Системи лінійних рівнянь: підстановка і додавання
Досі рівняння мали одну невідому й одну відповідь — число. У темі систем усе змінюється: невідомих дві, рівнянь теж два, а відповіддю стає пара чисел. Саме тут учні найчастіше «губляться»: знаходять \(x\), радіють і зупиняються, забувши про \(y\). На заняттях у Tutor-Math ми відразу привчаємо записувати відповідь як пару й підставляти її в обидва рівняння — ця звичка знімає більшість помилок ще до контрольної.
Що таке система і що є її розв'язком
Означення. Системою двох лінійних рівнянь із двома змінними називають запис вигляду \[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \] де \(x\) і \(y\) — змінні, а \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) — задані числа.
Фігурна дужка — не оздоба. Вона означає слово «і»: обидві рівності мають виконуватися одночасно, для одних і тих самих значень \(x\) та \(y\).
Означення. Розв'язком системи називають пару чисел \((x_0;\, y_0)\), яка перетворює кожне рівняння системи на правильну числову рівність. Розв'язати систему — означає знайти всі її розв'язки або довести, що їх немає.
Перевіримо на прикладі системи \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \] Пара \((4;\,1)\) задовольняє перше рівняння: \(4 + 1 = 5\). Але в другому \(4 - 1 = 3 \neq 1\). Отже, \((4;\,1)\) не є розв'язком системи, хоч і «підходить наполовину». А пара \((3;\,2)\) дає \(3 + 2 = 5\) та \(3 - 2 = 1\) — обидві рівності правильні, це і є розв'язок.
Запам'ятайте порядок запису: у парі \((x;\,y)\) першою завжди стоїть \(x\). Відповідь \((3;\,2)\) і відповідь \((2;\,3)\) — це різні відповіді, і лише одна з них правильна. Якщо основи роботи з одним рівнянням ще нестійкі, варто повторити лінійні рівняння: система розв'язується зведенням саме до них.
Метод підстановки
Ідея методу проста: перетворити систему з двома невідомими на одне рівняння з однією невідомою. Для цього з одного рівняння виражають одну змінну через іншу й підставляють цей вираз у друге рівняння.
- Крок 1. Вибрати рівняння й змінну, яку зручно виразити. Найзручніше — ту, коефіцієнт при якій дорівнює \(1\) або \(-1\): не з'явиться дробів.
- Крок 2. Виразити цю змінну через другу.
- Крок 3. Підставити отриманий вираз у друге рівняння (не в те саме, з якого виражали, — інакше вийде тотожність \(0 = 0\)).
- Крок 4. Розв'язати рівняння з однією змінною.
- Крок 5. Підставити знайдене число у вираз із кроку 2 і знайти другу змінну.
- Крок 6. Перевірити пару в обох вихідних рівняннях і записати відповідь як пару.
Приклад 1. Підстановка, коли змінна вже виражена
Розв'язати систему: \[ \begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} \]
Перше рівняння вже дає \(y\) через \(x\), тому крок 2 пропускаємо. Підставляємо \(y = 2x - 3\) у друге рівняння:
\[ 3x + 2(2x - 3) = 8 \] \[ 3x + 4x - 6 = 8 \] \[ 7x = 14 \quad \Longrightarrow \quad x = 2 \]Тепер \(y = 2 \cdot 2 - 3 = 1\).
Перевірка в обох рівняннях. Перше: \(y = 1\), а \(2 \cdot 2 - 3 = 1\) — правильно. Друге: \(3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 6 + 2 = 8\) — правильно.
Відповідь: \((2;\,1)\).
Приклад 2. Підстановка з попереднім виражанням
Розв'язати систему: \[ \begin{cases} x - 3y = 5 \\ 2x + 5y = 21 \end{cases} \]
У першому рівнянні коефіцієнт при \(x\) дорівнює \(1\) — виражаємо саме \(x\):
\[ x = 5 + 3y \]Підставляємо у друге рівняння:
\[ 2(5 + 3y) + 5y = 21 \] \[ 10 + 6y + 5y = 21 \] \[ 11y = 11 \quad \Longrightarrow \quad y = 1 \]Тоді \(x = 5 + 3 \cdot 1 = 8\).
Перевірка. Перше рівняння: \(8 - 3 \cdot 1 = 5\) — правильно. Друге: \(2 \cdot 8 + 5 \cdot 1 = 16 + 5 = 21\) — правильно.
Відповідь: \((8;\,1)\).
Метод додавання (алгебраїчного складання)
Другий метод спирається на властивість: якщо ліві частини двох правильних рівностей додати й праві частини додати, рівність збережеться. Мета та сама — прибрати одну змінну, але вже не підстановкою, а взаємним знищенням доданків.
Правило. Якщо коефіцієнти при одній зі змінних у двох рівняннях протилежні, то після почленного додавання рівнянь ця змінна зникає.
- Крок 1. Вибрати змінну, яку прибираємо.
- Крок 2. Домножити одне або обидва рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при цій змінній стали протилежними.
- Крок 3. Додати рівняння почленно — залишиться одне рівняння з однією змінною.
