НОД и НОК: как находить и зачем они нужны
Две аббревиатуры, которые появляются в шестом классе и потом сопровождают ученика до выпускных экзаменов: НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное. Без них не сократить дробь и не сложить дроби с разными знаменателями. На занятиях в Tutor-Math мы отрабатываем их до автоматизма именно поэтому: это не отдельная тема «на неделю», а инструмент, которым школьник пользуется ежедневно. Разберём оба понятия с нуля — с определениями, алгоритмом и примерами, посчитанными до конца.
Что такое наибольший общий делитель
Сначала о делителях. Делитель числа — это натуральное число, на которое оно делится без остатка. У числа 12 делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. У числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Общие для обоих — 1, 2, 3 и 6. Наибольший из них — 6.
Определение. Наибольший общий делитель чисел \(a\) и \(b\) — это наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка и \(a\), и \(b\). Обозначают \(\text{НОД}(a,\,b)\) или \((a,\,b)\).
Итак, \(\text{НОД}(12,\,18)=6\). Ключевое слово здесь — «наибольший»: общих делителей может быть много, нас интересует максимальный. Единица является общим делителем всегда, поэтому НОД существует для любой пары натуральных чисел и никогда не меньше 1.
Если \(\text{НОД}(a,\,b)=1\), числа называют взаимно простыми. Например, \(\text{НОД}(7,\,9)=1\): у семёрки делители только 1 и 7, у девятки — 1, 3, 9, общая лишь единица. Обратите внимание: при этом сами числа не обязаны быть простыми, девятка составная.
Что такое наименьшее общее кратное
Кратное числа — это результат умножения его на натуральное число. Кратные шестёрки: 6, 12, 18, 24, 30, 36... Кратные восьмёрки: 8, 16, 24, 32, 40, 48... Первое число, встретившееся в обоих списках, — 24.
Определение. Наименьшее общее кратное чисел \(a\) и \(b\) — это наименьшее натуральное число, которое делится без остатка и на \(a\), и на \(b\). Обозначают \(\text{НОК}(a,\,b)\) или \([a,\,b]\).
То есть \(\text{НОК}(6,\,8)=24\). Метод перебора списков работает для маленьких чисел, но для пары вроде 84 и 90 выписывать кратные придётся долго. Нужен нормальный алгоритм.
Алгоритм через разложение на простые множители
Универсальный способ, работающий для любых чисел. Идея проста: раскладываем оба числа на простые множители, а дальше собираем ответ из этих множителей по двум разным правилам.
Правило. Чтобы найти НОД, берут общие простые множители с наименьшим показателем степени. Чтобы найти НОК, берут все простые множители, встретившиеся хотя бы в одном разложении, с наибольшим показателем.
Чтобы быстро раскладывать числа, нужно уверенно владеть признаками делимости на 2, 3, 5, 9, 10 — без них разложение превращается в угадывание. Если базовые понятия о делителях и кратных ещё плывут, стоит повторить тему натуральных чисел.
Пример 1. НОД и НОК чисел 48 и 60
Раскладываем:
\[48 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^4\cdot 3\] \[60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 2^2\cdot 3\cdot 5\]Для НОД ищем общие множители. Двойка есть в обоих разложениях: в первом в четвёртой степени, во втором — во второй. Берём меньший показатель: \(2^2\). Тройка есть в обоих, в обоих в первой степени: \(3\). Пятёрки в разложении 48 нет, поэтому она не входит.
\[\text{НОД}(48,\,60) = 2^2\cdot 3 = 4\cdot 3 = 12\]Для НОК берём все множители с наибольшим показателем: двойка — \(2^4\), тройка — \(3\), пятёрка — \(5\).
\[\text{НОК}(48,\,60) = 2^4\cdot 3\cdot 5 = 16\cdot 15 = 240\]Проверим: \(240:48=5\), \(240:60=4\) — делится на оба. И \(48:12=4\), \(60:12=5\) — оба делятся на 12.
Ответ: \(\text{НОД}(48,\,60)=12\), \(\text{НОК}(48,\,60)=240\).
