Трапеція: види, властивості, площа
Трапеція — перша фігура в геометрії 8 класу, у якій сторони поводяться по-різному: дві паралельні, дві ні. Через цю несиметричність учні плутають, що куди підставляти, і замість формули площі трапеції тягнуть формулу прямокутника. Насправді вся тема тримається на трьох речах: середня лінія, висота і вміння побачити в трапеції прямокутний трикутник. На заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо саме цей третій навик — бо він перетворює більшість задач на трапецію в задачі, які школяр уже вміє розв'язувати.
Означення та елементи трапеції
Означення. Трапеція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.
Паралельні сторони називають основами трапеції (більша й менша), непаралельні — бічними сторонами. Позначатимемо основи \(a\) і \(b\), бічні сторони \(c\) і \(d\).
Висота трапеції \(h\) — це перпендикуляр, проведений від однієї основи до прямої, що містить другу основу. Висота дорівнює відстані між основами.
Слово «не паралельні» в означенні принципове: якщо обидві пари сторін паралельні, це вже паралелограм, а не трапеція. Тому паралелограм, ромб і квадрат трапеціями не є.
Ще одна властивість, яка випливає прямо з паралельності основ: сума кутів при кожній бічній стороні дорівнює \(180^\circ\).
\[ \angle A + \angle D = 180^\circ, \qquad \angle B + \angle C = 180^\circ \]Це внутрішні односторонні кути при паралельних основах. Властивість рятує щоразу, коли в задачі дано лише один кут.
Види трапецій
Крім довільної, розрізняють два особливі види з власними наборами властивостей.
Рівнобічна (рівнобедрена) трапеція — трапеція, у якої бічні сторони рівні: \(c = d\).
Прямокутна трапеція — трапеція, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
Рівнобічна трапеція симетрична відносно прямої через середини основ. Прямокутна — ні: у неї одна бічна сторона стоїть вертикально й одночасно є висотою.
Властивості рівнобічної трапеції
Це головний вид у задачах, властивостей у нього чотири.
- Кути при кожній основі рівні: \(\angle A = \angle D\) і \(\angle B = \angle C\).
- Діагоналі рівні: \(AC = BD\).
- Висоти, опущені з вершин меншої основи, відтинають від більшої основи два рівні відрізки завдовжки \(\dfrac{a-b}{2}\) кожен, а середня частина дорівнює \(b\).
- Навколо рівнобічної трапеції завжди можна описати коло. І навпаки: якщо навколо трапеції описано коло, вона рівнобічна.
Останній пункт варто пояснити. Коло описується навколо чотирикутника лише тоді, коли суми протилежних кутів дорівнюють \(180^\circ\). У трапеції це зводиться до умови \(\angle C = \angle D\), тобто до рівнобічності. Тому «вписана в коло трапеція» і «рівнобічна трапеція» — одне й те саме.
Третя властивість — робоча конячка всіх обчислень. Опустимо з вершин меншої основи дві висоти: більша основа розіб'ється на частини \(\dfrac{a-b}{2}\), \(b\) і \(\dfrac{a-b}{2}\). Утворюються два рівні прямокутні трикутники з катетами \(h\) і \(\dfrac{a-b}{2}\) та гіпотенузою \(c\). Далі працює теорема Піфагора:
\[ h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} \]Прямокутна трапеція
Тут простіше: бічна сторона \(c\), перпендикулярна до основ, сама і є висотою, \(h = c\). Два кути прямі, решта два дають у сумі \(180^\circ\).
Щоб знайти похилу бічну сторону \(d\), опускають одну висоту з вершини меншої основи. Утворюється прямокутний трикутник з катетами \(h\) і \(a - b\), де \(d\) — гіпотенуза:
\[ d = \sqrt{h^2 + (a-b)^2} \]Зверніть увагу на різницю: у рівнобічній трапеції в трикутник іде половина різниці основ, у прямокутній — уся різниця, бо висота тільки одна. Це найчастіше джерело помилок у темі.
Середня лінія трапеції
Означення. Середня лінія трапеції — це відрізок, що сполучає середини бічних сторін.
Теорема. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі: \(m = \dfrac{a+b}{2}\).
