Медиана, высота, биссектриса треугольника

Q: В каком отношении точка пересечения медиан делит медиану?

В отношении 2:1, считая от вершины. То есть от вершины до точки пересечения — две трети медианы, от точки пересечения до середины стороны — одна треть. Эта точка называется центроидом и всегда лежит внутри треугольника.

Медиана, высота, биссектриса треугольника: все формулы

Три отрезка, которые проводят из вершины треугольника, — медиана, высота и биссектриса. Определения у них разные, точки пересечения разные, формулы тоже разные. Но на контрольных ученики путают их постоянно: проводят «что-то из вершины на противоположную сторону» и подставляют первую вспомнившуюся формулу. В Tutor-Math мы начинаем эту тему с разграничения — сначала научиться видеть, что именно проведено, и только потом считать. Ниже разобраны все три линии: определения, точки пересечения, формулы длин и поведение в особых треугольниках.

Три определения, которые нужно различать

Все три отрезка выходят из вершины. Различает их условие, которому подчинён второй конец.

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону.

Биссектриса — отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до пересечения с противоположной стороной; она делит угол пополам.

Ключ к различению — вопрос «что делится пополам?»:

медиана делит пополам сторону;
биссектриса делит пополам угол;
высота не делит пополам ничего — она задаёт прямой угол со стороной.

В каждом треугольнике по три медианы, три высоты и три биссектрисы — по одной из каждой вершины. Обозначают их по стороне или вершине: \(m_a\) — медиана к стороне \(a\), \(h_a\) — высота на сторону \(a\), \(l_a\) — биссектриса угла \(A\).

Точки пересечения: центроид, ортоцентр, инцентр

Для каждой тройки линий действует отдельная теорема о пересечении в одной точке. Три разные тройки — три разные точки с разными свойствами.

Центроид. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины.

То есть если \(M\) — точка пересечения медиан, а \(AK\) — медиана из вершины \(A\), то

\[ AM = \frac{2}{3}\,AK, \qquad MK = \frac{1}{3}\,AK, \qquad \frac{AM}{MK} = \frac{2}{1} \]

Центроид — это центр масс треугольника: вырезанная из картона фигура балансирует именно на этой точке. Он всегда лежит внутри треугольника, каким бы тот ни был.

Ортоцентр. Три высоты треугольника (или прямые, их содержащие) пересекаются в одной точке.

Инцентр. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Инцентр равноудалён от всех трёх сторон, и это общее расстояние — радиус вписанной окружности \(r\). Его удобно считать через площадь и полупериметр: \(r = \dfrac{S}{p}\), где \(p = \dfrac{a+b+c}{2}\). Инцентр, как и центроид, всегда внутри треугольника — потому что углы треугольника внутри, и их биссектрисы тоже.

Не путайте инцентр с центром описанной окружности: последний лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам, а не биссектрис. Это разные точки (совпадают только в равностороннем треугольнике).

Где лежит ортоцентр

Ортоцентр — единственная из трёх точек, которая может выходить за пределы треугольника. Это источник путаницы, поэтому запомните три случая:

Остроугольный треугольник — ортоцентр внутри. Все три высоты падают на сами стороны.
Прямоугольный треугольник — ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла. Причина простая: катеты являются высотами друг к другу, и оба проходят через эту вершину.
Тупоугольный треугольник — ортоцентр снаружи треугольника. Две высоты падают не на стороны, а на их продолжения, поэтому и пересечение выходит наружу.

Формула длины медианы

Формула медианы. Медиана, проведённая к стороне \(a\), вычисляется через все три стороны: \[ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

Здесь \(b\) и \(c\) — стороны, прилежащие к вершине, из которой выходит медиана, а \(a\) — сторона, к которой она проведена. Аналогично \(m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}\) и \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}\). Главное — не перепутать, какая именно сторона стоит со знаком минус: это всегда та, к которой проведена медиана.

Отдельный случай, который стоит знать наизусть: медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Он встречается в задачах ДПА постоянно.

Формула высоты и связь с площадью

Кратчайший путь к высоте — через площадь.

Поскольку \(S = \dfrac{1}{2}ah_a\), то \[ h_a = \frac{2S}{a} \]

Если площадь неизвестна, её считают по формуле Герона \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), а затем подставляют. Эта схема — «Герон, потом \(h=\frac{2S}{a}\)» — универсальна: работает для любого треугольника, если известны три стороны. Подробнее обо всех способах вычисления — в статье о площади треугольника. В прямоугольном треугольнике проще: катеты сами являются высотами, а высоту к гипотенузе находят как \(h = \dfrac{a b}{c}\), где \(a,b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза.

Обратите внимание: в треугольнике со сторонами разной длины наибольшей стороне соответствует наименьшая высота — из формулы \(h_a=\frac{2S}{a}\) это видно сразу, так как площадь постоянна.

