Степінь з натуральним показником: означення і всі властивості
Степінь — це коротший запис багаторазового множення. Тема з'являється в сьомому класі й одразу стає робочим інструментом: без неї не буде ні одночленів, ні многочленів, ні формул скороченого множення. На заняттях у Tutor-Math ми доводимо п'ять властивостей степеня до автоматизму, бо в старших класах їх застосовують не як окрему тему, а мимохідь, усередині довших перетворень. Розберімо все з нуля — з означенням, правилами знаків і прикладами, порахованими до кінця.
Означення степеня з натуральним показником
Записувати \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\) незручно, а якщо множників сорок — ще й неможливо. Тому придумали скорочення.
Означення. Степенем числа \(a\) з натуральним показником \(n\), більшим за одиницю, називають добуток \(n\) множників, кожен з яких дорівнює \(a\):
\[a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{множників}}\]
Окремо домовляються, що \(a^1 = a\).
У записі \(a^n\) число \(a\) називають основою степеня, а число \(n\) — показником. Основа відповідає на питання «що множимо», показник — «скільки разів». Отже, \(2^5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32\): основа 2, показник 5.
Читається це так: \(a^n\) — «а в степені ен». Для другого і третього степенів є усталені назви: \(a^2\) — «а в квадраті», \(a^3\) — «а в кубі». Назви прийшли з геометрії: площа квадрата зі стороною \(a\) дорівнює \(a^2\), об'єм куба — \(a^3\).
Два значення варто запам'ятати окремо: \(1^n = 1\) за будь-якого показника, бо одиниця скільки себе не множ, залишиться одиницею; і \(0^n = 0\) за будь-якого натурального \(n\). Показник у цій темі завжди натуральний, тобто належить до натуральних чисел — 1, 2, 3 і далі.
Властивість 1. Добуток степенів з однаковою основою
При множенні степенів з однаковою основою основу залишають, а показники додають:
\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
Чому так: у першому множнику \(m\) однакових множників, у другому — \(n\), разом їх \(m+n\). Перевірка на числах: \(2^3\cdot 2^4 = 8\cdot 16 = 128\), і \(2^{3+4} = 2^7 = 128\). Збіглося.
Властивість 2. Частка степенів з однаковою основою
При діленні степенів з однаковою основою основу залишають, а показники віднімають (тут \(a \ne 0\) і \(m > n\)):
\[a^m : a^n = a^{m-n}\]
Приклад: \(5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25\). Умова \(m > n\) потрібна саме тому, що показник має лишитися натуральним. Випадки, коли показник виходить нульовим або від'ємним, розглядають окремою темою пізніше.
Властивість 3. Степінь степеня
При піднесенні степеня до степеня основу залишають, а показники перемножують:
\[(a^m)^n = a^{mn}\]
Приклад: \((3^2)^3 = 3^{2\cdot 3} = 3^6 = 729\). Пряма перевірка: \(3^2 = 9\), далі \(9^3 = 729\). Зверніть увагу на контраст із першою властивістю: там показники додавали, тут — множать. Плутанина між цими двома правилами дає найбільше помилок у темі.
Властивість 4. Степінь добутку
Щоб піднести добуток до степеня, підносять до цього степеня кожен множник:
\[(ab)^n = a^n b^n\]
Приклад: \((2\cdot 3)^4 = 6^4 = 1296\), і те саме через розкладання: \(2^4\cdot 3^4 = 16\cdot 81 = 1296\). Властивість працює в обидва боки, і зворотний напрямок часто зручніший для обчислень: \(2^5\cdot 5^5 = (2\cdot 5)^5 = 10^5 = 100\,000\) — рахувати такий добуток «в лоб» довше, ніж помітити десятку. Тим, кому обчислення даються повільно, варто заздалегідь відпрацювати алгоритм письмового множення: у темі степенів арифметичні помилки маскуються під помилки в правилах.
Властивість 5. Степінь частки
Щоб піднести дріб до степеня, підносять до цього степеня і чисельник, і знаменник (тут \(b \ne 0\)):
\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]
Приклад: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27}\). Для десяткового дробу зручно спершу перейти до звичайного: \((0{,}25)^2 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625\).
