Текстові задачі на рух: як скласти рівняння
Задачі на рух лякають не математикою, а текстом. Саме рівняння в них зазвичай просте — лінійне або квадратне, — а от перетворити три речення про велосипедиста й мотоцикліста на рядок із символами вміє далеко не кожен семикласник. Хороша новина в тому, що тут існує єдиний механічний прийом, який працює майже завжди: таблиця «швидкість — час — відстань». На заняттях у Tutor-Math ми починаємо саме з неї, бо вона перетворює «здогадатися» на «заповнити три клітинки», а це вже навичка, яку можна натренувати.
Основна формула руху та три її форми
Формула. Якщо тіло рухається рівномірно зі швидкістю \(v\) протягом часу \(t\), то пройдений шлях дорівнює \[ s = v \cdot t \]
З цієї рівності випливають ще дві, і всі три треба знати напам'ять:
\[ s = v t, \qquad v = \frac{s}{t}, \qquad t = \frac{s}{v} \]По суті це та сама залежність, записана з різних боків — точно як в основній властивості пропорції. Яку з форм використати, вирішує питання задачі: шукаємо час — беремо \(t = s/v\), шукаємо швидкість — беремо \(v = s/t\).
Критично важлива дрібниця: одиниці мають бути узгоджені. Швидкість \(60\) км/год і час \(30\) хвилин не перемножуються напряму: спершу \(30\) хв \(= 0{,}5\) год, і лише тоді \(s = 60 \cdot 0{,}5 = 30\) км.
Універсальний метод: таблиця «швидкість — час — відстань»
Це ядро всієї теми. Ідея така: у задачі є кілька учасників руху — два автомобілі або той самий човен на двох ділянках. Для кожного учасника малюємо рядок із трьох клітинок: \(v\), \(t\), \(s\).
Алгоритм. 1) Визначити учасників руху — стільки, скільки різних «шматків» руху описано в задачі. 2) Позначити невідоме через \(x\). 3) Заповнити для кожного учасника дві клітинки з умови, а третю — за формулою \(s = vt\). 4) Знайти в умові фразу, яка пов'язує рядки між собою, і записати її як рівняння.
Ключ у кроці 4. Заповнена таблиця сама показує, звідки взяти рівняння: у ній обов'язково залишиться одне співвідношення, яке ще не використане. Наприклад, «разом вони проїхали \(420\) км» — це сума двох клітинок стовпчика \(s\). Або «на зворотний шлях витратив на годину більше» — це різниця двох клітинок стовпчика \(t\).
Ось як виглядає таблиця для задачі про два потяги, що виїхали назустріч і зустрілися через \(3\) години, причому швидкість другого на \(20\) км/год більша:
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/год} & t,\ \text{год} & s,\ \text{км} \\ \hline \text{Перший} & x & 3 & 3x \\ \text{Другий} & x + 20 & 3 & 3(x+20) \end{array} \]Третій стовпчик ми не читали з умови — ми його порахували за формулою \(s = vt\). А фраза «відстань між містами \(420\) км» ще не використана, і вона стосується суми шляхів. Звідси одразу \(3x + 3(x+20) = 420\).
Що брати за \(x\) і як не помилитися з вибором
Загальне правило: за \(x\) беруть ту величину, через яку найпростіше виразити всі інші. Часто це саме те, що питають, але не завжди — іноді зручніше позначити меншу з двох величин, щоб уникнути дробів і мінусів.
- Якщо в умові є фраза «на \(20\) більша» — беріть за \(x\) меншу величину, тоді друга буде \(x + 20\) без жодного мінуса.
- Якщо є фраза «у \(3\) рази швидша» — беріть за \(x\) повільнішу, друга буде \(3x\).
- Не позначайте через \(x\) відстань, якщо про неї в умові взагалі не йдеться: беріть ту величину, про яку питають.
І обов'язково записуйте словами, що саме означає ваш \(x\): «нехай \(x\) — власна швидкість човна, км/год». Половина помилок у цій темі — це коли учень наприкінці забув, що знайшов не те, про що питали.
Рух назустріч
Два тіла рухаються одне до одного. Відстань між ними щогодини зменшується на суму швидкостей.
Швидкість зближення: \(v_{\text{збл}} = v_1 + v_2\). Час до зустрічі: \[ t = \frac{s}{v_1 + v_2} \]
Якщо тіла вийшли одночасно, то до моменту зустрічі вони рухалися однаковий час — це і є друге, часто головне рівняння задачі. Сума пройдених ними шляхів дорівнює початковій відстані: \(v_1 t + v_2 t = s\).
