Системи нерівностей з однією змінною
Окрему нерівність дев'ятикласник розв'язує вже впевнено, а от коли їх стає дві й вони об'єднані фігурною дужкою — починається плутанина. Найчастіше не через складні перетворення, а через одне питання: що робити з двома відповідями далі, перетинати чи об'єднувати. На заняттях у Tutor-Math ми ставимо цю тему на числову пряму й на слова «і» та «або» — після цього помилки зникають майже повністю. Розберімо означення, алгоритм, різницю між системою та сукупністю й шість прикладів, доведених до проміжку.
Що таке система нерівностей
Означення. Системою нерівностей з однією змінною називають дві або більше нерівностей, для яких треба знайти спільні розв'язки. Систему записують фігурною дужкою.
Наприклад:
\[\begin{cases} 3x - 5 < 7,\\ 2x + 1 \geqslant -3. \end{cases}\]Розв'язок системи — це значення змінної, яке перетворює на правильну числову нерівність кожну нерівність системи. Розв'язати систему — знайти всі такі значення або довести, що їх немає.
Ключове слово тут — «кожну». Якщо число підходить у першу нерівність, але не підходить у другу, воно розв'язком системи не є. Мовою множин: якщо \(A\) — множина розв'язків першої нерівності, а \(B\) — другої, то множина розв'язків системи є їхнім перерізом:
\[X = A \cap B.\]Фігурна дужка читається як сполучник «і»: перша нерівність і друга одночасно. Це та деталь, яку варто промовити вголос, бо саме вона визначає всю подальшу роботу.
Алгоритм розв'язування
Алгоритм короткий і працює для будь-якої кількості лінійних нерівностей у системі.
- Крок 1. Розв'язати кожну нерівність окремо, ніби інших не існує. Тут працюють звичайні правила з теми нерівності та їх властивості: доданок переносимо через знак із протилежним знаком, обидві частини можна множити чи ділити на число — і при множенні на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
- Крок 2. Зобразити обидві множини розв'язків на одній спільній числовій прямій — штрихуванням або дугами, одна над одною.
- Крок 3. Виділити ділянку, де є обидва штрихування. Це і є переріз.
- Крок 4. Записати відповідь проміжком, окремо перевіривши кожен кінець: він включений (квадратна дужка) чи ні (кругла).
Про дужки варто сказати чітко. Знаки \(<\) і \(>\) дають виколоту точку й круглу дужку, знаки \(\leqslant\) і \(\geqslant\) — зафарбовану точку й квадратну. Біля нескінченності дужка завжди кругла: \((-\infty;\ 5]\), а не \([-\infty;\ 5]\).
Система і сукупність: «і» проти «або»
Це місце, де губиться найбільше балів, тому розберімо його повільно. Крім системи існує сукупність нерівностей — її позначають квадратною дужкою:
\[\left[\begin{array}{l} 2x + 3 < 1,\\ x - 4 \geqslant 0. \end{array}\right.\]Розв'язок сукупності — значення змінної, яке задовольняє хоча б одну з нерівностей. Множина розв'язків сукупності — це об'єднання \(X = A \cup B\).
Порівняння в одну таблицю з двох рядків:
- Система — фігурна дужка, сполучник «і», переріз \(A \cap B\), беремо спільну частину штрихувань. Відповідь часто вужча за кожну з окремих множин, іноді порожня.
- Сукупність — квадратна дужка, сполучник «або», об'єднання \(A \cup B\), беремо все заштриховане хоча б раз. Відповідь ніколи не вужча за кожну з множин і порожньою бути не може, якщо хоч одна нерівність має розв'язки.
Запам'ятати допомагає побутова аналогія. «Мені потрібен светр теплий і недорогий» — підходять лише ті, що в перерізі двох вимог, і цілком можливо, що таких немає взагалі. «Мені підійде светр теплий або недорогий» — годиться значно більший вибір. Математика тут поводиться так само.
Коли розв'язків немає
Порожня множина — не помилка й не привід шукати обчислювальний недогляд. Якщо після першого кроку вийшло, скажімо, \(x > 4\) і \(x \leqslant 4\), то жодне число не може бути одночасно більшим за \(4\) і не більшим за \(4\). Штрихування на прямій не мають спільної точки.
Відповідь у такому разі записують як розв'язків немає або \(x \in \varnothing\). Найтиповіший привід для помилки тут — школяр не вірить порожній відповіді й «на всяк випадок» вписує \(x = 4\), хоча цю точку одна з нерівностей виколола.