Степінь від'ємного числа: правило знаків
Знак результату визначається тільки парністю показника, і логіка тут проста: мінуси скорочуються парами.
Степінь від'ємного числа з парним показником — число додатне.
Степінь від'ємного числа з непарним показником — число від'ємне.
Перевіримо: \((-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16\) — чотири мінуси дали дві пари, обидві скоротилися. А \((-2)^5 = -32\) — п'ятий мінус лишився без пари. Якщо основа додатна, результат додатний завжди, за будь-якого показника. Щоб упевнено працювати зі знаками, варто мати міцну базу з теми додатних і від'ємних чисел та модуля.
Головна пастка теми. Вирази \((-3)^2\) і \(-3^2\) виглядають майже однаково, але це різні числа:
- \((-3)^2 = (-3)\cdot(-3) = 9\). Дужки означають, що основа степеня — число \(-3\), мінус входить усередину.
- \(-3^2 = -(3\cdot 3) = -9\). Без дужок основа — це трійка, а мінус стоїть перед степенем і застосовується вже до результату.
Правило одне: піднесення до степеня виконується раніше, ніж узяття протилежного числа. Тому \(-5^3 = -125\) і \((-5)^3 = -125\) — тут відповіді збіглися випадково, бо показник непарний. А от \(-4^2 = -16\), тоді як \((-4)^2 = 16\) — і ця різниця вже принципова. Висновок практичний: якщо від'ємне число підносять до степеня, дужки обов'язкові.
Порядок дій у виразах зі степенями
Степінь додає до звичного порядку дій ще один рівень. Повна черга така:
- дії в дужках;
- піднесення до степеня;
- множення й ділення — зліва направо;
- додавання й віднімання — зліва направо.
Тобто степінь «сильніший» за множення. У виразі \(2\cdot 3^2\) спершу рахують \(3^2 = 9\), і лише потім множать: \(2\cdot 9 = 18\). Відповідь 36 (\((2\cdot 3)^2\)) була б неправильною — дужок у записі немає.
Приклад 1. Спростити вираз \(\dfrac{a^7\cdot a^5}{a^{10}}\)
У чисельнику — добуток степенів з однаковою основою, тому показники додаємо: \(a^7\cdot a^5 = a^{12}\). Далі ділимо на \(a^{10}\), показники віднімаємо: \(a^{12} : a^{10} = a^{2}\).
Перевірка при \(a = 2\): чисельник \(128\cdot 32 = 4096\), знаменник \(1024\), частка \(4096 : 1024 = 4\), і справді \(2^2 = 4\).
Відповідь: \(a^2\).
Приклад 2. Обчислити \(\dfrac{(3^2)^4}{3^5\cdot 3^2}\)
Чисельник — степінь степеня, показники множимо: \((3^2)^4 = 3^{8}\). Знаменник — добуток степенів, показники додаємо: \(3^5\cdot 3^2 = 3^{7}\). Ділимо: \(3^{8} : 3^{7} = 3^{1} = 3\).
Пряма перевірка: \(3^8 = 6561\), \(3^7 = 2187\), і \(6561 : 2187 = 3\).
Відповідь: 3.
Приклад 3. Обчислити \((-2)^5\cdot (-2)^3\)
Основа однакова, тож додаємо показники: \((-2)^5\cdot(-2)^3 = (-2)^{8}\). Показник 8 парний, отже результат додатний: \((-2)^8 = 256\).
Перевірка окремо: \((-2)^5 = -32\), \((-2)^3 = -8\), добуток двох від'ємних \(-32\cdot(-8) = 256\).
Відповідь: 256.
Приклад 4. Обчислити \(3 + 2\cdot 5^2 - (-4)^2\)
Працюємо строго за порядком дій. Спершу степені: \(5^2 = 25\) і \((-4)^2 = 16\) — показник парний, тому знак плюс. Вираз стає \(3 + 2\cdot 25 - 16\). Потім множення: \(2\cdot 25 = 50\). Нарешті зліва направо: \(3 + 50 = 53\), далі \(53 - 16 = 37\).
Типова помилка тут — прочитати \((-4)^2\) як \(-16\) і отримати 21.
Відповідь: 37.