Биссектриса: свойство деления стороны и формула длины

Свойство биссектрисы. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} \]

Это главный рабочий инструмент темы: он превращает геометрическую задачу в пропорцию. Больший отрезок прилежит к большей стороне — быстрая проверка на здравый смысл. Детальный разбор с доказательством есть в статье о свойстве биссектрисы треугольника.

Длину самой биссектрисы удобно искать по формуле через отрезки, на которые она делит сторону:

\[ l_a^2 = bc - BL \cdot LC \]

Эквивалентная запись сразу через стороны:

\[ l_a = \sqrt{bc\left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right)} \]

Ответы здесь редко бывают целыми — обычно получается корень, который оставляют в точном виде. Если упрощение радикалов идёт тяжело, стоит повторить квадратный корень.

Равнобедренный и равносторонний треугольник

В особых треугольниках линии начинают совпадать — и это чаще всего источник правильных коротких решений.

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, — это один и тот же отрезок.

Важная деталь, которую пропускают: совпадение есть только для линии к основанию. Медиана и высота, проведённые к боковой стороне, остаются разными отрезками. Это же свойство работает и в обратную сторону и служит признаком: если в треугольнике медиана из какой-то вершины оказалась высотой, треугольник равнобедренный.

В равностороннем треугольнике все три линии из каждой вершины совпадают, а центроид, ортоцентр, инцентр и центр описанной окружности — одна и та же точка.

Для равностороннего треугольника со стороной \(a\):

\[ h = m = l = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad r = \frac{a\sqrt{3}}{6}, \qquad R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \]

Радиусы получаются из отношения \(2:1\) на медиане: центр делит её на \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{1}{3}\), и это как раз \(R\) и \(r\).

Пример 1. Медиана к гипотенузе

В треугольнике стороны равны 6, 8 и 10. Найти медиану, проведённую к стороне 10.

Здесь \(a = 10\) (сторона, к которой проведена медиана), \(b = 6\), \(c = 8\).
Подставляем: \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 36 + 2\cdot 64 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5\).
Проверка: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), значит треугольник прямоугольный, а 10 — гипотенуза. Медиана к гипотенузе равна её половине: \(10 : 2 = 5\). Совпадает. О самом равенстве — в статье о теореме Пифагора.

Ответ: \(m_a = 5\).

Пример 2. Медиана и центроид

Стороны треугольника: \(BC = 8\), \(AC = 7\), \(AB = 9\). Найти медиану из вершины \(A\) и отрезки, на которые её делит точка пересечения медиан.

Медиана проведена к стороне \(BC = 8\), прилежащие стороны — 7 и 9.
\(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 49 + 2\cdot 81 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{98 + 162 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{196} = 7\).
Точка \(M\) делит медиану в отношении \(2:1\) от вершины: \(AM = \frac{2}{3}\cdot 7 = \frac{14}{3}\), \(MK = \frac{1}{3}\cdot 7 = \frac{7}{3}\).
Проверка: \(\frac{14}{3} + \frac{7}{3} = \frac{21}{3} = 7\) — вся медиана; отношение \(\frac{14}{3} : \frac{7}{3} = 2\).

Ответ: \(m_a = 7\), \(AM = \frac{14}{3}\), \(MK = \frac{7}{3}\).

Пример 3. Все три высоты через площадь

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти все три высоты.

Полупериметр: \(p = \frac{13+14+15}{2} = 21\).
Площадь по Герону: \(S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\).
\(h_{13} = \frac{2\cdot 84}{13} = \frac{168}{13} \approx 12{,}92\).
\(h_{14} = \frac{2\cdot 84}{14} = 12\).
\(h_{15} = \frac{2\cdot 84}{15} = \frac{56}{5} = 11{,}2\).
Проверка логики: наибольшей стороне 15 соответствует наименьшая высота 11,2 — всё правильно.

Ответ: \(\frac{168}{13}\); \(12\); \(11{,}2\).

Пример 4. Биссектриса делит сторону

В треугольнике \(ABC\): \(AB = 8\), \(AC = 12\), \(BC = 15\). Биссектриса угла \(A\) пересекает \(BC\) в точке \(L\). Найти \(BL\) и \(LC\).

По свойству биссектрисы: \(\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).
Обозначим \(BL = 2x\), \(LC = 3x\). Тогда \(2x + 3x = 15\), откуда \(5x = 15\) и \(x = 3\).
\(BL = 6\), \(LC = 9\).
Проверка: \(6 + 9 = 15\) — вся сторона; \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}\). Больший отрезок \(LC=9\) прилежит к большей стороне \(AC=12\).

Ответ: \(BL = 6\), \(LC = 9\).

Пример 5. Длина биссектрисы

В треугольнике \(ABC\): \(AB = 6\), \(AC = 9\), \(BC = 5\). Найти длину биссектрисы, проведённой из вершины \(A\).

