Квадратный корень: свойства и преобразования
Квадратный корень — первая тема восьмого класса, где привычные действия с числами перестают работать «по аналогии». Корень из суммы не равен сумме корней, а выражение \(\sqrt{a^2}\) далеко не всегда даёт \(a\). На занятиях в Tutor-Math мы начинаем именно с этих двух ловушек: ошибки, заложенные здесь, позже всплывают в квадратных уравнениях, в теореме Пифагора и во всей старшей алгебре. Разберём тему последовательно: определение, область допустимых значений, свойства, преобразования выражений и примеры, доведённые до ответа.
Определение арифметического квадратного корня
Определение. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа \(a\) называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Обозначают \(\sqrt{a}\).
То есть запись \(\sqrt{a} = b\) означает сразу два условия:
\[b \geqslant 0 \quad \text{и} \quad b^2 = a.\]Слово «арифметический» здесь не украшение. Уравнение \(x^2 = 25\) имеет два корня: \(5\) и \(-5\). Но \(\sqrt{25}\) — это одно конкретное число, и оно равно \(5\). Знак корня по определению выдаёт только неотрицательный результат. Поэтому запись \(\sqrt{25} = \pm 5\) неверна, а решение уравнения \(x^2 = 25\) правильно записывать как \(x = \pm\sqrt{25} = \pm 5\) — знак «плюс-минус» ставит сам человек, а не символ корня.
Простейшие значения стоит знать наизусть, как таблицу умножения: \(\sqrt{0}=0\), \(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{16}=4\), \(\sqrt{25}=5\), \(\sqrt{36}=6\), \(\sqrt{49}=7\), \(\sqrt{64}=8\), \(\sqrt{81}=9\), \(\sqrt{100}=10\), далее \(\sqrt{121}=11\), \(\sqrt{144}=12\), \(\sqrt{169}=13\). Это прямое следствие темы степень с натуральным показателем: корень — действие, обратное возведению в квадрат.
ОДЗ подкоренного выражения
В множестве действительных чисел квадрат любого числа неотрицателен. Значит, числа, квадрат которого равен \(-9\), просто не существует — и выражение \(\sqrt{-9}\) лишено смысла.
Правило ОДЗ. Выражение \(\sqrt{A}\) имеет смысл тогда и только тогда, когда \(A \geqslant 0\). Подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Отсюда практический вывод: как только под корнем появляется буква, нужно выписать условие. Для \(\sqrt{x-7}\) имеем \(x - 7 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 7\). Для \(\sqrt{5-2x}\) — наоборот: \(5 - 2x \geqslant 0\), откуда \(x \leqslant 2{,}5\). А вот \(\sqrt{x^2+4}\) имеет смысл при любом \(x\), потому что подкоренное выражение всегда не меньше \(4\).
Главная ловушка темы: \(\sqrt{a^2} = |a|\)
Это место, где ошибается большинство восьмиклассников, и потому оно заслуживает отдельного раздела. Соблазн написать \(\sqrt{a^2} = a\) огромен: корень и квадрат словно «сокращаются». Проверим это на числах.
Пусть \(a = 6\). Тогда \(\sqrt{6^2} = \sqrt{36} = 6\) — формула \(\sqrt{a^2}=a\) сработала. Теперь пусть \(a = -6\). Считаем честно, слева направо: сначала квадрат, \((-6)^2 = 36\), затем корень, \(\sqrt{36} = 6\). Результат — \(6\), а не \(-6\). Формула \(\sqrt{a^2}=a\) дала бы \(-6\), то есть отрицательное число, чего арифметический корень выдать не может по определению.
Ключевая формула. Для любого действительного \(a\) выполняется \(\sqrt{a^2} = |a|\).
Логика проста: результат корня обязан быть неотрицательным, а модуль — ровно та операция, которая делает число неотрицательным, не меняя его «величины». Если \(a \geqslant 0\), то \(|a| = a\), и формула совпадает с наивной. Если \(a < 0\), то \(|a| = -a\) — именно поэтому \(\sqrt{(-6)^2} = |-6| = 6\). Если тема модуля подзабылась, её стоит освежить: положительные и отрицательные числа, модуль.
На практике это значит: снимать модуль можно только тогда, когда известен знак выражения. Например, \(\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\), и упростить до \(x-3\) разрешено лишь при условии \(x \geqslant 3\). Если же известно, что \(x < 3\), правильный ответ — \(3-x\).