Подвійна нерівність
Запис виду \(a < f(x) < b\) називають подвійною нерівністю. Це та сама система, тільки складена компактніше:
\[-4 \leqslant 3x - 1 < 8 \iff \begin{cases} 3x - 1 \geqslant -4,\\ 3x - 1 < 8. \end{cases}\]Її зручність у тому, що обидві нерівності містять однаковий вираз, тому перетворення можна робити одразу над трьома частинами: додавати чи віднімати число в усіх трьох, множити або ділити всі три на одне й те саме число. При діленні на від'ємне число обидва знаки міняються на протилежні, а крайні частини міняються місцями — цей момент найкраще перевіряти на конкретному числі, як це роблять із виразами в темі від'ємні числа й модуль.
Приклад 1. Базова система
Розв'яжіть систему:
\[\begin{cases} 3x - 5 < 7,\\ 2x + 1 \geqslant -3. \end{cases}\]Перша нерівність: \(3x < 12\), звідки \(x < 4\). Друга: \(2x \geqslant -4\), звідки \(x \geqslant -2\).
На спільній прямій перше штрихування йде вліво від виколотої точки \(4\), друге — вправо від зафарбованої \(-2\). Спільна частина — відрізок між ними, з включеним лівим кінцем і виключеним правим.
Перевірка кінців: \(x = -2\) дає \(-11 < 7\) і \(-3 \geqslant -3\) — обидві правильні, точка входить. \(x = 4\) дає \(7 < 7\) — хибно, точка не входить.
Відповідь: \(x \in [-2;\ 4)\).
Приклад 2. Порожня множина
Розв'яжіть систему:
\[\begin{cases} 5x - 2 > 3x + 6,\\ -2x + 9 \geqslant 1. \end{cases}\]Перша: \(5x - 3x > 6 + 2\), тобто \(2x > 8\) і \(x > 4\). Друга: \(-2x \geqslant -8\); ділимо на \(-2\) і міняємо знак: \(x \leqslant 4\).
Потрібні числа, більші за \(4\) і водночас не більші за \(4\). Таких немає: штрихування розходяться від точки \(4\) у різні боки й навіть саму точку не ділять, бо в першій нерівності вона виколота.
Відповідь: розв'язків немає, \(x \in \varnothing\).
Приклад 3. Подвійна нерівність
Розв'яжіть \(-4 \leqslant 3x - 1 < 8\).
Додаємо \(1\) до всіх трьох частин: \(-3 \leqslant 3x < 9\). Ділимо всі три частини на \(3\) — число додатне, тому знаки не змінюються: \(-1 \leqslant x < 3\).
Перевірка: \(x = -1\) дає \(3 \cdot (-1) - 1 = -4\), і \(-4 \leqslant -4\) правильно. \(x = 3\) дає \(8\), а \(8 < 8\) хибно — правий кінець виколотий.
Відповідь: \(x \in [-1;\ 3)\).
Приклад 4. Система з дробами
Розв'яжіть систему:
\[\begin{cases} \dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{x}{3} \leqslant 2,\\[6pt] 4 - x < 3x. \end{cases}\]Першу нерівність множимо на \(6\) — спільний знаменник. Число додатне, знак зберігається:
\[3(x - 1) + 2x \leqslant 12,\quad 3x - 3 + 2x \leqslant 12,\quad 5x \leqslant 15,\quad x \leqslant 3.\]Друга нерівність: \(4 < 3x + x\), тобто \(4 < 4x\) і \(x > 1\). Техніка перенесення тут та сама, що й у лінійних рівняннях, змінюється лише поводження зі знаком при множенні на від'ємне.
Переріз: числа, більші за \(1\) і не більші за \(3\). Перевіримо \(x = 3\): \(\tfrac{2}{2} + \tfrac{3}{3} = 2\), і \(2 \leqslant 2\) правильно; друга нерівність дає \(1 < 9\) — теж правильно, кінець включений.
Відповідь: \(x \in (1;\ 3]\).
Приклад 5. Система проти сукупності
Дано ті самі дві нерівності. Розв'яжіть а) систему, б) сукупність:
\[\text{а)}\ \begin{cases} 2x + 3 < 1,\\ x - 4 \geqslant 0; \end{cases} \qquad \text{б)}\ \left[\begin{array}{l} 2x + 3 < 1,\\ x - 4 \geqslant 0. \end{array}\right.\]Окремо: \(2x < -2\) дає \(x < -1\); \(x \geqslant 4\) уже готове.
а) Система вимагає обох умов одночасно. Число, менше за \(-1\), не може бути більшим або рівним \(4\). Спільної частини штрихувань немає.
б) Сукупність вимагає хоча б однієї умови. Беремо все заштриховане: промінь вліво від \(-1\) і промінь вправо від \(4\), включно з \(4\).