Пример 2. НОД и НОК чисел 84 и 90
Числа больше, перебор кратных здесь был бы утомительным. Раскладываем:
\[84 = 2^2\cdot 3\cdot 7\] \[90 = 2\cdot 3^2\cdot 5\]Общие множители — 2 и 3. Наименьшие показатели: у двойки \(2^1\) (в разложении 90 она одна), у тройки \(3^1\) (в разложении 84 она одна).
\[\text{НОД}(84,\,90) = 2\cdot 3 = 6\]Для НОК берём всё с максимальными показателями: \(2^2\), \(3^2\), \(5\), \(7\).
\[\text{НОК}(84,\,90) = 4\cdot 9\cdot 5\cdot 7 = 1260\]Контроль: \(1260:84=15\), \(1260:90=14\). Сходится.
Ответ: \(\text{НОД}(84,\,90)=6\), \(\text{НОК}(84,\,90)=1260\).
Связь НОД и НОК: одна формула вместо двух разложений
Между этими двумя величинами есть жёсткая связь, экономящая половину работы.
Теорема. Для любых натуральных \(a\) и \(b\) выполняется \(\text{НОД}(a,\,b)\cdot\text{НОК}(a,\,b) = a\cdot b\).
Отсюда сразу следует рабочая формула:
\[\text{НОК}(a,\,b) = \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a,\,b)}\]Проверим на предыдущем примере: \(6\cdot 1260 = 7560\) и \(84\cdot 90 = 7560\) — равенство выполняется.
Пример 3. Найти НОК(45, 60) через НОД
Сначала НОД. Разложения: \(45 = 3^2\cdot 5\), \(60 = 2^2\cdot 3\cdot 5\). Общие множители — тройка с меньшим показателем \(3^1\) и пятёрка \(5\).
\[\text{НОД}(45,\,60) = 3\cdot 5 = 15\]Теперь по формуле:
\[\text{НОК}(45,\,60) = \frac{45\cdot 60}{15} = \frac{2700}{15} = 180\]Проверка: \(180:45=4\), \(180:60=3\).
Ответ: \(\text{НОД}(45,\,60)=15\), \(\text{НОК}(45,\,60)=180\).
Пример 4. Две текстовые задачи
Задача на НОД. В классе есть 24 тетради и 36 карандашей. Сколько одинаковых наборов можно составить, использовав всё без остатка, и что будет в каждом наборе?
Количество наборов должно делить и 24, и 36. Наибольшее такое количество — это НОД. Разложения: \(24 = 2^3\cdot 3\), \(36 = 2^2\cdot 3^2\). Общее: \(2^2\cdot 3 = 12\). В каждом наборе будет \(24:12 = 2\) тетради и \(36:12 = 3\) карандаша.
Ответ: 12 наборов по 2 тетради и 3 карандаша.
Задача на НОК. Один автобус отходит от остановки каждые 12 минут, второй — каждые 18. В 8:00 они отошли вместе. Когда это случится в следующий раз?
Момент общего отправления должен быть кратен и 12, и 18; ближайший — НОК. Разложения: \(12 = 2^2\cdot 3\), \(18 = 2\cdot 3^2\), значит \(\text{НОК} = 2^2\cdot 3^2 = 36\).
Ответ: через 36 минут, в 8:36.
Где это нужно: дроби
Основное применение обоих понятий — именно обыкновенные дроби. Здесь работает простое разделение ролей: НОД сокращает, НОК приводит к общему знаменателю.
Сокращение дроби. Чтобы сразу получить несократимую дробь, числитель и знаменатель делят на их НОД. Возьмём \(\frac{84}{90}\): мы уже нашли \(\text{НОД}(84,\,90)=6\), поэтому
\[\frac{84}{90} = \frac{84:6}{90:6} = \frac{14}{15}\]Дальше сокращать некуда: \(\text{НОД}(14,\,15)=1\). Если делить на случайный общий делитель — скажем, на 2 — получится \(\frac{42}{45}\), и придётся сокращать ещё раз. Деление именно на НОД даёт результат за один шаг.