Рух навздогін
Тіла рухаються в один бік, і те, що позаду, швидше. Відстань між ними скорочується на різницю швидкостей.
Швидкість зближення: \(v_{\text{збл}} = v_1 - v_2\), де \(v_1\) — швидкість того, хто наздоганяє. Час до зустрічі: \[ t = \frac{s_0}{v_1 - v_2} \] де \(s_0\) — початковий відрив.
Наздогнати вдасться лише за умови \(v_1 > v_2\): при рівних швидкостях відстань не змінюється взагалі. Найтонше місце тут — обчислити \(s_0\): зазвичай перший виїхав раніше, і його відрив дорівнює швидкості, помноженій на цю фору в часі.
Рух у протилежних напрямках
Тіла виходять з однієї точки й розходяться. Дзеркальна ситуація до руху назустріч: відстань щогодини зростає на суму швидкостей.
Швидкість віддалення: \(v_{\text{відд}} = v_1 + v_2\). Відстань через час \(t\): \[ s = (v_1 + v_2) \cdot t \]
Рух за течією і проти течії
Найпопулярніший тип на екзаменах. Човен має власну швидкість \(v\) — це швидкість у стоячій воді. Річка з течією \(v_{\text{теч}}\) або допомагає, або заважає.
Формули руху по річці: \[ v_{\text{за}} = v + v_{\text{теч}}, \qquad v_{\text{проти}} = v - v_{\text{теч}} \]
Звідси два корисні наслідки, які часто самі є ключем до розв'язку:
\[ v = \frac{v_{\text{за}} + v_{\text{проти}}}{2}, \qquad v_{\text{теч}} = \frac{v_{\text{за}} - v_{\text{проти}}}{2} \]Пліт, колода чи будь-який предмет, що просто пливе за водою, рухається зі швидкістю течії: власної швидкості в нього немає. І ще одне обмеження, яке рятує від хибних коренів: обов'язково \(v > v_{\text{теч}}\), інакше проти течії човен узагалі не пропливе.
Середня швидкість: класична пастка
Половину шляху автомобіль їхав зі швидкістю \(60\) км/год, другу половину — зі швидкістю \(40\) км/год. Яка середня швидкість? Відповідь «\(50\)» — неправильна.
Означення. Середня швидкість — це весь пройдений шлях, поділений на весь витрачений час: \[ v_{\text{сер}} = \frac{s_{\text{заг}}}{t_{\text{заг}}} \] Середня швидкість не дорівнює середньому арифметичному швидкостей.
Причина проста: на повільній ділянці тіло проводить більше часу, тому мала швидкість «важить» більше. Порахуємо чесно для шляху \(120\) км: перші \(60\) км за \(60 : 60 = 1\) год, другі \(60\) км за \(60 : 40 = 1{,}5\) год. Разом \(120\) км за \(2{,}5\) год, отже \(v_{\text{сер}} = 120 : 2{,}5 = 48\) км/год.
Результат не залежить від довжини шляху — його можна вивести в загальному вигляді для рівних половин:
\[ v_{\text{сер}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{100} = 48 \]Середнє арифметичне \(50\) вийшло б лише в іншій задачі — якби автомобіль їхав з кожною швидкістю однаковий час, а не однакову відстань. Уважно читайте, що саме ділиться навпіл: шлях чи час.
Приклади з розв'язанням
Приклад 1. Назустріч. З двох міст, відстань між якими \(420\) км, одночасно назустріч виїхали два потяги і зустрілися через \(3\) години. Швидкість другого на \(20\) км/год більша за швидкість першого. Знайти обидві швидкості.
Нехай \(x\) — швидкість першого потяга (км/год). Таблиця з розділу вище дає шляхи \(3x\) і \(3(x+20)\), а їхня сума — це \(420\):
\[ 3x + 3(x + 20) = 420 \] \[ 3x + 3x + 60 = 420 \] \[ 6x = 360 \] \[ x = 60 \]Тоді другий рухався зі швидкістю \(60 + 20 = 80\) км/год. Перевірка: за \(3\) години перший пройде \(180\) км, другий \(240\) км, разом \(180 + 240 = 420\) км.
Відповідь: \(60\) км/год і \(80\) км/год.
Приклад 2. Навздогін. З пункту A виїхав велосипедист зі швидкістю \(15\) км/год. Через \(2\) години слідом за ним виїхав мотоцикліст зі швидкістю \(45\) км/год. Через скільки годин після свого виїзду мотоцикліст наздожене велосипедиста?
