-3\) при \(x \neq 0\) і \(x \neq -3\).