Свойства квадратного корня
1. Корень из произведения. При \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\):
\[\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.\]Микропример: \(\sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12\). Проверка: \(\sqrt{144} = 12\). Работает и в обратную сторону — \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{27} = \sqrt{81} = 9\).
2. Корень из частного. При \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\):
\[\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\]Микропример: \(\sqrt{\dfrac{49}{81}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}} = \dfrac{7}{9}\).
3. Вынесение множителя из-под корня. Это основной приём упрощения. Подкоренное число раскладывают на произведение, в котором один множитель — полный квадрат, и извлекают его наружу:
\[\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}.\]Микропример: \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Важно выделять наибольший квадратный делитель: разложение \(\sqrt{72}=\sqrt{4\cdot 18}=2\sqrt{18}\) не ошибочно, но не доведено до конца, ведь из \(\sqrt{18}\) ещё можно выносить. Найти наибольший квадратный делитель помогает разложение на простые множители: \(72 = 2^3\cdot 3^2\), пары множителей выходят наружу.
4. Внесение множителя под корень. Обратная операция. При \(a \geqslant 0\):
\[a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}.\]Микропример: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\). Если множитель перед корнем отрицательный, он остаётся снаружи: \(-3\sqrt{5} = -\sqrt{45}\), иначе мы превратили бы отрицательное число в положительное. Внесение особенно удобно для сравнения выражений: два корня сравнить легко, а «корень с множителем» — нет.
Освобождение от иррациональности в знаменателе
Дробь вида \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) считают незавершённой записью: корень в знаменателе усложняет и дальнейшие вычисления, и приближённую оценку значения. Избавиться от него можно умножением числителя и знаменателя на одно и то же выражение.
Случай 1: в знаменателе один корень. Умножаем на этот же корень:
\[\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.\]Случай 2: в знаменателе сумма или разность с корнем. Здесь умножение на то же самое выражение не поможет — появится удвоенное произведение. Нужно сопряжённое выражение: к \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) сопряжённым является \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\), и наоборот. Работает формула разности квадратов:
\[(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a - b.\]Корни исчезают, потому что каждый возводится в квадрат. Микропример: \(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2\).
Примеры с решением
Пример 1. Упростить \(\sqrt{72} - \sqrt{50} + \sqrt{18}\).
Выносим множители из-под каждого корня: \(\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}\), \(\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}\). Все три слагаемых свелись к одинаковому корню \(\sqrt{2}\) — теперь их можно складывать как подобные слагаемые: \(6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (6-5+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).
Ответ: \(4\sqrt{2}\).
Пример 2. Вычислить \(\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2} + \sqrt{5}\).
По формуле \(\sqrt{a^2}=|a|\) получаем \(\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2} = \left|2-\sqrt{5}\right|\). Теперь определяем знак выражения под модулем: \(\sqrt{5} \approx 2{,}24 > 2\), значит \(2-\sqrt{5} < 0\), и модуль раскрывается со сменой знака: \(\left|2-\sqrt{5}\right| = \sqrt{5}-2\). Подставляем: \(\left(\sqrt{5}-2\right) + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}-2\).
Ошибка «сократить корень с квадратом» дала бы \(2-\sqrt{5}+\sqrt{5} = 2\). Разница с правильным ответом заметна: \(2\sqrt{5}-2 \approx 2{,}47\), а не \(2\).
Ответ: \(2\sqrt{5}-2\).
Пример 3. Сравнить \(3\sqrt{5}\) и \(2\sqrt{11}\).
Оба числа иррациональны, «на глаз» разница незаметна. Вносим множители под корень: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9\cdot 5} = \sqrt{45}\), \(2\sqrt{11} = \sqrt{4\cdot 11} = \sqrt{44}\). Теперь сравнение очевидно: \(45 > 44\), а большему подкоренному числу соответствует больший корень.
Ответ: \(3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}\).
Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе: \(\dfrac{10}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\).
Знаменатель — разность корней, сопряжённое к нему выражение \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\). Умножаем на него числитель и знаменатель:
\[\frac{10}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \frac{10\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)} = \frac{10\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{7-2} = \frac{10\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{5}.\]Сокращаем на \(5\): получаем \(2\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)\), то есть \(2\sqrt{7}+2\sqrt{2}\). Числовая проверка: \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\approx 1{,}23\), и \(10 : 1{,}23 \approx 8{,}12\); с другой стороны \(2\sqrt{7}+2\sqrt{2}\approx 5{,}29+2{,}83 = 8{,}12\).