Общий знаменатель. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, знаменателем берут их НОК — это наименьший общий знаменатель. Посчитаем \(\frac{5}{12}+\frac{7}{18}\). Мы знаем: \(\text{НОК}(12,\,18)=36\). Дополнительные множители: \(36:12=3\) и \(36:18=2\).
\[\frac{5}{12}+\frac{7}{18} = \frac{15}{36}+\frac{14}{36} = \frac{29}{36}\]Можно было взять знаменателем просто произведение \(12\cdot 18 = 216\) — ответ выйдет тот же, но с необходимостью сокращать в конце и со значительно большими числами. Подробнее о действиях с дробями — в материале про виды обыкновенных дробей и правила операций с ними.
Типичные ошибки
- Путают НОД и НОК. Самая распространённая ошибка шестого класса. Мнемоника: НОД делит числа, поэтому он не больше меньшего из них; НОК делится на числа, поэтому он не меньше большего из них. Если для 48 и 60 получилось «НОД = 240» — ответ явно не тот.
- Для НОД берут множитель, которого нет во втором разложении. Пятёрка в разложении 60 есть, а в 48 — нет, значит в НОД она не входит. В НОД попадают только общие множители.
- Для НОК берут наименьший показатель вместо наибольшего. Даёт число, которое не делится на оба. Всегда проверяйте делением — это пять секунд.
- Ошибка в самом разложении. Например, «\(90 = 2\cdot 3\cdot 15\)» — пятнадцать не простое число. Разложение завершено лишь тогда, когда все множители простые.
- Забывают, что НОД может равняться меньшему числу. Если одно число делится на другое, как 12 и 36, то \(\text{НОД}=12\), а \(\text{НОК}=36\). Разложение здесь вообще не нужно.
- Умножают вместо того, чтобы искать НОК. Произведение всегда является общим кратным, но редко наименьшим. Оно равно НОК только для взаимно простых чисел.
Вывод
НОД и НОК — это две стороны одного алгоритма. Разложили оба числа на простые множители, взяли общие с минимальными показателями — получили НОД; взяли все с максимальными — получили НОК. Проверка всегда под рукой: произведение НОД и НОК должно равняться произведению самих чисел. Дальше это работает на сокращение дробей и общий знаменатель, а через них — на всё, что будет с дробями в седьмом классе и позже.
Если тема «не заходит» с учебника, быстрее всего её снимает разбор на живых примерах с объяснением, откуда берётся каждый шаг. На индивидуальных занятиях в Tutor-Math преподаватель видит, где именно ломается логика — в разложении, в выборе показателей или в самой постановке задачи, — и закрывает пробел точечно, а не «проходит тему заново».
Чем отличается НОД от НОК?
НОД — наибольшее число, на которое делятся оба заданных числа; оно всегда меньше или равно меньшему из них. НОК — наименьшее число, которое делится на оба заданных; оно всегда больше или равно большему из них. НОД используют для сокращения дробей, НОК — для приведения к общему знаменателю.
Как быстро найти НОД двух чисел?
Самый надёжный способ — разложить оба числа на простые множители и перемножить общие множители с наименьшими показателями. Если числа большие, удобнее алгоритм Евклида: большее число делят на меньшее с остатком, затем делитель на остаток, и так пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД. Например, \(90 = 84\cdot 1 + 6\), далее \(84 = 6\cdot 14 + 0\), значит \(\text{НОД}(84,\,90)=6\).
Может ли НОД равняться 1?
Да. Если \(\text{НОД}(a,\,b)=1\), числа называют взаимно простыми — у них нет общих делителей, кроме единицы. Пример: \(\text{НОД}(7,\,9)=1\). Для таких чисел НОК равно их произведению: \(\text{НОК}(7,\,9)=63\).
Зачем НОД и НОК в реальной жизни?
НОД отвечает на вопрос «на сколько одинаковых частей можно разделить без остатка» — раскрой материала, комплектование наборов, наибольшая одинаковая плитка на пол. НОК — на вопрос «когда события совпадут снова»: расписание транспорта, смены сменных работников, циклы обслуживания техники. В самой математике оба понятия ежедневно работают на действиях с дробями.