Формулу читають в обидва боки: відомі основи — знаходимо \(m\); відомі \(m\) і одна основа — знаходимо другу: \(a = 2m - b\). Детальніше — у статті про середню лінію.
\[ m = \frac{a+b}{2} \qquad \Longleftrightarrow \qquad a + b = 2m \]Площа трапеції
Теорема. Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту.\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h \]
Оскільки \(\dfrac{a+b}{2} = m\), формулу зручніше пам'ятати коротше:
\[ S = m \cdot h \]Тобто площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту. Це формула площі прямокутника зі сторонами \(m\) і \(h\): трапецію можна «перекроїти» саме в такий прямокутник. Порівняння з формулами площ інших чотирикутників є в статті про прямокутник, ромб і квадрат.
Є й друга формула — через діагоналі та кут між ними. Вона працює для будь-якого опуклого чотирикутника, зокрема й для трапеції:
\[ S = \frac{1}{2} \, d_1 d_2 \sin \varphi \]де \(d_1\) і \(d_2\) — діагоналі, \(\varphi\) — кут між ними. Для рівнобічної трапеції \(d_1 = d_2 = d\), і формула спрощується до \(S = \dfrac{1}{2} d^2 \sin \varphi\).
Коло, вписане в трапецію
Умова. У трапецію можна вписати коло тоді й лише тоді, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін: \(a + b = c + d\).
З цієї умови випливають два зручні наслідки. По-перше, для рівнобічної трапеції з вписаним колом \(c = d = \dfrac{a+b}{2} = m\): бічна сторона дорівнює середній лінії. По-друге, діаметр вписаного кола дорівнює висоті трапеції, тобто \(r = \dfrac{h}{2}\), — коло торкається обох основ.
Не плутайте дві умови: вписати коло можна за \(a+b=c+d\), а описати — лише навколо рівнобічної трапеції.
Приклад 1. Середня лінія в обидва боки
а) Основи трапеції дорівнюють 14 см і 8 см. Знайти середню лінію.
- \(m = \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{14+8}{2} = \dfrac{22}{2} = 11\) см.
б) Середня лінія дорівнює 9 см, більша основа — 12 см. Знайти меншу основу.
- З формули \(a + b = 2m\) маємо \(12 + b = 18\), звідси \(b = 6\) см.
- Перевірка: \(\dfrac{12+6}{2} = 9\) — збігається з умовою.
Відповідь: а) 11 см; б) 6 см.
Приклад 2. Площа за основами і висотою
а) Основи трапеції 12 см і 8 см, висота 5 см. Знайти площу.
- \(m = \dfrac{12+8}{2} = 10\) см.
- \(S = m \cdot h = 10 \cdot 5 = 50\) см².
б) Площа трапеції 90 см², основи 13 см і 7 см. Знайти висоту.
- \(m = \dfrac{13+7}{2} = 10\) см.
- З \(S = m \cdot h\): \(h = \dfrac{S}{m} = \dfrac{90}{10} = 9\) см.
- Перевірка: \(10 \cdot 9 = 90\) см² — збігається.
Відповідь: а) 50 см²; б) 9 см.
Приклад 3. Висота рівнобічної трапеції через теорему Піфагора
У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 20 см і 8 см, бічна сторона — 10 см. Знайти висоту, площу й периметр.
- Опускаємо дві висоти з вершин меншої основи. Кожна відтинає відрізок \(\dfrac{a-b}{2} = \dfrac{20-8}{2} = 6\) см.
- У прямокутному трикутнику катет 6 см, гіпотенуза 10 см. За теоремою Піфагора: \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8\) см.
- Середня лінія: \(m = \dfrac{20+8}{2} = 14\) см. Площа: \(S = 14 \cdot 8 = 112\) см².
- Периметр: \(P = 20 + 8 + 10 + 10 = 48\) см.
Відповідь: \(h = 8\) см, \(S = 112\) см², \(P = 48\) см.
Приклад 4. Прямокутна трапеція
У прямокутній трапеції основи 15 см і 9 см, менша бічна сторона (вона ж висота) дорівнює 8 см. Знайти похилу бічну сторону, площу й периметр.
- Опускаємо висоту з вершини меншої основи на більшу. Горизонтальний катет дорівнює всій різниці основ: \(a - b = 15 - 9 = 6\) см.
- Похила сторона — гіпотенуза: \(d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10\) см.
- \(m = \dfrac{15+9}{2} = 12\) см, тому \(S = 12 \cdot 8 = 96\) см².
- \(P = 15 + 9 + 8 + 10 = 42\) см.
Відповідь: \(d = 10\) см, \(S = 96\) см², \(P = 42\) см.