- Крок 4. Розв'язати його, підставити результат у будь-яке з вихідних рівнянь і знайти другу змінну.
- Крок 5. Перевірити пару в обох рівняннях.
Множення всього рівняння на число означає множення кожного доданка, включно з правою частиною. Це найчастіше джерело помилок у методі додавання.
Приклад 3. Додавання без підготовки
Розв'язати систему: \[ \begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 5x - 4y = 6 \end{cases} \]
Коефіцієнти при \(y\) уже протилежні: \(4\) і \(-4\). Додаємо рівняння почленно:
\[ (3x + 5x) + (4y - 4y) = 10 + 6 \] \[ 8x = 16 \quad \Longrightarrow \quad x = 2 \]Підставляємо \(x = 2\) у перше рівняння: \(3 \cdot 2 + 4y = 10\), звідси \(4y = 4\) і \(y = 1\).
Перевірка. Перше: \(3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 10\) — правильно. Друге: \(5 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 10 - 4 = 6\) — правильно.
Відповідь: \((2;\,1)\).
Приклад 4. Додавання з домноженням обох рівнянь
Розв'язати систему: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ 5x - 2y = 21 \end{cases} \]
Прибиратимемо \(y\). Коефіцієнти при ньому — \(3\) і \(-2\), найменше спільне кратне модулів дорівнює \(6\). Домножимо перше рівняння на \(2\), а друге — на \(3\):
\[ \begin{cases} 4x + 6y = 32 \\ 15x - 6y = 63 \end{cases} \]Додаємо:
\[ 19x = 95 \quad \Longrightarrow \quad x = 5 \]Підставляємо у вихідне перше рівняння: \(2 \cdot 5 + 3y = 16\), звідси \(3y = 6\) і \(y = 2\).
Перевірка. Перше: \(2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 10 + 6 = 16\) — правильно. Друге: \(5 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 25 - 4 = 21\) — правильно.
Відповідь: \((5;\,2)\).
Графічний метод і геометричний зміст
Кожне рівняння \(ax + by = c\) (за умови, що \(a\) і \(b\) не дорівнюють нулю одночасно) задає на координатній площині пряму. Якщо виразити \(y\), отримаємо звичну лінійну функцію \(y = kx + m\). Точки цієї прямої — і є всі пари, що задовольняють рівняння.
Розв'язок системи — це спільна точка двох прямих. Її координати \((x_0;\,y_0)\) задовольняють обидва рівняння одночасно.
Наприклад, у системі \(x + y = 5\) і \(x - y = 1\) перше рівняння дає пряму \(y = -x + 5\), друге — пряму \(y = x - 1\). Вони перетинаються в точці \((3;\,2)\) — це й є розв'язок.
Графічний метод чудово пояснює суть, але як робочий інструмент він слабкий: якщо розв'язок дорівнює, скажімо, \(\left(\tfrac{7}{11};\, -\tfrac{4}{11}\right)\), за кресленням його не прочитати. Тому графік використовують для розуміння й перевірки, а обчислюють підстановкою чи додаванням.
Три випадки: скільки розв'язків має система
Дві прямі на площині можуть розташуватися лише трьома способами, і кожному відповідає свій тип відповіді.
Для системи \(a_1x + b_1y = c_1\), \(a_2x + b_2y = c_2\) (усі коефіцієнти ненульові):
- \(\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}\) — прямі перетинаються, розв'язок єдиний;
- \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\) — прямі збігаються, розв'язків нескінченно багато;
- \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}\) — прямі паралельні, розв'язків немає.
Логіка проста: рівність \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\) означає, що ліві частини пропорційні, тобто кутові коефіцієнти прямих однакові. Далі вирішує вільний член: якщо він у тій самій пропорції — це одна й та сама пряма, записана двічі; якщо ні — прямі паралельні й спільних точок не мають.
Ту саму картину видно й без коефіцієнтів — просто за ходом розв'язування. Якщо в процесі обидві змінні зникають, дивіться на числову рівність, що залишилася: правильна (\(0 = 0\)) — розв'язків нескінченно багато, неправильна (\(0 = 4\)) — розв'язків немає.
Приклад 5. Розпізнати випадок і довести його
а) Система \[ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \]
Перевіряємо відношення: \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \(\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\), \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Усі три однакові — прямі збігаються. Справді, друге рівняння — це перше, помножене на \(2\). Виразимо \(y = 2x - 3\): будь-яка пара такого вигляду є розв'язком, наприклад \((0;\,-3)\) і \((1;\,-1)\). Перевіримо \((0;\,-3)\) у другому рівнянні: \(4 \cdot 0 - 2 \cdot (-3) = 6\) — правильно.
Відповідь: нескінченно багато розв'язків, усі пари вигляду \((x;\, 2x - 3)\).
б) Система \[ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 10 \end{cases} \]
Тут \(\frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\), але \(\frac{3}{10} \neq \frac{1}{2}\) — прямі паралельні. Переконаймося обчисленням: помножимо перше рівняння на \(-2\) і додамо до другого:
\[ (-4x + 2y) + (4x - 2y) = -6 + 10 \] \[ 0 = 4 \]Отримали неправильну рівність — жодна пара чисел не може задовольнити обидва рівняння.