Ответ: \(2\sqrt{7}+2\sqrt{2}\).
Пример 5. Вычислить \(\left(\sqrt{12}+\sqrt{27}\right)\cdot\sqrt{3}\).
Сначала упрощаем слагаемые в скобках: \(\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}\). Сумма в скобках равна \(5\sqrt{3}\). Умножаем: \(5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 5\cdot 3 = 15\).
Ответ: \(15\).
Типичные ошибки
- Корень из суммы «разрывают» на сумму корней. Формулы \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}\) не существует. Контрпример: \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), тогда как \(\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7\). Распределять корень можно только по умножению и делению, но не по сложению и вычитанию.
- Потеря модуля. Запись \(\sqrt{a^2}=a\) верна лишь при \(a \geqslant 0\). В общем случае \(\sqrt{a^2}=|a|\), и снимать модуль разрешено только после выяснения знака выражения.
- Отрицательное подкоренное выражение. \(\sqrt{-16}\) в множестве действительных чисел не существует. Не путайте с \(-\sqrt{16} = -4\): здесь минус стоит перед корнем, а не под ним, и выражение вполне корректно.
- Забытое ОДЗ с буквой. Преобразуя \(\sqrt{x-2}\), сначала фиксируют \(x \geqslant 2\). Без этого условия в ответе могут появиться посторонние значения.
- Сложение неподобных корней. \(\sqrt{2}+\sqrt{3} \ne \sqrt{5}\). Складывать можно только слагаемые с одинаковым подкоренным выражением: \(2\sqrt{3}+5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\).
- Знак при внесении под корень. \(-3\sqrt{5} \ne \sqrt{45}\). Минус остаётся снаружи: \(-3\sqrt{5} = -\sqrt{45}\).
- Неполное вынесение. \(\sqrt{72} = 2\sqrt{18}\) — формально верно, но ответ не упрощён до конца. Правильно \(6\sqrt{2}\).
Вывод
Квадратный корень держится на трёх опорах: определение (результат всегда неотрицателен), ОДЗ (подкоренное выражение не меньше нуля) и формула \(\sqrt{a^2}=|a|\). Остальное — техника: вынесение и внесение множителя, распределение корня по произведению и частному, умножение на сопряжённое выражение. Эти навыки станут рабочим инструментом уже через несколько тем — в квадратных уравнениях, где корень появляется в формуле дискриминанта, и в теореме Пифагора, где почти каждый ответ требует упрощения.
Если ребёнок путается со знаками, «теряет» модуль или не видит, какой множитель выносить из-под корня, — это типичная ситуация, и решается она практикой под присмотром. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: преподаватель за одну встречу определит, где именно рвётся логика, и составит план, который закроет пробел до контрольной.
Частые вопросы
Почему \(\sqrt{25}\) равен \(5\), а не \(\pm 5\)?
Потому что арифметический квадратный корень по определению — неотрицательное число. Уравнение \(x^2 = 25\) действительно имеет два корня, \(5\) и \(-5\), но сам символ \(\sqrt{\phantom{x}}\) обозначает только один из них — неотрицательный. Знак «плюс-минус» ставят при решении уравнения: \(x = \pm\sqrt{25} = \pm 5\).
Когда \(\sqrt{a^2}\) можно записать просто как \(a\)?
Только если известно, что \(a \geqslant 0\). Во всех остальных случаях верный ответ \(|a|\). Например, \(\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\), и снять модуль до \(x-3\) можно лишь при условии \(x \geqslant 3\); если \(x < 3\), результат равен \(3-x\).
Зачем освобождаться от иррациональности в знаменателе?
Это стандарт записи ответа: дробь с корнем в знаменателе считают незавершённой. Практическая причина — такую форму легче оценить численно и проще преобразовывать дальше. Сравните: значение \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) без калькулятора оценить трудно, а равное ему \(2\sqrt{3}\approx 3{,}46\) — легко.
Можно ли сложить \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{3}\)?
Упростить эту сумму не получится: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne\sqrt{5}\), и более короткой точной записи у неё нет. Складывать корни можно только тогда, когда подкоренные выражения одинаковы — по образцу подобных слагаемых: \(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}\). Иногда корни становятся подобными после вынесения множителя, как в примере с \(\sqrt{72}\), \(\sqrt{50}\) и \(\sqrt{18}\).