Початковий відрив: за \(2\) години велосипедист відірвався на \(15 \cdot 2 = 30\) км. Нехай \(x\) — час руху мотоцикліста до зустрічі. Складаємо таблицю, де в мотоцикліста час \(x\), а у велосипедиста — на \(2\) години більше:
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/год} & t,\ \text{год} & s,\ \text{км} \\ \hline \text{Велосипедист} & 15 & x + 2 & 15(x+2) \\ \text{Мотоцикліст} & 45 & x & 45x \end{array} \]У момент зустрічі обидва подолали однакову відстань від пункту A:
\[ 15(x + 2) = 45x \] \[ 15x + 30 = 45x \] \[ 30x = 30 \] \[ x = 1 \]Перевірка: велосипедист був у дорозі \(3\) години і проїхав \(45\) км; мотоцикліст за \(1\) годину проїхав \(45\) км. Місце те саме. Той самий результат дає формула зближення: \(30 : (45 - 15) = 1\).
Відповідь: через \(1\) годину.
Приклад 3. Протилежні напрямки. З одного пункту одночасно у протилежних напрямках вирушили два автомобілі. Через \(4\) години відстань між ними стала \(400\) км. Швидкість одного на \(10\) км/год більша за швидкість другого. Знайти швидкості.
Нехай \(x\) — менша швидкість. Швидкість віддалення дорівнює \(x + (x + 10)\), і за \(4\) години вона дає \(400\) км:
\[ 4\big(x + (x + 10)\big) = 400 \] \[ 8x + 40 = 400 \] \[ 8x = 360 \] \[ x = 45 \]Друга швидкість — \(55\) км/год. Перевірка: за \(4\) години перший проїде \(180\) км, другий \(220\) км; оскільки вони їдуть у різні боки, відстань між ними \(180 + 220 = 400\) км.
Відповідь: \(45\) км/год і \(55\) км/год.
Приклад 4. Річка. Човен пройшов \(56\) км за течією і \(20\) км проти течії, витративши на весь шлях \(6\) годин. Швидкість течії \(2\) км/год. Знайти власну швидкість човна.
Нехай \(x\) — власна швидкість човна. Тоді за течією він іде зі швидкістю \(x + 2\), проти течії — \(x - 2\). Тут учасників руху теж двоє, тільки це один човен на двох ділянках, а невідомі клітинки — у стовпчику часу:
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/год} & t,\ \text{год} & s,\ \text{км} \\ \hline \text{За течією} & x + 2 & \dfrac{56}{x+2} & 56 \\ \text{Проти течії} & x - 2 & \dfrac{20}{x-2} & 20 \end{array} \]Невикористана фраза — «на весь шлях \(6\) годин», тобто сума стовпчика часу:
\[ \frac{56}{x + 2} + \frac{20}{x - 2} = 6 \]Множимо обидві частини на \((x+2)(x-2)\), враховуючи обмеження \(x > 2\):
\[ 56(x - 2) + 20(x + 2) = 6(x^2 - 4) \] \[ 76x - 72 = 6x^2 - 24 \] \[ 6x^2 - 76x + 48 = 0 \] \[ 3x^2 - 38x + 24 = 0 \]Дискримінант: \(D = 38^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 1444 - 288 = 1156\), \(\sqrt{D} = 34\). Тоді
\[ x = \frac{38 \pm 34}{6} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 12, \quad x_2 = \frac{2}{3} \]Корінь \(x_2 = \tfrac{2}{3}\) відкидаємо: він менший за швидкість течії, і проти течії такий човен рухався б назад. Техніку розв'язування таких рівнянь докладно розібрано у статті про квадратні рівняння. Перевірка: за течією човен іде зі швидкістю \(12 + 2 = 14\) км/год і долає \(56\) км за \(56 : 14 = 4\) год; проти течії — зі швидкістю \(12 - 2 = 10\) км/год і витрачає \(20 : 10 = 2\) год. Разом \(4 + 2 = 6\) годин, як в умові.
Відповідь: \(12\) км/год.
Приклад 5. Туди й назад. Відстань між містами \(120\) км. Автомобіль проїхав з A до B і повернувся, витративши \(5\) годин. Назад він їхав на \(20\) км/год повільніше. Знайти швидкість на шляху туди.
Нехай \(x\) — швидкість туди, тоді назад — \(x - 20\), причому \(x > 20\). Сума часів дорівнює \(5\):
\[ \frac{120}{x} + \frac{120}{x - 20} = 5 \] \[ 120(x - 20) + 120x = 5x(x - 20) \] \[ 240x - 2400 = 5x^2 - 100x \] \[ x^2 - 68x + 480 = 0 \]За теоремою Вієта корені \(60\) і \(8\), бо \(60 + 8 = 68\) і \(60 \cdot 8 = 480\). Корінь \(8\) не підходить: тоді швидкість назад була б від'ємною. Перевірка: \(120 : 60 = 2\) год туди, \(120 : 40 = 3\) год назад, разом \(5\) годин.