Сначала отрезки: \(\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\), поэтому \(BL = \frac{2}{5}\cdot 5 = 2\), \(LC = \frac{3}{5}\cdot 5 = 3\).
По формуле: \(l_a^2 = AB \cdot AC - BL \cdot LC = 6 \cdot 9 - 2 \cdot 3 = 54 - 6 = 48\).
\(l_a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\).
Проверка второй формулой: \(l_a^2 = bc\left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right) = 54\left(1 - \frac{25}{225}\right) = 54\cdot\frac{200}{225} = 48\). Совпадает.

Ответ: \(l_a = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\).

Пример 6. Совпадение линий в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 10, основание — 16. Найти высоту к основанию и отрезки медианы, разделённые центроидом.

Как медиана к основанию: \(m = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 100 + 2\cdot 100 - 256} = \frac{1}{2}\sqrt{144} = 6\).
Как высота через площадь: \(p = \frac{10+10+16}{2} = 18\), \(S = \sqrt{18\cdot 8\cdot 8\cdot 2} = \sqrt{2304} = 48\), откуда \(h = \frac{2\cdot 48}{16} = 6\).
Оба способа дали 6 — медиана и высота к основанию действительно совпадают.
Центроид делит этот отрезок \(2:1\): от вершины \(\frac{2}{3}\cdot 6 = 4\), до основания \(\frac{1}{3}\cdot 6 = 2\).
Контроль через Пифагора: половина основания 8, боковая сторона 10, тогда \(h = \sqrt{100-64} = \sqrt{36} = 6\).

Ответ: высота 6; отрезки медианы 4 и 2.

Типичные ошибки

Медиану путают с биссектрисой. Медиана делит пополам сторону, биссектриса — угол. В произвольном треугольнике это разные отрезки, и делят они противоположную сторону по-разному.
Считают, что биссектриса делит сторону пополам. Она делит её пропорционально прилежащим сторонам. Пополам — только тогда, когда эти стороны равны, то есть в равнобедренном треугольнике.
Неправильная сторона под минусом в формуле медианы. В \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\) со знаком минус идёт та сторона, к которой проведена медиана. Перестановка даёт совсем другое число.
Забывают множитель \(\frac{1}{2}\). Ответ получается вдвое больше правильного — и это самая частая арифметическая потеря баллов в теме.
Ищут ортоцентр внутри тупоугольного треугольника. Там две высоты падают на продолжения сторон, и точка пересечения лежит снаружи.
Центр вписанной окружности путают с центром описанной. Вписанная — пересечение биссектрис, описанная — пересечение серединных перпендикуляров.
Отношение \(2:1\) отсчитывают не с того конца. Больший отрезок \(\frac{2}{3}\) всегда прилежит к вершине, меньший \(\frac{1}{3}\) — к стороне.
Переносят совпадение линий на все стороны равнобедренного треугольника. Медиана, высота и биссектриса совпадают только для линии, проведённой к основанию.

Вывод

Вся тема держится на трёх определениях и трёх точках. Медиана идёт в середину стороны и пересекается с остальными в центроиде, который делит её \(2:1\) от вершины. Высота падает под прямым углом, а ортоцентр в зависимости от вида треугольника оказывается внутри, в вершине прямого угла или снаружи. Биссектриса делит угол пополам, а противоположную сторону — пропорционально прилежащим сторонам, и все три сходятся в центре вписанной окружности. Формул немного: \(m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\), \(h_a=\frac{2S}{a}\), \(l_a^2 = bc - BL\cdot LC\). Сложность — не в них, а в том, чтобы точно понимать, какая именно линия проведена в задаче.

Если ребёнок путает эти три отрезка или механически подставляет формулу медианы в задачу о биссектрисе, разобраться можно быстро — пробел здесь узкий и очень конкретный. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: преподаватель проверит, какие именно определения «слиплись», и разведёт их на конкретных чертежах.

Частые вопросы

Чем медиана отличается от биссектрисы и высоты?

Вопросом «что делится пополам». Медиана делит пополам противоположную сторону, биссектриса делит пополам угол при вершине, а высота ничего пополам не делит — она образует прямой угол с противоположной стороной. В произвольном треугольнике это три разных отрезка, проведённых из одной вершины.

Могут ли медиана, высота и биссектриса совпадать?

Да. В равнобедренном треугольнике они совпадают, если проведены к основанию — но только к основанию, для боковых сторон совпадения нет. В равностороннем треугольнике совпадают все три линии из каждой вершины, а центроид, ортоцентр, инцентр и центр описанной окружности становятся одной точкой.

В каком отношении точка пересечения медиан делит медиану?

В отношении \(2:1\), считая от вершины. То есть от вершины до точки пересечения — две трети медианы, от точки пересечения до середины стороны — одна треть. Эта точка называется центроидом и всегда лежит внутри треугольника.

Где расположен ортоцентр в тупоугольном треугольнике?

Снаружи треугольника. В тупоугольном треугольнике две высоты падают не на сами стороны, а на их продолжения, поэтому и точка пересечения прямых выходит за пределы фигуры. В остроугольном треугольнике ортоцентр внутри, а в прямоугольном — точно в вершине прямого угла.