Приклад 5. Обчислити \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\cdot 5^3\)
За властивістю степеня частки \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125}\). Множимо на \(5^3 = 125\): \(\dfrac{8}{125}\cdot 125 = 8\).
Коротший шлях — властивість степеня добутку у зворотному напрямку: \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\cdot 5^3 = \left(\dfrac{2}{5}\cdot 5\right)^3 = 2^3 = 8\). Жодних великих чисел рахувати не довелося.
Відповідь: 8.
Типові помилки
- Множать показники замість того, щоб їх додавати: \(a^m\cdot a^n \ne a^{mn}\). Правильно \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\). Числова перевірка: \(2^3\cdot 2^4 = 128\), а \(2^{12} = 4096\) — різниця очевидна. Показники множать тільки у степені степеня: \((a^m)^n = a^{mn}\).
- Плутають \((-3)^2\) і \(-3^2\). Перше дорівнює 9, друге — \(-9\). Дужки визначають, чи входить мінус в основу. За браку дужок степінь виконується першим.
- Розкривають степінь суми почленно: \((a+b)^2 \ne a^2+b^2\). Перевірка: \((3+4)^2 = 49\), а \(3^2+4^2 = 25\). Степінь «розподіляється» тільки на добуток і частку, але не на суму й різницю — для суми потрібні формули скороченого множення, з яких пізніше виростають квадратні рівняння.
- Множать основу на показник. Запис \(3^4\) означає \(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81\), а не \(3\cdot 4 = 12\). Помилка типова для першого тижня теми й зникає після кількох розписаних вручну прикладів.
- Забувають, що \(a^1 = a\). Отримавши \(3^1\), школяр іноді залишає відповідь у вигляді степеня замість числа 3.
- Додають показники за різних основ. Вираз \(2^3\cdot 3^2\) спростити за першою властивістю не можна: основи різні. Тут лишається тільки порахувати: \(8\cdot 9 = 72\).
Висновок
Уся тема тримається на п'яти правилах і одному уточненні про знак. Множимо степені з однаковою основою — показники додаємо; ділимо — віднімаємо; підносимо степінь до степеня — множимо. Добуток і частку підносимо до степеня почленно, суму — ні. Знак результату для від'ємної основи задає парність показника, а дужки вирішують, чи входить мінус в основу взагалі. Далі ці правила працюють на одночлени, многочлени й формули скороченого множення — тобто на всю алгебру сьомого класу.
Якщо помилки повторюються з роботи в роботу, річ майже завжди не в лінощах, а в одному конкретному місці: не розрізняє першу властивість і третю, губить знак, ігнорує дужки. На індивідуальних заняттях у Tutor-Math викладач знаходить саме цю точку й закриває її адресно, а не «проходить тему заново». Побачити, як це працює, можна на пробному занятті — там же оцінюємо реальний рівень і складаємо план.
Що таке основа і показник степеня?
У записі \(a^n\) число \(a\) — основа, тобто те, що множимо; число \(n\) — показник, тобто скільки множників беремо. Наприклад, у \(2^5\) основа 2, показник 5, а сам степінь дорівнює \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32\).
Чому \((-3)^2\) і \(-3^2\) дають різні відповіді?
Тому що в першому випадку основа степеня — число \(-3\), і \((-3)^2 = (-3)\cdot(-3) = 9\). У другому дужок немає, основа — трійка, мінус застосовується вже до готового результату: \(-3^2 = -(3\cdot 3) = -9\). Правило: піднесення до степеня виконують раніше, ніж узяття протилежного числа, тому для від'ємної основи дужки обов'язкові.
Коли показники степеня додають, а коли множать?
Додають при множенні степенів з однаковою основою: \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\). Множать при піднесенні степеня до степеня: \((a^m)^n = a^{mn}\). Порівняйте: \(2^3\cdot 2^2 = 2^5 = 32\), а \((2^3)^2 = 2^6 = 64\). Це два різні правила, і плутанина між ними — найчастіша помилка теми.
Чи можна піднести до степеня суму почленно?
Ні. Рівність \((a+b)^2 = a^2+b^2\) хибна: \((3+4)^2 = 49\), тоді як \(3^2+4^2 = 25\). Почленно до степеня підносять тільки добуток і частку. Для суми й різниці існують окремі формули скороченого множення, наприклад \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