Відповідь: \(60\) км/год.
Приклад 6. Середня швидкість. Перші \(60\) км шляху автомобіль їхав зі швидкістю \(60\) км/год, наступні \(60\) км — зі швидкістю \(40\) км/год. Знайти середню швидкість на всьому шляху.
Рахуємо не швидкості, а шлях і час окремо:
\[ t_1 = \frac{60}{60} = 1, \qquad t_2 = \frac{60}{40} = 1{,}5, \qquad t_{\text{заг}} = 2{,}5 \] \[ v_{\text{сер}} = \frac{120}{2{,}5} = 48 \]Перевірка змістом: середня швидкість має лежати між \(40\) і \(60\) і бути ближчою до меншої, бо на повільній ділянці витрачено більше часу. \(48\) цю умову задовольняє, а \(50\) — ні.
Відповідь: \(48\) км/год.
Типові помилки
- Середня швидкість як середнє арифметичне. Для \(60\) і \(40\) км/год на рівних половинах шляху відповідь \(48\), а не \(50\). Середню швидкість завжди рахують як \(s_{\text{заг}} : t_{\text{заг}}\), і ніяк інакше.
- Мішанина одиниць. Швидкість у км/год множать на час у хвилинах. \(40\) хвилин — це \(\tfrac{2}{3}\) години, а не \(0{,}4\) години; переводьте одразу, ще до складання рівняння.
- Забутий відрив у задачах навздогін. Учень пише \(45x = 15x\) і отримує \(x=0\), бо не врахував, що велосипедист виїхав на \(2\) години раніше й уже пройшов \(30\) км.
- Плутанина «за течією» і «проти течії». Течія допомагає, тому \(v_{\text{за}}\) — це сума. Записувати \(v - v_{\text{теч}}\) для руху за течією — найчастіша помилка в цьому типі задач.
- Не відкинутий сторонній корінь. Квадратне рівняння дає два корені, але швидкість не буває від'ємною, а власна швидкість човна не буває меншою за швидкість течії. Кожен корінь перевіряйте на зміст.
- Відповідь не на те питання. Знайшли \(x = 60\) — швидкість першого, а питали про другий. Виписуйте на початку словами, що означає \(x\), і повертайтеся до цього запису наприкінці.
Висновок
Задачі на рух — це не окремий розділ математики, а вправа на переклад з української на алгебраїчну. Формула одна, \(s = vt\); типів взаємного руху чотири; інструмент один — таблиця «швидкість — час — відстань». Далі все зводиться до техніки: лінійне рівняння, квадратне або система двох рівнянь, якщо невідомих дві. Заповніть таблицю акуратно — і рівняння з'явиться саме.
Якщо складання рівняння за текстом поки що дається важко, найшвидший шлях — розібрати кілька задач кожного типу поспіль, з поясненням уголос, що означає кожна клітинка таблиці. Запишіться на пробне заняття: викладач Tutor-Math побачить, на якому саме кроці рветься логіка, і поставить метод.
Часті питання
Чому середня швидкість не дорівнює середньому арифметичному?
Бо на повільній ділянці тіло проводить більше часу, і ця швидкість «важить» у підсумку більше. Для рівних половин шляху зі швидкостями \(60\) і \(40\) км/год середня швидкість дорівнює \(48\) км/год, а не \(50\). Середнє арифметичне вийшло б, якби з кожною швидкістю рухалися однаковий час.
Що брати за \(x\) у задачі на рух?
Ту величину, через яку найлегше виразити всі інші. Якщо в умові сказано «на \(20\) км/год більша», беріть за \(x\) меншу швидкість — тоді друга буде \(x + 20\) без мінусів. Обов'язково запишіть словами, що саме означає ваш \(x\), інакше легко відповісти не на те питання.
Як знайти швидкість течії, якщо відомі швидкості за течією і проти?
Швидкість течії дорівнює половині їхньої різниці, а власна швидкість човна — половині суми. Наприклад, при \(14\) км/год за течією і \(10\) км/год проти течії маємо течію \((14-10):2 = 2\) км/год і власну швидкість \((14+10):2 = 12\) км/год.
Чому в задачах на рух іноді виходить два корені?
Тому що рівняння з дробами після зведення стає квадратним, а квадратне рівняння має до двох коренів. Математично підходять обидва, але за змістом задачі один зазвичай відкидають: швидкість не може бути від'ємною, а власна швидкість човна не може бути меншою за швидкість течії.