Контроль на числі \(x = -2\): перша нерівність \(-1 < 1\) правильна, друга \(-6 \geqslant 0\) хибна. Для системи \(-2\) не підходить, для сукупності — підходить. Одні й ті самі нерівності, різні відповіді.
Відповідь: а) розв'язків немає; б) \(x \in (-\infty;\ -1) \cup [4;\ +\infty)\).
Приклад 6. Цілі розв'язки
Знайдіть цілі розв'язки системи:
\[\begin{cases} 7 - 2x \leqslant 5,\\[4pt] \dfrac{x}{4} < 2. \end{cases}\]Перша: \(-2x \leqslant -2\); ділимо на \(-2\) зі зміною знака: \(x \geqslant 1\). Друга: множимо на \(4\), отримуємо \(x < 8\).
Переріз — проміжок \([1;\ 8)\). Цілі числа в ньому: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\) — рівно сім штук. Число \(8\) не входить, бо друга нерівність строга.
Відповідь: \(x \in [1;\ 8)\); цілі розв'язки — \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\).
Типові помилки
- Об'єднати замість перерізу. Найпоширеніша помилка теми: учень бачить фігурну дужку, а бере все заштриховане. Правило-рятівник: фігурна дужка — це «і», квадратна — «або».
- Не змінити знак при діленні на від'ємне число. З \(-2x \geqslant -8\) отримують \(x \geqslant 4\) замість \(x \leqslant 4\). Далі вся система розв'язується бездоганно — і дає хибну відповідь.
- Плутанина з дужками у відповіді. Знак \(\leqslant\) дає квадратну дужку, знак \(<\) — круглу. Біля \(\infty\) дужка завжди кругла.
- Записати проміжок «навиворіт». Відповідь \((4;\ -2)\) не має сенсу: у проміжку спершу йде менше число. Якщо вийшов такий запис, насправді розв'язків немає.
- Не повірити порожній відповіді. Порожня множина — цілком законний результат, а не сигнал шукати помилку в обчисленнях.
- Втратити частину відповіді в подвійній нерівності. Перетворення треба робити в усіх трьох частинах, а не в двох.
- Ділити нерівність на вираз зі змінною. Знак виразу невідомий, тому невідомо, чи змінювати знак нерівності. У лінійних системах цього робити не потрібно ніколи.
Висновок
Системи нерівностей — тема, у якій техніка проста, а помилки майже завжди смислові. Розв'язати кожну нерівність окремо, показати обидві множини на одній прямій, узяти спільну частину, акуратно оформити дужки — цей алгоритм працює без винятків. А головне — щоразу відповідати собі на питання «і» чи «або»: саме воно відрізняє систему від сукупності. Далі той самий підхід перенесеться на нерівності з модулем і на системи, де одна з нерівностей квадратна — а її розв'язання спирається на вміння знаходити корені з теми квадратні рівняння.
Якщо дитина впевнено розв'язує окремі нерівності, але «зависає» на етапі числової прямої або систематично плутає переріз з об'єднанням, це швидко виправляється за одне-два заняття. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math — викладач визначить, де саме рветься логічний ланцюжок, і закриє прогалину до контрольної.
Чим система нерівностей відрізняється від сукупності?
Система записується фігурною дужкою й вимагає, щоб виконувалися всі нерівності одночасно — це сполучник «і», а відповідь є перерізом множин \(A \cap B\). Сукупність записується квадратною дужкою й вимагає виконання хоча б однієї нерівності — сполучник «або», відповідь є об'єднанням \(A \cup B\). Одні й ті самі дві нерівності дають різні відповіді залежно від того, система це чи сукупність.
Що робити, якщо розв'язки нерівностей не перетинаються?
Тоді система розв'язків не має. Це нормальний результат, а не помилка. У відповіді пишуть «розв'язків немає» або \(x \in \varnothing\). Наприклад, система з \(x > 4\) і \(x \leqslant 4\) порожня, бо жодне число не може одночасно бути більшим за \(4\) і не більшим за \(4\).
Як правильно розв'язувати подвійну нерівність?
Подвійна нерівність \(a < f(x) < b\) рівносильна системі з двох нерівностей, тому її можна перетворювати одразу цілком: додавати або віднімати число в усіх трьох частинах, множити чи ділити всі три частини на одне число. Якщо множник від'ємний, обидва знаки міняються на протилежні, а крайні частини міняються місцями. Головне — не робити перетворення лише у двох частинах із трьох.
Коли знак нерівності змінюється на протилежний?
Рівно в одному випадку: при множенні або діленні обох частин нерівності на від'ємне число. Перенесення доданка з однієї частини в іншу знак не змінює, множення на додатне число — теж. Наприклад, із \(-3x < 12\) після ділення на \(-3\) виходить \(x > -4\), а не \(x < -4\).