Приклад 5. Трапеція з вписаним колом
У рівнобічну трапецію з основами 18 см і 8 см вписано коло. Знайти бічну сторону, радіус кола й площу трапеції.
- Умова вписаного кола: \(a + b = c + d\). Оскільки трапеція рівнобічна, \(c = d\), тому \(2c = 18 + 8 = 26\), звідси \(c = 13\) см.
- Половина різниці основ: \(\dfrac{18-8}{2} = 5\) см. Висота: \(h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) см.
- Радіус вписаного кола: \(r = \dfrac{h}{2} = 6\) см.
- Площа: \(m = \dfrac{18+8}{2} = 13\) см, отже \(S = 13 \cdot 12 = 156\) см².
Перевірка іншим способом — через півпериметр і радіус вписаного кола: \(p = \dfrac{18+8+13+13}{2} = 26\) см, тоді \(S = p \cdot r = 26 \cdot 6 = 156\) см². Обидва способи дали однаковий результат.
Відповідь: \(c = 13\) см, \(r = 6\) см, \(S = 156\) см².
Приклад 6. Площа через діагоналі й кут між ними
Діагоналі рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см кожна, кут між ними \(30^\circ\). Знайти площу.
- \(S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ\).
- \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), тому \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 144 \cdot \dfrac{1}{2} = 36\) см².
Відповідь: 36 см².
Типові помилки
- Множать основи замість того, щоб брати півсуму. Записують \(S = a \cdot b\) або \(S = \dfrac{a \cdot b}{2}\). Правильно — \(S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h\): основи додаються, а не множаться.
- Забувають поділити на 2. Пишуть \(S = (a+b) \cdot h\) і отримують удвічі більше. Страховка: спершу порахуйте \(m\), потім \(S = m \cdot h\).
- Плутають половину різниці основ із усією різницею. У рівнобічній трапеції в прямокутний трикутник іде \(\dfrac{a-b}{2}\), у прямокутній — уся різниця \(a-b\). Помилка тут одразу ламає висоту.
- Вважають бічну сторону висотою в довільній трапеції. Це вірно лише для прямокутної трапеції, і тільки для тієї сторони, що перпендикулярна до основ.
- Плутають умови вписаного й описаного кола. Вписати коло можна за умови \(a+b=c+d\); описати коло — лише навколо рівнобічної трапеції. Це різні критерії й вони не взаємозамінні.
Висновок
Трапеція виглядає складнішою за прямокутник, але зводиться до знайомих фігур: дві висоти з вершин меншої основи — і маємо прямокутник плюс один-два прямокутні трикутники, де працює теорема Піфагора. Формулу площі тримайте в голові як \(S = m \cdot h\), а середню лінію рахуйте першим кроком у будь-якій задачі.
Якщо дитина плутає види трапецій або не бачить, куди вписати прямокутний трикутник, прогалина тут вузька й закривається швидко. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: викладач перевірить базу з чотирикутників і закриє конкретне слабке місце, а не весь розділ підряд.
Часті питання
Чи є паралелограм окремим випадком трапеції?
За шкільним означенням — ні. У трапеції паралельна рівно одна пара протилежних сторін. Паралелограм, ромб, прямокутник і квадрат мають дві такі пари, тому до трапецій не належать. Ширше «інклюзивне» означення, за яким паралелограм вважають трапецією, в українській школі не використовується.
Як знайти висоту рівнобічної трапеції, якщо відомі основи й бічна сторона?
Опустіть висоти з вершин меншої основи на більшу. Кожна відтинає відрізок завдовжки \(\dfrac{a-b}{2}\). Утворюється прямокутний трикутник з катетом \(\dfrac{a-b}{2}\) і гіпотенузою \(c\), а висота знаходиться за теоремою Піфагора: \(h = \sqrt{c^2 - \left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2}\).
Коли в трапецію можна вписати коло?
Тоді й лише тоді, коли \(a+b=c+d\). Для рівнобічної трапеції це означає, що бічна сторона дорівнює середній лінії. Радіус кола дорівнює половині висоти, бо коло торкається обох основ.
Чому діагоналі рівнобічної трапеції рівні?
Розгляньте два трикутники, утворені більшою основою, бічною стороною і діагоналлю. Більша основа в них спільна, бічні сторони рівні за умовою, кути при більшій основі рівні. Трикутники рівні за першою ознакою, отже, рівні й діагоналі.