Відповідь: розв'язків немає.
Приклад 6. Текстова задача
У скарбничці лежать монети по 2 грн і по 5 грн — усього 26 монет на суму 88 грн. Скільки монет кожного номіналу?
Позначимо через \(x\) кількість двогривневих монет, через \(y\) — кількість п'ятигривневих. Кількість монет дає перше рівняння, сума — друге:
\[ \begin{cases} x + y = 26 \\ 2x + 5y = 88 \end{cases} \]Розв'яжемо додаванням: домножимо перше рівняння на \(-2\) і додамо до другого:
\[ (-2x - 2y) + (2x + 5y) = -52 + 88 \] \[ 3y = 36 \quad \Longrightarrow \quad y = 12 \]Тоді \(x = 26 - 12 = 14\).
Перевірка. Перше рівняння: \(14 + 12 = 26\) — правильно. Друге: \(2 \cdot 14 + 5 \cdot 12 = 28 + 60 = 88\) — правильно. Обидва числа цілі й додатні, отже, задача має зміст.
Відповідь: \(14\) монет по 2 грн і \(12\) монет по 5 грн.
Типові помилки
- Знайти \(x\) і зупинитися. Відповідь системи — пара чисел. Розв'язок без другої координати не зараховують.
- Переплутати порядок у парі. \((8;\,1)\) і \((1;\,8)\) — різні відповіді. Першою пишуть ту змінну, що стоїть першою в умові, зазвичай \(x\).
- Підставити вираз у те саме рівняння, з якого його отримали. Виходить тотожність \(0 = 0\), і жодної нової інформації.
- Домножити рівняння не повністю. Множити треба кожен доданок і праву частину теж: із \(2x + 3y = 16\) після множення на \(2\) виходить \(4x + 6y = 32\), а не \(4x + 6y = 16\).
- Втратити знак при додаванні від'ємних коефіцієнтів. Найнадійніше — виписати перетворені рівняння одне під одним і додавати стовпчиками. Якщо дії зі знаками ще даються важко, поверніться до теми від'ємних чисел і модуля.
- Побачити \(0 = 0\) й написати «розв'язків немає». Усе навпаки: \(0 = 0\) — нескінченно багато розв'язків, а неправильна рівність на кшталт \(0 = 4\) — розв'язків немає.
- Перевіряти відповідь лише в одному рівнянні. Пара \((4;\,1)\) задовольняє \(x + y = 5\), але це нічого не доводить, поки не перевірено друге рівняння.
- Ігнорувати зміст текстової задачі. Якщо шукали кількість монет, а вийшло \(y = 12{,}5\), відповідь треба не округлювати, а шукати помилку в складанні системи.
Висновок
Системи лінійних рівнянь — тема, де важливіша дисципліна запису, ніж складність обчислень. Два методи покривають усі шкільні задачі: підстановка зручна, коли якийсь коефіцієнт дорівнює \(1\) або \(-1\); додавання — коли коефіцієнти «незручні» й простіше зрівняти їх домноженням. Обидва методи закінчуються однаково: пара чисел і перевірка в обох рівняннях. Далі ця техніка знадобиться в квадратних рівняннях та в задачах на рух і суміші, де система — стандартний спосіб перекласти умову мовою алгебри.
Якщо системи поки що плутаються — розібратися швидше з викладачем, ніж самотужки. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: за одну зустріч видно, де саме ламається логіка — у виражанні змінної, у знаках чи у трьох випадках.
Який метод обирати — підстановку чи додавання?
Дивіться на коефіцієнти. Якщо в котромусь рівнянні при \(x\) або \(y\) стоїть \(1\) чи \(-1\), швидше буде підстановка — дробів не з'явиться. Якщо ж усі коефіцієнти «важкі» (наприклад, \(3\) і \(5\)), зручніший метод додавання: домножили обидва рівняння й одна змінна зникла. Обидва методи дають однакову відповідь, тож помилки у виборі бути не може — лише різниця в кількості дій.
Чи може система лінійних рівнянь мати рівно два розв'язки?
Ні. Дві прямі на площині або перетинаються в одній точці, або збігаються, або паралельні. Тому можливі лише три відповіді: один розв'язок, нескінченно багато, жодного. Рівно два розв'язки для системи лінійних рівнянь неможливі.
Як записувати відповідь, коли розв'язків нескінченно багато?
Не можна писати просто «безліч». Треба вказати вид усіх розв'язків: виразити одну змінну через другу й записати, наприклад, «усі пари вигляду \((x;\, 2x - 3)\), де \(x\) — будь-яке число». Такий запис показує, що ви розумієте: розв'язків нескінченно багато, але не будь-яких, а лише тих, що лежать на цій прямій.
Навіщо перевіряти пару в обох рівняннях, якщо обчислення були правильні?
Бо саме перевірка виявляє помилку, якої ви не помітили. Типова ситуація: під час підстановки загубився знак, і пара, яку ви отримали, задовольняє одне рівняння, але не друге. Перевірка займає п'ятнадцять секунд і гарантує, що відповідь правильна — незалежно від того, наскільки заплутаними були перетворення.
